Опорний конспект лекцій з курсу Дослідження операцій Тема 14 Моделювання систем масового обслуговування, Визначення характеристик систем масового обслуговування, НУДПСУ

Лекція №14. МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ. Визначення характеристик систем масового обслуговування

План

1. Одноканальна СМО з очікуванням.

2. Одноканальна СМО з очікуванням без обмеження на місткість блоку очікування.

Розглянемо тепер одноканальну СМО з очікуванням.

Система масового обслуговування має один канал. Вхідний потік заявок на обслуговування – простий потік з інтенсивністю λ. Інтенсивність потоку обслуговування дорівнює μ (тобто в середньому безперервно зайнятий канал видаватиме μ обслужених заявок). Тривалість обслуговування – випадкова величина, яка підпорядкована показовому закону розподілу. Потік обслуговуванні є простим пуасонівським потоком подій. Заявка, що поступила в момент, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає обслуговування.

Припустимо, що незалежно від того, скільки вимог поступає на вхід обслуговуючої системи, дана система (черга + обслуговувані клієнти) не може вміщати більш за N вимог (заявок), тобто клієнти, що не потрапили в очікування, вимушені обслуговуватися у іншому місці. Нарешті, джерело, що породжує заявки на обслуговування, має необмежену (нескінченно велику) місткість.

Граф станів СМО в цьому випадку має вигляд, показаний на мал. 4.2.

Стани СМО мають наступну інтерпретацію:

S₀ – «канал вільний»;

S₁ – «канал зайнятий» (черги немає);

S₂ – «канал зайнятий» (одна заявка стоїть в черзі);

S_n – «канал зайнятий» (n – 1 заявки коштує в черзі);

S_N – «канал зайнятий» (N – 1 заявки стоїть в черзі). Стаціонарний процес в даній системі описуватиметься наступною системою лінійних алгебраїчних рівнянь

де Y = λ/μ, n – номер стану.

Розв'язок приведеної вище системи рівнянь (4.10) для нашої моделі СМО має вигляд.

Слід зазначити, що виконання умови стаціонарності обов'язкове, заявки, що допускаються в обслуговуючу систему, контролюються шляхом введення обмеження на довжину черги (яка не може перевищувати – 1), а не співвідношенням між інтенсивнoстями вхідного потоку, тобто не відношенням Y = λ/μ.

Визначимо характеристики одноканальної СМО з очікуванням і обмеженою довжиною черги, рівної (N – 1):

імовірність відмови в обслуговуванні заявки:

відносна пропускна спроможність системи

абсолютна пропускна спроможність

А = λ*q  (4.15)

середнє число заявок, що знаходяться в системі

середній час перебування заявки в системі

середня тривалість перебування клієнта (заявки) в черзі

середнє число заявок (клієнтів) в черзі (довжина черги)

Розглянемо приклад одноканальної СМО з очікуванням.

Приклад 4.2. Спеціалізований пост діагностики є одноканальною СМО. Число стоянок для автомобілів, що чекають проведення діагностики, обмежено і дорівнює 3 ((N – 1) = 3). Якщо всі стоянки зайняті, тобто в черзі вже знаходиться три автомобілі, то черговий автомобіль, прибулий на діагностику, в чергу на обслуговування не стає. Потік автомобілів, що прибувають на діагностику, розподілений за законом Пуассона і має інтенсивність λ = 0,85 (автомобіля на годину). Час діагностики автомобіля розподілений за показовим законом і в середньому дорівнює t_c = 1,05 год.

Потрібно визначити імовірнісні характеристики поста діагностики, що працює в стаціонарному режимі.

Розв'язок

1. Параметр потоку обслуговуванні автомобілів

μ = 1/t_c  = 1/1,05 = 0,952.

2. Приведена інтенсивність потоку автомобілів визначається як відношення інтенсивностей, тобто

Y = λ/μ = 0,85/0,952 = 0,893.

3. Обчислимо фінальну імовірність системи

Р₁ = Y*Р₀ = 0,893*0,248 ≈ 0,221,

Р₂ = Y²*Р₀ = 0,893²*0,248 ≈ 0,198,

Р₃ = Y³*Р₀ = 0,893³*0,248 ≈ 0,177,

Р₄ = Y⁴*Р₀ = 0,893⁴*0,248 ≈ 0,158,

4. Імовірність відмови в обслуговуванні автомобіля

P_відм = Р₄ = Y⁴ Р₀@ 0,158.

5. Відносна пропускна спроможність поста діагностики

q = 1 - P_відм = 1 – 0,158 = 0,842.

6. Абсолютна пропускна спроможність поста діагностики

А = λ*q = 0,842*0,85 = 0,716.

7. Середнє число автомобілів, що знаходяться на обслуговуванні і в черзі (тобто у системі масового обслуговування)

8. Середній час перебування автомобіля в системі години.

9. Середня тривалість перебування заявки в черзі на обслуговування години.

