Лекція на тему 7 з курсу Комп’ютерні технології у розв’язанні задач Теорії імовірностей , НУДПСУ
« Назад
7.1. Біноміальний розподілВипадкова величина X має біноміальний розподіл з параметрами n і p якщо вона приймає значення з ймовірностями, які визначаються за формулою Бернуллі – біноміальні коефіцієнти. Математичне сподівання і дисперсія біноміально розподіленої величини дорівнюють: Графіки розподілу для різних значень параметрів і наведені на Біноміальний розподіл є моделлю випадкових експериментів, які складаються із n незалежних однакових випробувань. У результаті кожного із них з імовірністю p може здійснитись подія А і з імовірністю – протилежна подія. Прийнятою назвою для такої моделі випадкових експериментів є схема Бернуллі. Розглянемо у якості дискретної випадкової величини Х число появ події А у цих випробуваннях і поставимо перед собою задачу: знайти закон розподілу величини Х. Якщо випробування буде здійснено разів, ми одержимо послідовність, яка складається із подій що чергуються. Усього є різних послідовностей, які утворюють основний вибірковий простір, причому кожна вибіркова точка представляється однією із можливих послідовностей. Нехай Х – випадкова величина, значення якої для будь-якої послідовності дорівнює числу появ події А у цій послідовності. Якщо усі випробувань статистично незалежні, то імовірність, яка приписується кожній із цих послідовностей, для якої буде дорівнювати як це можна побачити, замінюючи у послідовності А на і на і перемножуючи одержані числа. Усього є послідовностей, для яких і, отже, Одержана формула називається формулою Бернуллі і є аналітичним виразом шуканого закону розподілу, який носить назву біноміального розподілу. Закон названий “біноміальним” тому, що праву частину рівності у формулі Бернуллі можна розглядати як загальний член розкладу бінома Ньютона що, звичайно, дорівнює одиниці, оскільки Знайдемо важливіші числові характеристики випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом. Для цього запишемо її твірну функцію: Але ми знаємо, що саме так виглядає -й степінь біному (звідсіль і термін “біноміальний розподіл”). Користуючись твірною функцією, знайдемо числові характеристики випадкової величини Х: математичне сподівання і дисперсію. Диференцюючи по , маємо Покладаючи одержимо Отже, математичне сподівання випадкової величини розподіленої за біноміальним законом з параметрами дорівнює Зауважимо, що одержати цей результат безпосередньо із ряду розподілу без твірної функції було б значно складніше. Аналогічно знаходимо другий початковий момент за формулою Маємо Другий початковий момент Дисперсію величини Х знайдемо, віднімаючи із Беручи корінь квадратний із дисперсії, одержимо середнє квадратичне відхилення Отже ми показали, що для випадкової величини Х, розподіленої за біноміальним законом з параметрами математичне сподівання і дисперсія дорівнюють Найімовірніше число появ події Число настання події у незалежних випробуваннях, у кожному із яких імовірність появи події дорівнює називається найімовірнішим, якщо імовірність того, що подія настане у цих випробуваннях разів, перевищує (або, по крайній мірі, не менше) імовірності інших, можливих результатів випробування. Найімовірніше число визначається із нерівності причому:
Твірна функціяРозглянемо схему незалежних випробувань, у якій імовірності появ події різні. Нехай проводяться незалежних випробувань, у яких імовірності появи події А у і-му випробуванні дорівнюють і не появи відповідно Позначимо через імовірність появи події А у випробуваннях рівно разів. Твірною функцією ймовірностей називають функцію, яка визначається рівністю Імовірність того, що у незалежних випробуваннях подія А з’явиться рівно разів, дорівнює коефіцієнту при у розкладенні твірної функції за степенями Наприклад, якщо то Тут імовірність дорівнює коефіцієнту при – коефіцієнту при , – коефіцієнту при Біноміальний розподіл широко використовується у теорії і практиці статистичного контролю якості продукції, у теорії масового обслуговування і інших прикладних областях математичної статистики. Функції Mathcad для роботи з біноміальним розподілом: dbinom(), qbinom(), rbinom(). Приклад 15. Визначимо імовірнісні характеристики біноміального розподілу при і Алгоритм у Mathcad Визначення біноміального