Опорний конспект лекцій з курсу Дослідження операцій Тема 17 Статистичне моделювання економічних систем, Моделювання випадкових подій, НУДПСУ

Лекція №17. СТАТИСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ. Моделювання випадкових подій із заданим законом розподілу

План

1. Дискретні випадкові величини.

2. Алгоритм розігрування дискретної випадкової величини.

3. Розігрування випадкової величини X, розподіленою нормально.

4. Центральна гранична теорема.

5.2. Моделювання випадкових подій із заданим законом розподілу

5.2.1. Розігрування дискретної випадкової величини

Хай потрібно розіграти дискретну випадкову величину, тобто отримати послідовність її можливих значень x_i (i = 1,2,3...n), знаючи закон розподілу X

Позначимо через R безперервну випадкову величину. Величина R розподілена рівномірно в інтервалі (0,1). Через r_j (j = 1,2...) позначимо можливі значення випадкової величини R. Розіб'ємо інтервал 0 < R < 1 на осі 0r точками з координатами P₁, P₁ + P₂, P₁ + P₂ + P₃, P₁ + … + P_n-1 на n часткових інтервалів D₁, D₂,…,D_n.

Тоді отримаємо:

Довжина D₁ = P₁ – 0 = P₁,

Довжина D₂ = (P₁ + P₂) - P₁ = P₂,

Довжина D_n = 1 – (P₁ + P₂ + … + P_n-1).

Видно, що довжина часткового інтервалу з індексом i дорівнює імовірності Р_i з тим же індексом, тобто D_i = P_i.

Таким чином, при попаданні випадкового числа r_i в інтервал D_i випадкова величина Х приймає значення x_i з імовірністю P_i.

Існує наступна теорема: Якщо кожному випадковому числу, яке потрапило в інтервал, поставити у відповідність можливе значення x_i, то розігрувана величина матиме заданий закон розподілу.

Алгоритм розігрування дискретної випадкової величини заданою законом розподілу

1.  Потрібно розбити інтервал (0,1) осі 0r на n часткових інтервалів

D₁ – (0;P₁), D₂ – (P₂;P₁ + P₂),…, D_n – (P₁ + P₂ + … + P_n-1;1).

2.  Вибрати (наприклад, з таблиці випадкових чисел, або в комп'ютері) випадкове число r_j.

Якщо число r_j потрапило в інтервал, то розігрувана дискретна випадкова величина прийняла можливе значення x_i.

Приклад 5.1. Розіграти 8 значень дискретної випадкової величини Х, закон розподілу якої задано у вигляді таблиці

Розв'язок

1. Розіб'ємо інтервал (0,1) осі Оr точками з координатами 0,25; 0,25 + 0,16 = 0,41 на три часткові інтервали

D₁ = (0;0,25), D₂ = (0,25;0,41), D₃ = (0,41;1),

2. Випишемо з таблиці випадкових чисел 9 чисел, наприклад 0,10; 0,37; 0,08; 0,99; 0,12; 0,66; 0,31; 0,85.

3. Випадкове число r₁ = 0,10 належить першому частковому інтервалу, тому розігрувана випадкова величина прийняла можливе значення x₁ = 3. Випадкове число r₂ = 0,37 належить другому частковому інтервалу, тому розігрувана величина прийняла можливе значення x₂ = 11. Аналогічно набудемо інших можливих  значень дискретної випадкової величини Х.

Отже: розіграні можливі значення Х такі: 3; 11; 3; 24; 3; 24; 11; 24.

Як бачимо, можна отримати множину значень випадкової величини Х із заданим законом розподілу.

5.2.2. Розігрування безперервної випадкової величини

Хай потрібно розіграти безперервну випадкову величину Х, тобто отримати послідовність її можливих значень x_i (i = 1,2...). При цьому функція розподілу F(X) відома.

Існує наступна теорема: Якщо r_i - випадкове число, то можливе значення x_i розігруваної безперервної випадкової величини Х з відомою функцією розподілу F(X) відповідне r_i, є коренем рівняння

F(x_i) = r_i.

Алгоритм розігрування безперервної випадкової величини:

1. Необхідно вибрати випадкове число r_i.

2. Прирівняти вибране випадкове число відомої функції розподілу F(X) і отримати рівняння F(x_i) = r_i.

3. Розв'язати дане рівняння відносне x_i. Набуте значення x_i відповідатиме одночасно і випадковому числу r_i і заданому закону розподілу F(X).

Приклад 5.2. Розіграти 3 можливих значення безперервної випадкової величини Х, розподіленої рівномірно в інтервалі (2;10).