10. Середнє число заявок в черзі (довжина черги)

Роботу розглянутого поста діагностики можна вважати задовільною, оскільки пост діагностики не обслуговує автомобілі в середньому в 15,8% випадків (P_відм= 0,158).

Перейдемо тепер до розгляду одноканальної СМО з очікуванням без обмеження на місткість блоку очікування (тобто ) N®¥. Решта умов функціонування СМО залишається без змін.

Стаціонарний режим функціонування даної СМО існує при t®¥ для будь-якого n = 0,1,2,... і коли λ < μ. Система алгебраїчних рівнянь, що описують роботу СМО при t®¥ для будь-якого n = 0,1,2,… має вигляд.

Розв'язок даної системи рівнянь має вигляд

, n = 0, 1, 2 ...  (4.21)

де Y = λ/μ < 1.

Характеристики одноканальної СМО з очікуванням, без обмеження на довжину черги, наступні:

- середнє число клієнтів (заявок), що знаходяться в системі, на обслуговування.

- середня тривалість перебування клієнта в системі.

- середнє число клієнтів в черзі на обслуговуванні.

- середня тривалість перебування клієнта в черзі.

Приклад 4.3. Пригадаємо про ситуацію, розглянуту в прикладі 4.2, де йдеться про функціонування поста діагностики. Хай даний пост діагностики має в своєму розпорядженні необмежену кількість майданчиків для стоянки автомобілів, що прибувають на обслуговування, тобто довжина черги не обмежена.

Потрібно визначити фінальні значення наступних імовірнісних характеристик:

- імовірність станів системи (поста діагностики);

- середнє число автомобілів, що знаходяться в системі (на обслуговуванні і в черзі);

- середню тривалість перебування автомобіля в системі (на обслуговуванні і в черзі);

- середнє число автомобілів в черзі на обслуговуванні;

- середню тривалість перебування автомобіля в черзі.

Розв'язок

1. Параметр потоку обслуговування μ і приведена інтенсивність потоку автомобілів Y визначені в прикладі 4.2

μ = 0,952, Y = 0,893.

2. Обчислимо граничну імовірність системи за формулами

P₀ = 1– Y = 1 – 0,893 = 0,107;

P₁ = (1– Y)Y = (1 – 0,893) 0,893 = 0,096;

P₂ = (1– Y)Y² = (1 – 0,893) 0,893² = 0,085;

P₃ = (1– Y)Y³ = (1 – 0,893) 0,893³ = 0,076;

P₄ = (1– Y)Y⁴ = (1 – 0,893) 0,893⁴ = 0,068;

P₅ = (1– Y)Y⁵ = (1 – 0,893) 0,893⁴ = 0,061;

і т.д.

Слід зазначити, що P₀(t) визначає частку часу, протягом якого пост діагностики вимушено не діє (простоює). У нашому прикладі вона складає 10,7%, оскільки P₀(t)= 0,107.

3. Середнє число автомобілів, що знаходяться в системі (на обслуговуванні і в черзі) од.

4. Середня тривалість перебування клієнта в системі год.

5. Середнє число автомобілів в черзі на обслуговування

6. Середня тривалість перебування автомобіля в черзі год.

7. Відносна пропускна спроможність системи

q = 1,

тобто кожна заявка, що прийшла в систему, буде обслужена.

8. Абсолютна пропускна спроможність

A = λ*q = 0,85 1 = 0,85.

Слід зазначити, що підприємство, що здійснює діагностику автомобілів, перш за все цікавить кількість клієнтів, яка відвідає пост діагностики при знятті обмеження на довжину черги.

Припустимо, в первинному варіанті кількість місць для стоянки автомобілів, що прибувають, дорівнює трьом (див. приклад 4.2). Частота m виникнення ситуацій, коли автомобіль, що прибуває на пост діагностики, не має можливості приєднатися до черги

m = λ*Р_N = λ*Р₀*Y^N.

У нашому прикладі при N = 3 + 1 = 4 і Y = 0,893, отже, m = λ*Р₀*Y⁴ = 0,85*0,248*0.893⁴ = 0,134 автомобіля на годину.

При 12-годинному режимі роботи поста діагностики це еквівалентно тому, що пост діагностики в середньому за зміну (день) втрачатиме 0,134 = 1,6 автомобіля.

Зняття обмеження на довжину черги дозволяє збільшити кількість обслужених клієнтів в нашому прикладі в середньому на 1,6 автомобіля за зміну (12 г. роботи) поста діагностики. Ясно, що рішення щодо розширення площі для стоянки автомобілів, що прибувають на пост діагностики, повинно грунтуватися на оцінці економічного збитку, який обумовлений втратою клієнтів за наявності всього трьох місць для стоянки цих автомобілів.

Контрольні запитання

1. Що таке одноканальна СМО з очікуванням?

2. Наведіть приклад одноканальної СМО з очікуванням.

3. Що таке одноканальна СМО з очікуванням без обмеження на місткість блоку очікування.

З повагою ІЦ “KURSOVIKS”!