Опорний конспект лекцій з курсу Дослідження операцій Тема 20 Статистичне моделювання економічних систем, Моделювання потоків відмов елементів складних технічних систем, НУДПСУ

Лекція №20. СТАТИСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ. Моделювання потоків відмов елементів складних технічних систем

План

1. Основна характеристика процесу відновлення.

2. Провідна функція.

5.4. Моделювання потоків відмов елементів складних технічних систем

Основною характеристикою процесу відновлення є функція відновлення W(t) і її диференціальна характеристика – щільність відновлення, визначувані за наступними формулами

де F_n(t) і f_n(t) – відповідно щільність і функція розподілу напрацювання до n-ої відмови.

У разі незалежності напрацювань між відмовами функції розподілу F_n(t) напрацювань до n-ої відмови знаходяться шляхом послідовного застосування правила згортки для суми двох випадкових величин

причому F₁(t)= F(t).

Слід зазначити, що складність отримання аналітичних виразів для W(t) і w(t) за формулами (5.5), (5.6) полягає в тому, що згортка (5.7) лише для деяких законів розподілу обчислюється в кінцевому вигляді. Використання аналітичних методів розрахунку щільності w(t) і функції відновлення W(t) обмежено з-за складності математичної формалізації вживаних стратегій відновлення працездатності технічних систем і необхідності обліку множини чинників, що впливають на заміну елементу в системі. У цих умовах найбільш ефективним методом розрахунку W(t) і w(t) є метод Монте-Карло.

Розрахунок провідної функції і параметра потоку відмов цим методом у разі простого, загального або складного процесів проводиться в наступному порядку.

За відомими законами розподілу напрацювань елементів з використанням формул перетворення (табл. 5.1) моделюються масиви випадкових величин Dt_ik між (i–1)-ою і i-ою відмовами Розмірність кожного масиву дорівнює N.

Далі обчислюються значення напрацювань до i-ої відмови t_ik за наступними формулами

де i – номер відмови і = 1,…,р, k – номер реалізації при моделюванні k = 1,…,N, p – максимальне число відмов елементу, що отримується в k-й реалізації випадкового процесу.

Потім отримані випадкові величини напрацювань t_ik групуються за інтервалами часу.

Номери інтервалів, в які потрапляють моменти виникнення відмов t_1k, t_2k,..., t_ik,..., t_pk визначаються за формулою

де  – функція, що обчислює найменше ціле число, не менше ; Dt_ik – величина інтервалу часу.

Параметр і провідна функція потоку відмов в j-му інтервалі часу визначається за наступних формул

де n_ij – число попадань випадкового напрацювання до i-ої відмови t_ik в j-й інтервал часу (j = 1,…,h) за N реалізацій,

де h – максимальне число інтервалів часу.

Приклад 5.5. Закони розподілу напрацювань елементу системи до першої і другої відмов і відповідні параметри цих законів приведені в наступній таблиці

Визначите номери часових інтервалів, на яких про вийдуть перша і друга відмови в ході першого досвіду (випробування) (Dt_i = 1 година).

Розв'язок

1. Виберемо рівномірно розподілене випадкове число. Допустимо i = 0,725.

2. Обчислимо випадкові значення напрацювань на відмову елементу використовуючи формули табл. 5.1.

3. Визначимо номер часового інтервалу, на якому відбудуться відмови.

Таким чином, в ході першої реалізації елемент системи перший раз відмовить на 21-му часовому інтервалі, а друга відмова відбудеться на 22-му часовому інтервалі.

В ході першої реалізації елемент системи перший раз відмовить на 21-му часовому інтервалі, а друга відмова відбудеться на 22-му часовому інтервалі.

Контрольні запитання

1. Що є основною характеристикою процесу відновлення?

2. Що таке провідна функція?

З повагою ІЦ “KURSOVIKS”!