розподілу Максимальне значення імовірності і мода Математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення Визначення функції розподілу Найімовірніше число появ події У Mathcad найімовірніше значення випадкової величини (моду розподілу) можна також визначити і графічно. Для того, щоб визначити по графіку розподілу найбільш імовірне значення випадкової величини, клацніть у меню (Формат) у пункті (Графік) по рядку (Слідування), встановіть перехрестя маркера на точці максимуму розподілу і виведіть у робочий документ значення , вказаного у вікні (Величина Х), максимальне значення. Асимптотичні формули для біноміального розподілу
У прикладеннях часто доводиться обчислювати імовірності різноманітних подій, пов’язаних з кількістю успіхів у випробуваннях схеми Бернуллі при великих значеннях . У цьому випадку обчислення за формулою Бернуллі становляться утрудненими. Тому виникає бажання мати більш прості наближені формули для обчислення ймовірностей при великих . Такі формули, які називаються асимптотичними, існують і визначаються теоремами Пуассона, локальною і інтегральною теоремами Муавра-Лапласа. Таким чином, формули обчислення ймовірностей для біноміального розподілу можна замінити більш простими асимптотичними формулами. Одна із них заснована на теоремі Пуассона, яка стверджує наступне. Якщо кількість випробувань і імовірність настання події у одному випробуванні так, що то Це означає, що при великих і малих замість точної формули можна користуватись формулою Пуассона де Приклад.16. Для порівняння точності обчислень за формулами Бернуллі і Пуассона обчислимо імовірності появи подій при і , а також при і . Алгоритм у Mathcad Значення імовірності за формулою Бернуллі Значення імовірності за формулою Пуассона Із наведених обчислень видно, що у першому випадку (при результати обчислень за точною і асимптотичною формулами співпадають, а у другому – відрізняються у третьому знаку.
На практиці пуассонівським наближенням користуються при Якщо то для обчислень використовують наближення у відповідності з теоремою Муавра–Лапласа. Нехай і величина обмежена при тоді Вимога обмеженості величини означає, що при величина теж повинна зростати з величиною Точність формули зростає як із зростанням величин і так і по мірі наближення величин і до Приклад 17. Для і обчислимо імовірність того, що випадкова величина, розподілена за біноміальним законом, прийме значення, рівне Обчислення проведемо за формулою Бернуллі і за наближеною формулою Муавра–Лапласа. Алгоритм у Mathcad Наведені обчислення підтверджують теоретичні твердження, що похибка апроксимації зменшується із зростанням і по мірі наближення і до
Нехай , тоді для випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом з параметром при для будь-яких і справедлива формула Це означає наступне. Для обчислення імовірності того, що кількість успіхів у випробуваннях у схемі Бернуллі вміщено між і , можна використовувати формулу де функція Лапласа, Точність цієї наближеної формули зростає із зростанням Якщо порівняно невелике, то краще наближення дає формула У Mathcad для обчислення значень призначена функція Приклад 18. Обчислимо імовірність того, що випадкова величина яка має біноміальний розподіл з параметрами і , приймає значення із інтервалу за точною формулою і асимптотичною інтегральною формулою Муавра–Лапласа. Алгоритм у Mathcad Наведені обчислення підтверджують теоретичні твердження, що наближені значення ймовірностей співпадають із ймовірностями, обчисленими за формулою Бернуллі.
7.2. Від’ємний біноміальний розподіл
Випадкова величина X, визначена на зліченій множині невід’ємних чисел, має від’ємний біноміальний розподіл (розподіл Паскаля) го порядку з параметрами і , якщо імовірності її значень визначаються за формулою Графіки розподілу для різних значень параметрів і наведені на Математичне сподівання і дисперсія дорівнюють При натуральному m від'ємний біноміальний розподіл визначає кількість випробовувань у схемі Бернуллі, необхідних для того, щоб одержати деяку подію А рівно m разів. Цей розподіл часто зустрічається при вибірковому контролі якості продукції, у теорії надійності та в інших областях прикладень. Функції Mathcad для роботи з від’ємним біноміальним розподілом: dnbinom(), pnbinom(), qnbinom(), rnbinom().
