Лекція на тему 1-4 з курсу Комп’ютерні технології у розв’язанні задач Теорії імовірностей , НУДПСУ
« Назад
1. Випадкові події і ймовірності подій1.1. Алгебра подійТеорія ймовірностей – математична наука, яка вивчає закономірності випадкових явищ. Під випадковими явищами розуміються явища із невизначеним результатом, які відбуваються при неодноразовому відтворенні певного комплексу умов. Серед основних понять теорії ймовірностей і математичної статистики фундаментальними є поняття випробування (експеримент) і подія. Випробуванням називають спостереження деякого явища при виконані певного комплексу умов, який кожен раз повинен строго виконуватись при повторенні даного випробування. Спостереження того ж явища при іншому комплексі умов буде вже другим спостереженням. Результати випадкового випробування заздалегідь не відомі і є випадковими. Будь-який факт називається випадковою подією, якщо при здійснені певної сукупності умов S подія може відбутись або не відбутись. При цьому кажуть, що подія відбулась (з’явилась) або не відбулась (не з’явилась) у результаті випадкового випробування. Отже випадкова подія є результат випадкового випробування (експерименту). Прикладами випадкових подій можуть служити відмови приладів у заданому інтервалі часу, прибуття клієнтів у деякий сервіс тощо. Нехай маємо множину усіх можливих подій. Елементи цієї множини можуть знаходитись у певних відношеннях між собою, утворюючи ту, чи іншу структуру. При цьому подія сама може бути множиною деяких інших подій, породжених певною сукупністю умов по’єднанням, суперпозицією, перетином тощо декількох подій цієї або іншої множини подій Окремі прояви, реалізації цієї події (елементи множини ) вважаються елементарними подіями, якщо їх не можна описати як поєднання, суперпозицію деяких інших подій. У математичній моделі можна прийняти поняття події як первісне, інтуітивне, не визначене через інші поняття, і яке характеризується тільки своїми властивостями. Подія А міститься в події В, або є частинним випадком події В, якщо при кожній реалізації сукупності умов , при якій відбувається подія А, відбувається і подія В. Цей факт позначається як Множина усіх можливих подій, які породжуються певною сукупністю умов , називається повною групою подій. Цю множину прийнято позначати літерою Отже, для будь-якої випадкової події відповідна їй множина Подія називається протилежною події А (доповненням події А або запереченням А), якщо вона полягає у не появі події А. Це теоретико-множинне доповнення відповідної множини до множини усіх можливих подій На множині випадкових подій природним чином можна ввести операції, що перетворюють її у спеціальну математичну структуру – алгебру подій. У теорії множин вона називається алгеброю Буля. Сумою або об’єднанням подій А і В називається така подія (або ), яка складається із усіх елементарних подій, які належать принаймні одній із подій А або В. Можна сказати, що у реальному випробуванні подія , полягає у виконанні або події А, або події В, або подій А та В одночасно. Добутком подій А і В називається така подія АВ (або ), яка складається із елементарних подій, які належать і А і В. Подія АВ відбувається тільки тоді, коли одночасно відбувається і подія А і подія В. Оскільки сума і добуток двох подій знову ж є відповідною подією, то поняття суми і добутку подій узагальнюється на будь-яку скінчену чи злічену кількість подій. Подія складається із елементарних подій, які належать принаймні одній із подій Подія складається із елементарних подій, які належать кожній події Різницею подій А і В називається подія, яка складається із елементів множини А, які не належать множині В. Подія відбувається тільки тоді, коли відбувається А і не відбувається В. Дві події називаються еквівалентними, якщо поява кожної із них супроводжує появу іншої, тобто при кожній реалізації сукупності умов обидві ці події або відбуваються, або не відбуваються. Подія А тягне за собою подію В, позначається якщо із настання події А випливає настання події В. Якщо то говорять що події А і В рівносильні і записують Достовірною називається подія U, яка в результаті випробування обов’язково відбувається. Отже множина можливих реалізацій достовірної події є повною сукупністю подій, тобто Неможливою називається подія V, яка в результаті випробування обов’язково не відбувається. Отже неможлива подія є протилежною до достовірної. Множина можливих реалізацій неможливої події є порожньою множиною, тобто Події А та В у даному випробувані називаються несумісними, якщо ніякі дві із них не можуть відбутись одночасно. Якщо події А і В несумісні, то Множина подій, з так введеними операціями, утворює алгебру подій. Зокрема, для довільних подій А, В і С виконуються наступні тотожності: Наведені рівності випливають безпосередньо з означень дій над подіями. Їх доведення виконується методом включень і виключень. Наприклад, рівність 6 доводиться наступним чином. Нехай елементарна подія х належить події Тоді має місце принаймні один із випадків: Але тоді тобто Отже, якщо відбувається подія то відбувається і подія Тому тобто подія сприяє події Нехай тепер елементарна подія х належить події Тоді відбуваються обидві події та Отже, або тоді або ж тоді а тому Це означає, що тобто подія сприяє появі події Отже, рівність доведена. Нехай довільний простір елементарних подій, а U – деякий клас підмножин множини . Клас підмножин Uназивається алгеброю подій, якщо 1. U, U; 2. Із випливає U; 3. Із U випливає U, U. Алгебра подій Uназивається алгеброю подій, якщо вона замкнута відносно злічених сум і добутків. 