Опорний конспект лекцій з курсу Дослідження операцій Тема 16 Статистичне моделювання економічних систем, НУДПСУ

Лекція №16. СТАТИСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ. Теоретичні основи методу

План

1. Метод статистичного моделювання (метод Монте-Карло).

2. Основа методу статистичного моделювання.

3. Закон великих чисел.

4. Етапи рішення задачі методом статистичного моделювання.

5. Моделювання випадкових величин.

6. Рівномірно розподілені в інтервалі [0,1] послідовності випадкових чисел.

7. Таблиці випадкових чисел.

8. Генератори випадкових чисел.

9. Псевдовипадкові числа.

5. СТАТИСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ

5.1. Теоретичні основи методу

Метод статистичного моделювання (або метод Монте-Карло) – це спосіб дослідження поведінки імовірнісних систем (економічних, технічних і т.д.) в умовах, коли не відомі повною мірою внутрішні взаємодії в цих системах.

Цей метод полягає у відтворенні досліджуваного фізичного процесу за допомогою імовірнісної математичної моделі і обчисленні характеристик цього процесу. Одне таке відтворення функціонування системи називають реалізацією або випробуванням. Після кожного випробування реєструють сукупність параметрів, що характеризують випадковий результат реалізації. Метод заснований на багатократних випробуваннях побудованої моделі з подальшою статистичною обробкою отриманих даних з метою визначення числових характеристик даного процесу у вигляді статистичних оцінок його параметрів. Процес моделювання функціонування економічної системи зводиться до машинної імітації процесу, що вивчається, який як би копіюється на ЕОМ зі всіма супроводжуючими його випадковостями.

Перші відомості про метод Монте-Карло були опубліковані в кінці 40-х рр. Авторами методу є американські математики Дж.Нейман і С.Улам. У нашій країні перші роботи були опубліковані в 1955-1956 рр. В.В.Чавчанідзе, Ю.А.Шрейдером і B.C.Владимировим.

Основою методу статистичного моделювання є закон великих чисел. Закон великих чисел в теорії імовірності доводить для різних умов збіжність по імовірності середніх значень результатів великого числа спостережень до деяких постійних величин.

Під законом великих чисел розуміють ряд теорем. Наприклад, одна з теорем П.Л.Чебишева формулюється так: «При необмеженому збільшенні числа незалежних випробувань n середнє арифметичне вільних від систематичних помилок і рівноточних результатів спостережень x випадкової величини, що має кінцеву дисперсію D(x), сходиться по імовірності до математичного очікування M(x) цієї випадкової величини». Це можна записати в наступному вигляді

де  – скільки завгодно мала позитивна величина.

Теорема Бернуллі формулюється так: «При необмеженому збільшень числа незалежних випробувань в одних і тих же умовах частота P^*(A) настання випадкової події А сходиться по імовірності до його ймовірності Р, тобто.

Згідно даної теоремі, для отримання ймовірності якої-небудь події, наприклад, імовірність станів деякої системи, обчислюють частоти для однієї реалізації (випробування), далі проводять подібні обчислення для числа реалізацій, рівного n. Результати усереднюють і цим самим з деяким наближенням, отримують шукану імовірність станів системи. На підставі обчисленої імовірності визначають інші характеристики системи. Слід зазначити, що, чим більше число реалізацій n, тим точніше результати обчислення шуканих величин (ймовірності станів системи).

Розв'язок будь-якої задачі методом статистичного моделювання полягає в:

• розробці і побудові структурної схеми процесу, виявленні основних взаємозв'язків;

• формальному описі процесу;

• моделюванні випадкових явищ (випадкових подій, випадкових величин, випадкових функцій), супроводжуючих функціонування досліджуваної системи;

• моделюванні (з використанням даних, отриманих на попередньому етапі) функціонування системи – відтворенні процесу відповідно до розробленої структурної схеми і формального опису;

• накопиченні результатів моделювання, їх статистичній обробці, аналізі і узагальненні.

На відміну від описаних раніше математичних моделей, результати яких відображали стійку в часі поведінку системи, результати, що отримуються при статистичному моделюванні, схильні до експериментальних помилок. Це означає, що будь-яке твердження, що стосується характеристик модельованої системи, повинно ґрунтуватися на результатах відповідних статистичних перевірок.

Експериментальні помилки при статистичному моделюванні значною мірою залежать від точності моделювання випадкових явищ, супроводжуючих функціонування досліджуваної системи.