7.3. Геометричний розподілВипадкова величина X має геометричний розподіл з параметром p якщо Математичне сподівання і дисперсія розподілу дорівнюють Цей розподіл є частинним випадком від'ємного біноміального розподілу при (формула (1.89)). Він визначає число випробувань у схемі Бернуллі, необхідних для того, щоб одержати подію А рівно один раз. Дійсно, нехай здійснюються незалежні випробування, у кожному із яких імовірність появи події А дорівнює і, отже, імовірність її непояви Випробування закінчуються, як тільки з’явиться подія А. Таким чином, якщо подія А з’явилась у -му випробуванні, то у попередніх випробуваннях вона не з’являлась. Позначимо через Х дискретну випадкову величину – число випробувань, які потрібно провести до першої появи події А. Очевидно, можливими значеннями Х є числа 1, 2, … Нехай у перших випробуваннях подія А не відбулась, а у - му відбулась. Імовірність цієї події за теоремою множення ймовірностей незалежних подій дорівнює Покладаючи у цій формулі , одержимо геометричну прогресію із першим членом і знаменником Легко впевнитись, що даний ряд збігається і його сума дорівнює одиниці, дійсно, Графіки розподілу для різних значень параметрів і наведені на Функції Mathcad для роботи з геометричним розподілом: dgeom(), pgeom (), qgeom (), rgeom(). 7.4. Гіпергеометричний розподілВипадкова величина Х має гіпергеометричний розподіл з параметрами , якщо де біноміальні коефіцієнти, Для будь-яких значень параметрів, які входять у розподіл Для цього розподілу математичне сподівання і дисперсія дорівнюють Існує і інша форма цього розподілу. Нехай де Графік розподілу для значень параметрів наведений на рис. 5. Типова ситуація, де з’являється гіпергеометричний розподіл така: перевіряється партія готової продукції об’ємом у якій виробів стандартні і нестандартні. Якщо випадковим чином із усієї партії вибрати контрольну партію із виробів, то кількість стандартних виробів у цій партії буде випадковою величиною можливі значення якої мають гіпергеометричний розподіл. Дійсно, число усіх елементарних подій дорівнює числу способів, якими можна вибрати виробів із Це число дорівнює тобто числу сполучень із елементів по Кожний набір виробів, який входить у подію, яка нас цікавить, складається із стандартних виробів і нестандартних. Усі такі набори можна одержати відповідно різними способами. Оскільки будь-який спосіб вибору стандартних виробів може комбінуватись із будь-яким способом вибору нестандартних виробів, то загальне число таких способів дорівнює Визначаючи відношення цього числа способів до загального числа способів вибору виробів, одержимо гіпергеометричний розподіл ймовірностей. Випадкову величину , розподілену за біноміальним законом (1.84), можна інтерпретувати як кількість об’єктів, які мають дану властивість, із загальної кількості об’єктів, випадково вилучених із деякої уявної нескінченої сукупності, частка об’єктів якої має цю властивість. Тому гіпергеометричний розподіл можна розглядати як модифікацію біноміального розподілу для скінченої сукупності, яка складається із об’єктів, із яких мають цю властивість. Можна показати, що при функція імовірності (113) гіпергеометричного розподілу прямує до відповідної функції (106) біноміального розподілу. Гіпергеометричний розподіл широко використовується у практиці статистичного приймального контролю якості продукції, у задачах, пов’язаних із організацією вибіркових обслідувань, і інших областях. Функції Mathcad для роботи з гіпергеометричним розподілом: Приклад 19. У лотереї “Спортлото 6 із 45” грошові призи одержують учасники, які вгадують 6 видів із 45 (розмір призу збільшується із збільшенням кількості вгаданих видів спорту. Знайти: ● закон розподілу випадкової величини Х – числа вгаданих видів спорту серед випадково відібраних шести; ● імовірність одержання грошового призу; ● математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х. Алгоритм у Mathcad Початкові дані задачі Математичне сподівання випадкової величини Х (середня кількість вгаданих видів спорту із 6) і її дисперсія Таким чином, середня кількість вгаданих видів спорту із 6 всього 0,8, а імовірність виграшу 0,024.