Розв'язок

Функція розподілу величини Х має наступний вигляд

За умови а = 2, b = 10, отже

Відповідно до алгоритму розігрування безперервної випадкової величини прирівняємо F(X) вибраному випадковому числу r_i. Отримаємо звідси.

Далі відповідно до алгоритму виберемо три випадкові числа, розподілених рівномірно в інтервалі (0;1). Наприклад r₁ = 0,11; r₂ = 0,17; r₃ = 0,66.

Підставимо ці числа в рівняння (5.3). Отримаємо відповідні можливі значення х

х₁ = 8*0,11 + 2 = 2,88; х₂ = 8*0,17 + 2 = 3,36; х₃ = 8*0,66 + 2 = 7,28.

Приклад 5.3. Безперервна випадкова величина Х розподілена за показовим законом з відомою функцією

F(x) = 1 – e^-λx (x > 0, параметр λ > 0 відомий).

Потрібно знайти формулу для розігрування можливих значень Х.

Розв'язок

Відповідно до алгоритму розігрування безперервної випадкової величини отримаємо рівняння

1 – e^-λx = r_i.

Розв'яжемо це рівняння відносно x_i. Отримаємо.

Випадкове число r_i знаходиться в інтервалі (0,1). Отже число (1 – r_i) також випадкове і належить інтервалу (0,1). Тобто випадкові величини R і 1 – R розподілені однаково, рівномірно в одному і тому ж інтервалі (0,1). Тому для відшукання значення x_i можна скористатися більш простою формулою

5.2.3. Розігрування випадкової величини X, розподіленої нормально

Відомо, що якщо випадкова величина R розподілена рівномірно в інтервалі (0,1), то її математичне очікування М(R)= 1/2, а дисперсія D(R)= 1/12.

Складемо суму n незалежних випадкових величин R_j (j = 1,2,...,n), які розподілені рівномірно в інтервалі (0,1).

Пронормуємо цю суму. Для цього знайдемо спочатку її математичне очікування і дисперсію. Відомо, що математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків. Сума R_i містить n доданків. Математичне очікування кожного доданку рівна 1/2. Отже математичне очікування суми дорівнює

Аналогічно для дисперсії суми R_j отримаємо

Звідси середнє квадратичне відхилення суми R_j

Тепер пронормуємо суму R_j.

Для цього віднімемо з суми R_j математичне очікування цієї суми і розділимо на середнє квадратичне відхилення суми R_j. Отримаємо (тобто).

На підставі центральної граничної теореми теорії імовірності при n®¥ розподіл цієї нормованої випадкової величини прагне до нормального закону з параметрами а = 0 і s = 1.

При кінцевому n розподіл можна розглядати як приблизно нормальне. Наприклад, при n = 12 отримаємо достатньо точне для практики наближення

Таким чином, отримуємо, що для того, щоб розіграти можливе значення x_i нормальної випадкової величини Х з параметрами а = 0 і s = 1, потрібно скласти 12 незалежних випадкових чисел і з отриманої суми відняти 6 тобто.

Приклад 5.4. 1. Розіграти 100 можливих значень випадкової величини Х розподіленою нормально з параметрами а = 0 і s = 1.

2. Оцінити параметри розіграної випадкової величини Х.

Розв'язок

1. Виберемо 12 випадкових чисел розподілених рівномірно в інтервалі (0,1) з таблиці випадкових чисел, або з комп'ютера. Складемо ці числа і з суми віднімемо 6, у результаті отримаємо

х₁ = (0,10 + 0,09 + … + 0,67) – 6 = – 0,99.

Поступаючи аналогічним чином, знайдемо решту можливих значень х₂,  х₃,…, х₁₀₀.

2. Виконавши необхідні розрахунки, знайдемо вибіркову середню, яка є оцінкою  і вибіркове середнє квадратичне відхилення, яке є оцінкою s^*. Отримаємо.

Як бачимо, оцінки задовільні, тобто a^* близько до нуля, а s^* близько до одиниці.

Якщо потрібно розіграти значення нормальної ненормованої випадкової величини з математичним очікуванням a, відмінним від нуля і відмінним від одиниці, то спочатку розігрують можливі значення x нормованої випадкової величини, а потім знаходять шукане значення за формулою

z_i = s x_i + a,

яка отримана із співвідношення.

Таблиця 5.1. Формули для моделювання випадкових величин

Контрольні запитання

1. Що таке дискретні випадкові величини?

2. Наведіть алгоритм розігрування дискретної випадкової величини.

3. Алгоритм розігрування випадкової величини X, розподіленої нормально.

4. Центральна гранична теорема.

З повагою ІЦ “KURSOVIKS”!