Лабораторна робота №5 на тему Дослідження алгоритму оптимального оцінювання станів стохастичних процесів, НТУУ КПІ

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5 

ДОСЛІДЖЕННЯ АЛГОРИТМУ ОПТИМАЛЬНОГО ОЦІНЮВАННЯ СТАНІВСТОХАСТИЧНИХ ПРОЦЕСІВ 

Мета лабораторної роботи - набути навиків синтезу та дослідження алгоритму оптимального оцінювання станів стохастичних процесів з використанням їх математичних моделей. При підготовці та в ході виконання даної лабораторної роботи студент повинен пригадати основні підходи до синтезу алгоритмів оптимального оцінювання станів. Крім цього в ході виконання лабораторної роботи необхідно оволодіти основними навиками роботи з спеціалізованим програмним забезпеченням розробленим в середовищі MATLAB по розв’язуванню задач оптимального оцінювання станів. 

5.1. Завдання до лабораторної роботи 

5.1.1. Відкрити спеціалізовне програмне забезпечення в середовищі MATLAB.

5.1.2. Ознайомитися з теоретичними положеннями, що приведені далі.

5.1.3. Математичну модель вигляду (1.3) (див. лабораторну роботу № 1) представити з урахуванням збурень стохастичного характеру - -процесу та - помилку вимірювань:

де W(t), V(t) - гауссівські і некоррельовані один з одним процеси з характеристиками: 

крім того, 

де  - інтенсивності коваріацій збурень процесу і вимірювання відповідно;

d(×) - дельта-функція.

З урахуванням (5.1), (5.2) записати співвідношення, що визначають оптимальну оцінку стану (оптимальний фільтр Калмана):

Подальші дослідження будемо проводити за умови .

Задатись значеннями матриць коефіцієнтів , а також  і . Задатись також значеннями матриць  і , які будуть використані в співвідношенні (5.4) замість  і  в одному з досліджень.

 5.2. Порядок виконання роботи 

5.2.1. Відкрити спеціалізоване програмне забезпечення в середовищі MATLAB.

5.2.2. Виконати дослідження поведінки оптимального фільтру Калмана. З цією метою відкрити файл вихідних даних; набрати дані для розв’язання поставленої задачі (відповідно до пп.5.1.3, 5.1.4); виконати перший розрахунок надрукувати оцінку стану , стан , вимірювання стану  , а також матрицю коваріації . Зробити висновок про характер поведінки  і .

5.2.3. Продовжити дослідження оптимального фільтра Калмана. З урахуванням того, що матриця коваріації  (співвідношення (5.4)) - міра точності процедури оцінювання станів, виконати ряд розрахунків для різних початкових значень . Надрукувати  і , а також . Зробити висновок про точність роботи алгоритму оцінювання станів, а також про швидкість наближення оцінки стану   до стану  при різних  .

5.2.4. Провести дослідження поводження фільтра Калмана для випадку, коли матриці  і , що використані для його синтезу, відрізняються від дійсних  (у даному випадку  і  використовуються при моделюванні вибірки вимірювань ). У файлі вихідних даних передбачене роздільне введення матриць  і  (не плутати з аналогічними матрицями, що вводяться в лабораторній роботі № 4, 6). Для інших досліджень цієї лабораторної роботи повинні виконуватись умови  і . Провести розрахунок; надрукувати  ,  і , порівняти їх з отриманими в п.5.2.3; зробити висновки.

5.2.5. Виконати декілька розрахунків у постановці п.5.2.4, послідовно змінюючи елементи матриць  і , що використовуються у фільтрі Калмана; надрукувати  ,  і , порівняти їх отриманими в п.5.2.4; зробити висновки.

5.2.6. Провести дослідження поведінки фільтра Калмана в постановці п.5.2.2 з варіюванням значеннями інтенсивностей коваріацій збурень процесу і вимірювань  і . Надрукувати  ,  і , зробити висновки. 

5.3. Зміст звіту 

5.3.1. Записати основні математичні співвідношення, що визначають поведінку оптимальної оцінки стану (фільтр Калмана). Записати чисельні значення обраних матриць  а також  і , зобразити структурну схему оптимального фільтра Калмана.

5.3.2. Представити «скріншоти» з вихідними даними та результатами проведених обчислювальних експериментів.

5.3.3. Представити висновки по роботі. 

5.4. Теоретичні положення 

5.4.1. Оцінювання (відновлення) станів у задачах синтезу САК.