7.5. Розподіл ПуассонаДискретна випадкова величина X має розподіл Пуасcона з параметром якщо вона приймає значення з імовірностями Для цього розподілу математичне сподівання і дисперсія співпадають, тобто Графік розподілу для різних значень параметра наведений на рис. 1.5. Розподіл Пуассона виникає при наступних обставинах. Нехай здійснюється незалежних випробувань, у кожному із яких імовірність появи події дорівнює Для визначення імовірності появ події у цих випробуваннях використовують формулу Бернуллі. Якщо ж велике, то використовується асимптотична формула Лапласа. Однак ця формула непридатна, якщо імовірність події мала У цих випадках ( велике, мале) прибігають до асимптотичної формули Пуассона. Отже, поставимо задачу знайти імовірність того, що при дуже великій кількості випробувань, у кожному із яких імовірність події дуже мала, подія настане рівно разів. Зробимо припущення, що величина зберігає постійне значення, а саме Це також означає, що середнє число появ події у різних серіях випробувань, тобто при різних залишається постійним. Скористаємося формулою Бернуллі для обчислення імовірності, яка нас цікавить: Таким чином, одержуємо формулу (114). Ця формула виражає закон розподілу Пуассона ймовірностей масових ( велике) і рідких ( мале) подій. Розподіл Пуаcсона відіграє важливу роль при моделюванні випадкових потоків подій. Він є моделлю для опису випадкової кількості появ певних подій у фіксований проміжок часу, або у фіксованій області простору. Він широко застосовується у теорії масового обслуговування для опису вхідних і вихідних потоків, теорії надійності для характеристики кількості відмов елементів складних систем тощо. Функції Mathcad для роботи з розподілом Пуассона: dpois (), ppois(), qpois(), rpois().
7.6. Рівномірний розподіл
Випадкова величина X має рівномірний розподіл на інтервалі , якщо її щільність імовірності дорівнює Для цієї випадкової величини математичне сподівання, дисперсія, коефіцієнт асиметрії і ексцес відповідно дорівнюють Рівномірний закон розподілу використовується при аналізі похибок округлення при проведенні числових розрахунків, у ряді задач масового обслуговування, при статистичному моделюванні спостережень, підкорених заданому розподілу. Випадкова величина , розподілена за рівномірним законом на відрізку [0, 1], яка називається “випадковим числом від 0 до 1”, використовується для одержання випадкових чисел з будь-яким законом розподілу. Графіки розподілу для різних значень параметрів наведені на Функції Mathcad для роботи із рівномірним розподілом: dunif(), punif(), qunif(), runif().
7.7. Експоненціальний (показниковий) розподіл
Випадкова величина X має експоненціальний розподіл з параметром λ якщо її щільність імовірності і функція розподілу дорівнюють Математичне сподівання, дисперсія, мода і медіана відповідно дорівнюють Графік розподілу для різних значень параметра наведений на рис. 1.7. Експоненціальний розподіл застосовується при моделюванні випадкових процесів у теорії масового обслуговування, теорії надійності тощо (він має так звану властивість відсутності післядії). Експоненціально розподілену випадкову величину можна інтерпретувати також як проміжок часу між двома послідовними настаннями подій у потоці Пуассона. Прикладна популярність експоненціального розподілу пояснюється не тільки різноманітними можливостями природної фізичної інтерпретації, але і винятковою простотою і зручністю його модельних властивостей. Для нього добре розроблений математичний апарат розв'язання багатьох практичних задач, у зв'язку з чим багато дослідників стараються описувати статистичні дані цим розподілом. Функції Mathcad для роботи з експоненціальним розподілом: dexp(), pexp(), qexp(), rexp().
7.8. Розподіл Вейбулла
Випадкова величина має розподіл Вейбулла з параметрами якщо її щільність імовірності обчислюється за формулою Для цієї величини математичне сподівання і дисперсія відповідно дорівнюють: Графік розподілу для різних значень параметрів наведений на рис. 9. Розподіл Вейбулла застосовується у теорії надійності, зокрема для опису часу безвідмовної роботи приладів. При розподіл Вейбулла перетворюється на експоненціальний розподіл з параметром Функції Mathcad для роботи з розподілом Вейбулла: dweibull(), pweibull (), qweibull (), rweibull().