Відомо, що при вивченні ймовірносних систем випадкові явища можуть інтерпретуватися у вигляді випадкових подій, випадкових величин і випадкових функцій. Отже, моделювання випадкових явищ зводиться до моделювання випадкових подій, випадкових величин і випадкових функцій. Оскільки випадкові події і випадкові функції можуть бути представлені через випадкові величини, то і моделювання випадкових подій і випадкових функцій проводиться за допомогою випадкових величин. У зв'язку з цим розглянемо спочатку способи моделювання випадкових величин.

5.1.1. Моделювання випадкових величин

Для моделювання випадкової величини необхідно знати її закон розподілу. Найбільш загальним способом отримання послідовності випадкових чисел, розподілених по довільному закону, є спосіб, в основі якого лежить їх формування з початкової послідовності випадкових чисел, розподілених в інтервалі [0,1] за рівномірним законом.

Рівномірно розподілені в інтервалі [0,1] послідовності випадкових чисел можна отримати трьома способами:

• використання таблиць випадкових чисел;

• застосування генераторів випадкових чисел;

• метод псевдовипадкових чисел.

При розв'язку задачі без застосування ЕОМ найчастіше використовують таблиці випадкових чисел. У таблицях випадкових чисел випадкові цифри імітують значення дискретної випадкової величини з рівномірним розподілом

При складанні таких таблиць виконується вимога, щоб кожна з цих цифр від 0,1,...,9 зустрічалася приблизно однаково часто і незалежно від інших з імовірністю p_i = 0,1.

Найбільша з опублікованих таблиць випадкових чисел містить 1000 000 цифр. Таблиці випадкових чисел скласти не так просто. Вони вимагають ретельної перевірки за допомогою спеціальних статистичних тестів.

При розв'язку задач на ЕОМ для вироблення випадкових чисел, рівномірно розподілених в інтервалі [0,1], можуть застосовуватися генератори випадкових чисел. Дані генератори перетворюють результати випадкового фізичного процесу в двійкові числа. Як випадковий фізичний процес зазвичай використовують власні шуми (випадковим чином змінна напруга).

Недоліки даного способу отримання випадкових чисел наступні:

1. Важко перевірити якість чисел, що виробляються.

2. Випадкові числа не відтворні (якщо їх не запам'ятовувати), і, як наслідок, не можна повторити розрахунок на ЕОМ для виключення випадкового збою.

Отримання псевдовипадкових чисел з рівномірним законом розподілу полягає у виробленні псевдовипадкових чисел. Псевдовипадкові числа – це числа, отримані за якою-небудь формулою і імітують значення випадкової величини. Під словом «імітують» мається на увазі, що ці числа задовольняють ряду тестів так, як якби вони були значеннями цієї випадкової величини.

Перший алгоритм для отримання псевдовипадкових чисел запропонував Дж.Нейман. Це так званий метод середини квадратів, який полягає в наступному

g₀ = 0,9876, g²₀ = 0,97535376,

g₁ = 0,5353, g²₁ = 0,28654609,

g₂ = 0,6546 і т.д.

Тобто виділяється тільки середина квадрата числа, а початок і кінець його квадрата відкидаються. Алгоритм себе не виправдав: вийшло більше, ніж потрібно, малих значень g_і – випадкових чисел. В даний час розроблена безліч алгоритмів для отримання псевдовипадкових чисел.

Назвемо достоїнства методу псевдовипадкових чисел.

1. На отримання кожного випадкового числа витрачається декілька простих операцій, так що швидкість генерування випадкових чисел має той же порядок, що і швидкість роботи ЕОМ.

2. Малий об'єм пам'яті ЕОМ для програмування.

3. Будь-яке з чисел легко відтворити.

4. Якість випадкових чисел, що генеруються, досить перевірити один раз.

Переважне число розрахунків за методом Монте-Карло здійснюється з використанням псевдовипадкових чисел. Від послідовності випадкових чисел, рівномірно розподілених в інтервалі [0,1], неважко перейти до послідовності випадкових чисел з довільним заданим законом розподілу.

Контрольні запитання

1. В чому полягає метод статистичного моделювання (метод Монте-Карло)?

2. Яка основа методу статистичного моделювання?

3. Що таке закон великих чисел?

4. Наведіть етапи розв'язку задачі методом статистичного моделювання.

5. Методи моделювання випадкових величин.

6. Що таке рівномірно розподілені в інтервалі [0,1] послідовності випадкових чисел?

7. Таблиці випадкових чисел.

8. Генератори випадкових чисел.

9. Псевдовипадкові числа.

З повагою ІЦ “KURSOVIKS”!