В задачах синтезу САК як правило використовуються припущення:

1. Вектор стану  , що вимірюється, є повним, тобто всі його компоненти x_i,   доступні для вимірювань.

2. Вимірювання всіх вказаних компонент виконуються точно.

3. Усі компоненти x_i,  вектора станів   змінюються невипадковим (детермінованим) чином.

Ці припущення як правило нереальні. Отже необхідно оцінювати (відновлювати) ті, яких не вистачає, неточно вимірювані або випадково змінювані компоненти вектора станів [13].

Розглянемо задачу оцінювання станів, коли порушується перше припущення. 

5.4.2. Оцінювання компонент вектора станів, які не вимірюються.

Нехай керований процес описується співвідношенням

де порядок вектора  дорівнює n. При цьому виміряти вдається тільки деяку лінійну комбінацію змінних стану:

де порядок вектора  дорівнює l, причому, l<n.

Введемо поняття “спостерігач”. Це поняття характеризує динамічну систему, вихідна змінна якої з часом наближається до стану, який необхідно відновлювати [14].

Означення. Система є спостерігачем для системи (5.5), (5.6), якщо для кожного початкового стану  системи (5.5) існує початковий стан  системи (5.7) такий, що рівність:

приводить до , при всіх

Зауважимо, що входи спостерігача -  і , а вихід . Розрізняють два класи спостерігачів: спостерігачі повного порядку; спостерігачі зниженого порядку. Спостерігачі повного порядку дозволяють оцінити неспостережувані n-l компонент вектора станів з оперуванням у ході обробки інформації всіма n компонентами вектора станів. Спостерігачі зниженого порядку відновлюють тільки n-l неспостережуваних компонент.

Найбільше розповсюдження дістав спостерігач повного порядку, тому розглянемо його докладніше.

Означення. Система n-го порядку:

для системи n-го порядку

Якщо це так, то віднімаючи від (5.9) співвідношення (5.8), з урахуванням (5.10) дістанемо:

Враховуючи співвідношення (5.11), а також необхідність тотожності лівої та правої частин співвідношення (5.12) дістанемо:

Поклавши  підставимо (5.13) у (5.8). В результаті дістанемо кінцевий вигляд спостерігача повного порядку:

Зауважимо, що співвідношення (5.14) структурно дістається шляхом доповнення моделі системи (5.9) додатковою змінною, яка пропорційна різниці  де  є спостережуваною змінною, що відновлюється спостерігачем.  називається матрицею коефіцієнтів підсилення спостерігача. Її вибір - питання окреме. Структурна схема даного спостерігача має вигляд:

Рис.5.1. Структурна схема спостерігача 

5.4.3. Оцінювання станів стохастичних процесів. 

Раніше розглядались керовані процеси, а також методи керування ними, для яких питання впливу випадкових збурень не порушувалось. Не розглядувались також моделі вимірювачів, що враховують похибки вимірювань. Наявність випадкових збурень процесу керування, а також похибок вимірювань являється додатковим джерелом (спільно з невизначеністю, що обумовлена неповним вимірюванням вектора стану) невизначеності. Такі процеси підлягають оцінюванню.

Розглянемо метод оцінювання станів, який дозволяє виробляти оптимальну оцінку при наявності перелічених раніше джерел невизначеності. Даний метод розроблено Калманом і Бюсі у 1961 році.

Нехай задано систему [15]:

де  - n-мірний вектор стану;  - l-мірний вектор вимірювань;  - n-мірний вектор випадкових збурень процесу;  - l-мірний вектор випадкових похибок вимірювань.

Збурення  і  - гауссівські випадкові процеси (білі шуми), що не коррельовані один з одним та з . Величини  і  з урахуванням введених збурень є випадковими та характеризуються деякими розподілами імовірностей.

Визначимо оцінку  стану процесу (5.15), (5.16), що оптимальна в розумінні мінімуму наступного середньоквадратичного критерію якості: 

де  - коваріаційні матриці випадкових збурень початкового та поточного станів, а також вимірювань, що визнаються властивостями випадкових процесів ,  і . У критерії (5.17) другий доданок забезпечує мінімальність інтегрованої квадратичної похибки моделі, третє - мінімальність інтегрованої квадратичної похибки вимірювань, а перше - мінімальність квадратичної похибки початкового стану.

Критерій (5.17) обгрунтовується та вводиться в методі найменших квадратів (МНК).