7.9. Нормальний розподіл
Неперервна випадкова величина X має нормальний розподіл з параметрами a і , якщо її щільність і функція розподілу ймовірностей обчислюються за формулами Для нормально розподіленої випадкової величини математичне сподівання, дисперсія, коефіцієнт асиметрії і ексцес дорівнюють: Якщо випадкова величина має нормальний розподіл з параметрами і то це записують у вигляді Випадкова величина має стандартний або нормований нормальний розподіл, якщо і тобто Лінійне перетворення приводить довільну нормально розподілену величину до стандартного (нормованого) нормального розподілу. Щільність нормованого розподілу виражається формулою а його функція розподілу – де функція Лапласа Функція розподілу нормальної випадкової величини виражається через функцію (інтеграл імовірності) Лапласа по формулі: Графіки щільності нормального розподілу (криві нормального розподілу) для різних значень параметрів і представлені на рис. 10. Геометрично функція нормального розподілу представляє собою площину під нормальною кривою на інтервалі Вона складається із двох частин: перша, на інтервалі дорівнює тобто половині усієї площини під нормальною кривою, і друга, на інтервалі яка дорівнює Властивості випадкової величини, розподіленої за нормальним законом: 1. Імовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини у заданий інтервал обчислюється за формулою де функція нормованого нормального розподілу. 2. Імовірність того, що відхилення випадкової величини Х, розподіленої за нормальним законом, від математичного сподівання а по абсолютній величині не перевищить величину , дорівнює Зокрема при має місце правило трьох сігм: Це означає, що для нормально розподіленої випадкової величини з параметрами , тобто практично достовірно, що її значення вміщені у інтервалі Фундаментальна роль, яку відіграє нормальний розподіл у теорії ймовірностей і математичній статистиці, пояснюється тим, що при достатньо широких умовах розподіл суми випадкових величин із зростанням кількості доданків асимптотично збігається до нормального. Відповідні умови збіжності наведені у центральній граничній теоремі теорії ймовірностей. Функції Mathcad для роботи з нормальним розподілом: dnrom(), pnorm(), qnorm(), rnorm().
7.10. Бета-розподіл
Випадкова величина X має бета-розподіл з параметрами α і β якщо її щільність імовірності обчислюється за формулою Тут і далі – гама-функція Ейлера. Для цієї випадкової величини Якщо то бета-розподіл одномодальний з модою у точці При бета-розподіл є рівномірним розподілом на інтервалі Криві бета-розподілу для різних значень параметрів і наведені на У наслідок того, що бета-розподіл приймає різні форми, він використовується для опису великої кількості реальних випадкових величин при контролі якості продукції, у теорії надійності, для оцінки тривалості певного етапу роботи при календарному плануванні. У математичній статистиці бета-розподіл найбільш часто зустрічається у якості розподілу порядкових статистик. Функції Mathcad для роботи з бета–розподілом: dbeta(), pbeta(), qbeta(), rbeta().
7.11. Гама-розподіл
Випадкова величина має гама-розподіл з параметрами якщо її щільність імовірності обчислюється за формулою: Математичне сподівання і дисперсія цієї величини дорівнюють: При мода розподілу знаходиться у нулі, а при у точці Якщо то гама-розподіл співпадає із експоненціальним розподілом, а при з розподілом з ступенями свободи. У випадку і ( натуральне число) цей розподіл називають розподілом Ерланга з параметрами і Графіки розподілу для різних значень параметрів наведені на рис. 12. Гама-розподіл і його частинні випадки широко використовуються у теорії ймовірностей і математичній статистиці. Функції Mathcad для роботи з гама–розподілом: dgamma(), pgamma(), qgamma(), rgamma().
7.12. РозподілРозподілом з ступенями свободи називається розподіл суми квадратів незалежних випадкових величин, розподілених за стандартним нормальним законом, тобто де мають нормальний розподіл Щільність імовірності - розподілу обчислюється за формулою Для даного розподілу математичне сподівання, дисперсія, коефіцієнт асиметрії і ексцес дорівнюють При мода знаходиться у точці Криві – розподілу, побудовані у Mathcad, для різних значень кількості ступенів свободи наведені на рис. 13. У математичній статистиці розподіл застосовується при побудові цілої низки різноманітних критеріїв, у тому числі при перевірці гіпотез узгодженості вибіркових даних з вибраним законом розподілу і у методі найменших квадратів. Функції Mathcad для роботи з розподілом : dchisq(), pchisq(), qchisq(),
7.13. Розподіл Стьюдента
Розподілом Стьюдента (або розподілом) називається розподіл випадкової величини де випадкова величина, розподілена за стандартним нормальним законом, тобто – незалежна від випадкова величина, яка має - розподіл з ступенями свободи. Щільність імовірності розподілу Стьюдента має вигляд: Криві розподілу для різних значень кількості ступенів свободи наведені на рис. 14. Математичне сподівання, дисперсія, коефіцієнт асиметрії і ексцес дорівнюють При великих значеннях розподіл Стьюдента асимптотично наближається до нормального розподілу. Розподіл Стьюдента має багаточисельні застосування у математичній статистиці при побудові інтервальних оцінок параметрів розподілів, при побудові критеріїв перевірки статистичних гіпотез. Функції Mathcad для роботи з розподілом Стьюдента: dt(), pt(), qt(), r().
