Опорний конспект лекцій з курсу Дослідження операцій Тема 13 Моделювання систем масового обслуговування, Визначення характеристик систем масового обслуговування, НУДПСУ

Лекція №13. МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ. Визначення характеристик систем масового обслуговування

План

1. Характеристики СМО.

2. Проста одноканальна модель з відмовами.

3. Абсолютна і відносна пропускна спроможність системи.

4.2. Визначення характеристик систем масового обслуговування

4.2.1. Одноканальна модель з пуассонівським вхідним потоком з експоненціальним розподілом тривалості обслуговування

Простою одноканальною моделлю з імовірнісними вхідним потоком і процедурою обслуговування є модель, що характеризується показовим розподілом як тривалості інтервалів між надходженнями вимог, так і тривалості обслуговування. При цьому щільність розподілу тривалості інтервалів між надходженнями вимог має вигляд

f₁(x) = λ e^-λt, (4.1)

де λ – інтенсивність надходження заявок в систему

Щільність розподілу тривалості обслуговування

f₂(x) = μ e^-μt, (4.2)

де μ – інтенсивність обслуговування

Потоки заявок і обслуговуванні прості.

Хай система працює з відмовами. Необхідно визначити абсолютну і відносну пропускну спроможність системи.

Представимо дану систему масового обслуговування у вигляді графа (мал. 4.1), у якого є два стани:

S₀ – канал вільний (очікування);

S₁ – канал зайнятий (йде обслуговування заявки).

Позначимо імовірність станів: P₀(t) – імовірність стану «канал вільний»; P₁(t) – імовірність стану «канал зайнятий». За розміченим графом станів (мал. 4.1) складемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова для імовірності станів.

Система лінійних диференціальних рівнянь (4.3) має розв'язок з урахуванням умови нормування P₀(t) + P₁(t) = 1. Розв'язок даної системи називається нестаціонарним, оскільки воно безпосередньо залежить від t і виглядає таким чином

P₁(t) = 1 – P₀(t) = 1. (4.5)

Неважко переконатися, що для одноканальної СМО з відмовами імовірність P₀(t) є не що інше, як відносна пропускна спроможність системи q.

Дійсно, P₀(t) – імовірність того, що у момент t канал вільний і заявка, що прийшла до моменту t, буде обслужена, а отже, для даного моменту часу t середнє відношення числа обслужених заявок до тих, що поступили також дорівнює P₀(t), тобто

q = P₀(t). (4.6)

Після закінчення великого інтервалу часу (при t®¥) досягається стаціонарний (сталий) режим

q = P₀ = μ/(μ + λ). (4.7)

Знаючи відносну пропускну спроможність, легко знайти абсолютну. Абсолютна пропускна спроможність (А) – середнє число заявок, яке може обслужити система масового обслуговування за одиницю часу

А = λ*q = λμ/(λ + μ). (4.8)

Імовірність відмови в обслуговуванні заявки дорівнюватиме імовірності стану «канал зайнятий»

P_відм = 1 – Р₁ = 1 - μ/(μ + λ) = λ/(μ + λ). (4.9)

Дана величина P_відм може бути інтерпретована як середня частка необслужених заявок серед поданих.

Приклад 4.1. Хай одноканальна СМО з відмовами є одним постом щоденного обслуговування (ЩО) для миття автомобілів. Заявка – автомобіль, що прибуває в момент, коли пост зайнятий – дістає відмову в обслуговуванні. Інтенсивність потоку автомобілів λ = 1,0 (автомобіль на годину). Середня тривалість обслуговування – t_c = 1,8 години. Потік автомобілів і потік обслуговуванні є простими.

Потрібно визначити в сталому режимі граничні значення:

- відносної пропускної спроможності q;

- абсолютної пропускної спроможності А;

- імовірності відмови P_відм.

Порівняти фактичну пропускну спроможність СМО з номінальною, яка була б, якби кожен автомобіль обслуговувався точно 1,8 години і автомобілі слідували один за іншим без перерви.

Розв'язок

1. Визначимо інтенсивність потоку обслуговування

μ = 1/t_c = 1/1,8 = 0,555.

2. Обчислимо відносну пропускну спроможність

q = μ/(μ + λ) = 0,555/(1 + 0,555) = 0,356.

Величина q означає, що в сталому режимі система обслуговуватиме приблизно 35%, що прибувають на пост ЩО автомобілів.

3. Абсолютну пропускну спроможність визначимо по формулі

А = λ*q = 1*0,356 = 0,356.

Це означає, що система (пост ЩО) здатна здійснити в середньому 0,356 обслуговування автомобілів за годину.

4. Імовірність відмови

P_відм = 1 – q = 1 – 0,356 = 0,644.

Це означає, що близько 65% прибулих автомобілів на пост ЩО дістануть відмову в обслуговуванні.

5. Визначимо номінальну пропускну спроможність системи

А_ном = 1/t_c = 1/1,8 = 0,555 (автомобілів на годину).

Виявляється, що А_ном в 1,5 раза (0,555/0,356 ≈ 1,5) більше, ніж фактична пропускна спроможність, обчислена з урахуванням випадкового характеру потоку заявок і часу обслуговування.

Контрольні запитання

1. Наведіть характеристики СМО.

2. Що таке проста одноканальна модель з відмовами?

3. Що таке абсолютна пропускна спроможність системи?

4. Що таке відносна пропускна спроможність системи?

З повагою ІЦ “KURSOVIKS”!