Введемо допоміжну змінну  З урахуванням цього критерію (5.17) можна записати наступним чином:

Тепер задачу оцінювання можна переформулювати як задачу синтезу детермінованого керування , що мінімізує критерій (5.18) на траєкторії системи:

із вільною початковою умовою, тобто  - не визначено.

Застосовуючи до останньої задачі принцип максимуму Понтрягіна, прийдемо до гамільтоніана:

Умова  прийме вигляд:

Оскільки початковий і кінцевий стани  і  вільні, то покладемо:

Підставляючи (5.21) у (5.19), дістанемо:

Система (5.22)-(5.24) задає двоточкову крайову задачу, розв’язуючи яку відносно  і , дістанемо шуканий оптимальний алгоритм оцінювання.

Позначимо через  оптимальну оцінку стану, а через  - оптимальне керування, що отримані в результаті розв’язання двоточкової крайової задачі в момент часу t_k за вимірювальною інформацією до моменту t_k включно.

Введемо перетворення:

де  - оцінка станів;  - деяка матриця (nxn), що підлягають визначенню. Підставляючи (5.25) у (5.24), дістанемо для лівої та правої частин (5.24):

Зводячи подібні члени, отримаємо для правих частин:

Виберемо такі значення  і , за яких коефіцієнти (5.27) при  перетворювалися б в нуль і задовольнялися при цьому граничні умови (5.9):

Таким чином, алгоритм оцінювання стану  має вигляд:

1. Розв’язати співвідношення (5.29) з урахуванням початкових умов .

2. З урахуванням наявних вимірювань  і початкових умов  розв’язати співвідношення (5.28), і дістати оцінки стану .

Отримано оцінку в момент часу t_k за інформацією у вигляді вимірювань, які наявні до того ж моменту часу. Зауважимо, що розглянуто один з трьох видів оцінок: згладжування, фільтрації та прогнозування.

Означення. Згладжування - процедура, коли оцінка стану в момент часу t будується за інформацією, отриманою до моменту t_k>t із  затримкою  на час (t_k-t).

Означення. Фільтрація - процедура, коли оцінка стану в момент часу t будується за інформацією, отриманою до моменту t_k=t, але не пізніше. У цьому випадку темп оцінювання збігається з темпом надходження інформації.

Означення. Прогнозування - процедура, коли оцінка стану в момент t будується за інформацією, отриманою до моменту t_k<t. Такі оцінки будуються там, де необхідна екстраполяція вимірювальної інформації або там, де для самих станів характерна наявність запізнювання.

Рис.5.2. До ілюстрації понять а) згладжування; б) фільтрації;

в) прогнозування. 

Структурна схема фільтра Калмана зображена на рис.5.3.

Рис.5.3. Структурна схема фільтра Калмана 

Приклад. Розглянемо процес, що протікає в хімічному реакторі з перемішуванням і описується [15]: 

Дана система є спостережуваною, якщо вимірюється хоча би x₂. Тому рівняння вимірювального пристрою прийме вигляд:

y(t)=x₂(t)+v(t).

Припустимо, що випадкові збурення w₁ і w₂ обумовлені коливаннями розходів, температур або якими-небудь ще неконтрольованими діяннями технічного характеру. Тому їх можна апроксимувати гауссівськими білими шумами з нульовим середнім та матрицею коваріації :

Припустимо за аналогією, що v(t) - гауссівський процес з нульовим середнім і коваріацією:.

Відповідно до (5.14) дістанемо рівняння оцінки стану у вигляді: 

де елементи матриці  можуть бути обчислені заздалегідь за формулами: 

з урахуванням симетрії р₁₂(t)=р₂₁(t).

З метою реалізації даного алгоритму оптимального оцінювання необхідно спочатку попередньо отримати сім’ю коваріаційних матриць , зберігати їх в пам’яті ЕОМ та використовувати у ході алгоритму. Для даного прикладу можна отримати наступні перехідні характеристики:

Рис.5.4. Перехідні характеристики процесу оптимального оцінювання станів 

5.5. Контрольні питання 

1. Стисло охарактеризувати задачу оцінювання станів.

2. Дати означення понять: спостерігач, спостерігач повного порядку, спостерігач зниженого порядку.

3. Навести основні математичні співвідношення, які визначають алгоритм процедури оптимального оцінювання станів.

4. Охарактеризувати процедури згладжування, фільтрації та прогнозування.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!