7.14. F-розподіл Фішера-Снедекора
Розподілом Фішера-Снедекора (або розподілом) з ступенями свободи називається розподіл випадкової величини де і випадкові величини, які мають розподіл відповідно з і ступенями свободи. Щільність імовірності розподілу має вигляд: Математичне сподівання і дисперсія дорівнюють При мода знаходиться у точці Графіки – розподілу для різних значень кількості ступенів свободи і наведені на рис. 15. розподіл відіграє основну роль при порівнянні вибіркових дисперсій із нормально розподілених сукупностей. Він також широко використовується у регресійному і дисперсійному аналізі. Функції Mathcad для роботи з F – розподілом: df(), pf(), qf(), rf().
7.15. Розподіл Парето
Розподілом Парето називається розподіл випадкової величини, щільність розподілу якої має вигляд Графік розподілу Парето для різних значень параметрів і наведений на рис. 16. Математичне сподівання, дисперсія мода і медіана дорівнюють: Розподіл Парето відноситься до так званих “усічених” розподілів. Такі розподіли описують імовірнісні закономірності у неповних (усічених) генеральних сукупностях, тобто у таких сукупностях, із яких зарані вилучені усі елементи із значеннями, які перевищують або менше деякого заданого рівня Розподіл Парето широко застосовується у економічних дослідженнях. Наприклад, при дослідженні розподілу доходів осіб, річний доход яких перевищує деякий заданий рівень встановлений законом про податки.
1.8. Функції Mathcad для проведення імовірнісних і статистичних розрахунків
У Mathcad є великий набір функцій для обчислення різних характеристик випадкових величин, а також характеристик векторів і матриць, які у статистичному аналізі представляють масиви вибіркових даних – варіаційні ряди. До цих функцій відносяться: функції знаходження мінімального і максимального значення вибірки, функції побудови варіаційного ряду, частотного розподілу вибірки, функції обчислення точкових і інтервальних оцінок параметрів розподілів. Для обчислень з випадковими величинами у Mathcad є також великий набір функцій найбільш вживаних стандартних розподілів (нормального, експоненціального, рівномірного розподілів, розподілу Пуассона тощо). Неперервні розподіли представлені у бібліотеці Mathcad трьома видами функцій – щільностями розподілу, функціями розподілу і функціями, оберненими до функцій розподілу (функції обчислення квантилів розподілів). Для дискретних розподілів–функції обчислення імовірності значень випадкової величини, вказаної у якості аргументу функції. Ці та інші функції розміщені відповідно у ах бібліотеки Mathcad: Щільність імовірності (Probability Density), Функції розподілу (Probability Distribution), функції обчислення квантилів розподілу (All Function Cateqory), функції створення векторів з різними розподілами (Random Numbers), функції регресії та згладжування (Regression and Smoothinq), статистичні функції (Statistics) та інш. 1. Функції визначення характеристик векторів і матриць
2. Функції сортування масивів
3. Числові функції
4. Матричні функції
5. Функції щільності розподілу ймовірностей
7. Квантилі розподілів
8. Функції створення векторів із різними законами розподілу
9. Векторні і матричні операториПозначення: V – вектор, M – матриця, – скаляр
Задачі 1. За умовами лотереї “Спортлото 6 із 45” учасник лотереї, який вгадав 4, 5 і 6 видів спорту із відібраних при випадковому розиграші 6 видів спорту із 45, одержує грошовий приз. Знайти імовірність того, що будуть вгадані відповідно 4, 5 і 6 цифр. 2. У деякій академічній групі є студентів. Знайти ймовірність того, що хоча б у двох студентів дні народження співпадають. При якій кількості студентів імовірність тієї ж події не менше ніж 0,9? Припускається рівноможливість народження у будь-який день року. 3. На нараді активу університету кожна із 10 академічних група має по 2 представника. Із складу учасників наради випадковим чином сформована комісія у складі 10 студентів. Знайти:
4. Із колоди карт, яка має 32 листа, виймається навмання 4 карти. Знайти імовірність того, що серед них буде хоча б один туз. 5. Завод виготовляє вироби, кожний із яких з імовірністю (незалежно від інших) виявляється дефектним. Для контролю якості із продукції заводу за схемою випадкового вибору відібрано виробів. При огляді дефект, якщо він є, виявляється з імовірністю Знайти ймовірності наступних подій:
6. Комп’ютер має надійність (імовірність безвідмовної роботи за час ), яка дорівнює З метою підвищення надійності він дублюється ще одним комп’ютером. Якщо перший комп’ютер за деякий час відмовив, то відбувається автоматичне і безвідмовне перемикання на дублюючий. Комп’ютери відмовляють незалежно один від одного. Знайти ймовірність того, що система двох комп’ютерів пропрацює безвідмовно час 7. Є дві партії однорідних виробів. Перша складається із М виробів, серед яких дефектних, друга – із виробів, серед яких дефектних. Із першої партії беруть випадковим чином виробів, із другої виробів і перемішують між собою Знайти ймовірність того, що взятий наугад виріб буде дефектним. 8. Розслідуються причини виходу із ладу комп’ютера, відносно яких є чотири версії (гіпотези): Згідно статистики, Діагностика комп’ютера показала, що комп’ютер вийшов із ладу у наслідок відмови вінчестера (відбулась подія А). Умовні ймовірності події А при гіпотезах згідно тій же статистики, дорівнюють Знайти апостеріорні (нові) імовірності гіпотез. 9. Товарознавець перевіряє 25 зразків товарів. Імовірність того, що кожний із зразків буде визнаний придатним до продажу, дорівнює 0,9. Знайти:
10. Пристрій складається із 3 незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента у одному випробуванні дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу кількості елементів, які відмовили у одному випробуванні. 11. В партії із 20 деталей 18 стандартних. Наудачу відібрані 4 деталі. Скласти закон розподілу числа стандартних деталей серед відібраних. 12. Студент проходить комп’ютерне тестування знань по теорії ймовірностей, послідовно одержуючи нові запитання. Імовірність того, що студент відповість на будь-яке задане питання, дорівнює 0,9. Тестування припиняється, як тільки студент виявляє незнання заданого питання. Припускаючи, що за кожну правильну відповідь студент одержує один бал, потрібно:
13. Фірмовий магазин комп’ютерної техніки одержав 500 моніторів. Імовірність того, що при транспортування монітор виявиться пошкодженим, дорівнює 0,008. Знайти імовірність того, що магазин одержить пошкоджених моніторів: а) хоча б один; б) рівно два; менше 4. 14. У деякій академічній групі університету із 25 студентів 20 студентів мають доступ до мережі Internet. Знайти ймовірність того, що:
Обчислення провести за локальною та інтегральною формулами Муавра-Лапласа. 15. Підкидають гральних кісток. Знайти математичне сподівання і дисперсію суми числа очок, які випадуть на всіх гранях. 16. Знайти математичне сподівання і дисперсію дискретної випадкової величини Х, розподіленої за біноміальним законом, використовуючи її твірну функцію . 17. Знайти математичне сподівання і дисперсію дискретної випадкової величини Х, розподіленої за законом Пуассона: . 18. Поїзди метрополітена йдуть регулярно з інтервалом у 3 хв. Пасажир виходить на платформу у випадковий момент часу, не пов’язаний із розкладом поїздів. Знайти щільність випадкової величини Т – часу, на протязі якого йому доведеться чекати поїзда, її математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення. Знайти імовірність того, що чекати доведеться не більше 2 хвилини. 19. Неперервна випадкова величини Т –час безвідмовної роботи деякого пристрою має експоненціальний розподіл із щільністю імовірності Знайти імовірність безвідмовної роботи пристрою за час Знайти імовірність того, що Т прийме значення, яке належить інтервалу (1, 2). 20. Випробовують два незалежно працюючих елемента. Тривалості часу безвідмовної роботи елементів мають експоненціальний розподіл з параметрами Знайти імовірність того, що за час тривалістю 5 годин:
21. Час ремонту комп’ютера розподілений за експоненціальним законом з математичним сподіванням, рівним 0,5 год. У ремонт здані два комп’ютери, які починають ремонтуватись одночасно. Знайти закон розподілу часу, витраченого клієнтом на чекання: а) одного готового комп’ютера; б) двох готових комп’ютерів. 22. Довести, що параметри нормального розподілу є відповідно математичним сподіванням і середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х. Вказівка. При знаходженні слід ввести змінну і використати інтеграл Пуассона 23. Автомат штампує деталі. Контрольована довжина деталі Х, яка розподілена нормально із математичним сподіванням (проектна довжини) 50 мм. Фактична довжина виготовлених деталей не менше 35 мм і не більше 65 мм. Знайти імовірність того, що довжина навмання взятої деталі: а) менше 45 мм; б) більше 55 мм. Вказівка. Із рівності попередньо визначити 24. Поточна ціна акції може бути змодельована за допомогою нормального закону розподілу з математичним сподіванням 50 гр. од і середнім квадратичним відхиленням 5 гр. од.
25. Випадкова величина Х має нормальний розподіл з математичним сподіванням Імовірність попадання Х у інтервал дорівнює Чому дорівнює імовірність попадання Х у інтервал: 26. Квантиль рівня 0,15 нормально розподіленої випадкової величини Х дорівнює 12, а квантиль рівня 0,6 дорівнює 16, знайти математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х (відповідь: 27. Розглядається двовимірна випадкова величина де Х – поставка товару, – замовлення на нього. Відомо, що надходження товару і надходження замовлення на нього можуть відбутись у будь-який день місяця (30 днів) з рівною імовірністю. Визначити:
28. Дані щільності імовірності незалежних складових двовимірної випадкової величини Визначити:
29. Є незалежні випадкові величини Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом з параметрами Випадкова величина розподілена рівномірно на відрізку Знайти вираз сумісної щільності і функції розподілу двовимірної випадкової величини 30. Незалежні випадкові величини розподілені за нормальними законами з параметрами Знайти імовірності подій: 31. Випадкова величина Х розподілена рівномірно у інтервалі . Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкових величин: 32. Неперервна випадкова величина Х розподілена за експоненціальним законом з параметром Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини 33. Є дві незалежні випадкові величини Величина Х розподілена за нормальним законом з параметрами Величина розподілена рівномірно в інтервалі Знайти: 33. Незалежні нормально розподілені випадкові величини задані щільностями імовірності Знайти композицію цих законів, тобто щільність імовірності випадкової величини і її числові характеристики 34. Сума усіх вкладів у відділення банку складає 10 млн. грн., а ймовірність того, що випадково взятий вклад не перевищить 10 тис. грн., дорівнює 0,8. Оцінити ймовірну кількість вкладників банку. 35. Імовірність появи події А у кожному випробуванні дорівнює 0,8. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити імовірність того, що число Х появ події А буде знаходитись у межах від 50 до 80, якщо зроблено 100 незалежних випробувань 36. Імовірність виготовлення стандартної деталі дорівнює 0,8. Оцінити за допомогою нерівності Чебишева імовірність того, що кількість бракованих деталей серед 800 перевірених деталей знаходиться у межах від 40 до 80. Уточнити імовірність тієї ж події за допомогою інтегральної теореми Муавра-Лапласа. 37. Для визначення середньої тривалості горіння електроламп у партії із 100 однакових коробок було взято у вибірку по одній лампі із кожного ящика. Оцінити імовірність того, що середня тривалість горіння відібраної із 100 електроламп відрізняється від середньої тривалості горіння ламп у всій партії не більше ніж на 50 годин (за абсолютною величиною), якщо відомо, середнє квадратичне відхилення тривалості горіння ламп у кожній коробці менше 25 годин. 38. Скільки потрібно провести вимірювань даної величини, щоб з імовірністю не менше 0,95 гарантувати відхилення середньої арифметичної цих вимірювань від дійсного значення величини не більше, ніж на 2 (за абсолютною величиною), якщо середнє квадратичне відхилення кожного із вимірювань не перевищує 4? З повагою ІЦ “KURSOVIKS”! |