1.2. Імовірності подійПодії природно порівнювати за тим, як часто кожна з них відбувається при повторенні даного випробування. Якщо при повторенні випробування одна подія з’являється частіше, ніж інша, то говорять, що перша подія ймовірніша за другу. При цьому для порівняння подій необхідно, щоб дане випробування можна було б повторити скільки завгодно разів при додержанні одного і того ж комплексу умов. Отже для порівняння подій необхідна певна міра їх об’єктивної можливості. Означення. Чисельна міра ступеня об’єктивної можливості настання події називається імовірністю події. Це означення якісно відображає поняття імовірності події і не є математичним. Щоб воно стало таким, потрібно визначити його кількісно. Існує декілька означень понять імовірності: класичне, геометричне, статистичне. Найбільш загальним і повним означенням поняття імовірності є аксіоматичне означення, яке ґрунтується на теоретико-множинній трактовці основних понять теорії ймовірностей. Класичне означення імовірності ґрунтується на рівноможливості результатів випробування (елементарних подій). Таким чином імовірність появи кожної з n рівноможливих подій повної сукупності подій дорівнює . Класичне означення імовірності. Імовірністю події А називається відношення кількості сприятливих елементарних подій події А до загальної кількості елементарних подій у повній групі подій де – імовірність події А, – кількість елементарних подій, сприятливих А, – загальна кількість елементарних подій у даному експерименті. Статистичне означення імовірності. Статистичною імовірністю (відносною частотою) події А називається відношення числа її появ до числа усіх проведених випробувань де – статистична імовірність події А, – кількість випробувань, у яких відбулась подія А, – загальна кількість випробувань. Статистичне означення імовірності, як і поняття і методи теорії імовірності в цілому, застосовні не до будь-яких подій з невизначеним результатом, а тільки до тих із них, які мають певні властивості: ● події повинні бути результатами тільки тих випробувань, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів при одному і тому ж комплексі умов. Окремими подіями теорія ймовірностей не займається. ● події повинні мати так званою статистичну сталість, або сталість відносних частот. Це означає, що у різних серіях випробувань відносна частота (частість) події змінюється незначно (тим менше, чим більше випробувань), коливаючись навколо постійного числа. Цим постійним числом і є імовірність події. Наближення відносної частоти, або частки, події до її імовірності при збільшені числа випробувань, є експериментально встановленим фактом. ● число випробувань, в результаті яких відбувається подія А, повинно бути досить великим, тому що тільки у цьому випадку відносна частота події може наближено дорівнювати її імовірності. Приклад 1. Є дві урни, у першій 5 білих і 3 чорних кулі, у другій – 4 білих і 6 чорних. Знайти: ● імовірність того, що кулі будуть однакового кольору; ● імовірність того, що кулі будуть різних кольорів. Розв’язання. Подію А={обидві кулі одного кольору} можна представити у вигляді суми двох варіантів: Кожний із варіантів є добуток двох подій: де {із першої урни узята біла куля}, {із другої урни узята біла куля}, {із першої урни узята чорна куля}, {із другої урни узята чорна куля}. Події і між собою незалежні. Застосовуючи правило множення для незалежних подій, одержимо Оскільки варіанти несумісні, то за правилом додавання Подія ={кулі будуть різних кольорів } дорівнює , де достовірна подія. Таким чином, Алгоритм у MathcadДані задачі Імовірності того, що кулі, узяті із першої і другої урни білі Імовірності того, що кулі, узяті із першої і другої урни чорні Імовірності того, що обидві кулі білі і обидві кулі чорні Імовірність того, що обидві кулі однакового кольору Імовірність того, що обидві кулі різних кольорів 1.3. Аксіоматична побудова теорії ймовірностейЗгідно аксіоматичній теорії математичні моделі випадкових явищ, які вивчаються у теорії ймовірностей, ґрунтуються на понятті імовірнісного простору , де – множина усіх можливих результатів деякого випробування (експерименту). Кожний елемент множини називається елементарною подією, а сама множина – простором елементарних подій; – деяка сукупність підмножин множини , які називаються подіями (вимагається, щоб було - алгеброю, тобто щоб U вміщувало і було замкнуто відносно операції взяття протилежної події і об’єднання подій); – імовірність яка задана на подіях . У аксіоматичній теорії формальне означення імовірності не дається (це поняття вважається первинним і не визначається, а при його пояснені використовують поняття відносної частоти події). Аксіоматика теорії ймовірностей виходить із основних властивостей подій, до яких застосовне класичне або статистичне означення імовірності. Аксіоматичне означення імовірності, як частинні випадки, включає в себе класичне і статистичне означення імовірності. Аксіоматичний підхід до означення імовірності пов’язує сучасну теорію ймовірностей з метричною теорією функцій і теорією множин і у теперішній час загальноприйнятою є аксіоматична побудова теорії ймовірностей, розроблена російським математиком А.М. Колмогоровим. Згідно аксіоматичній теорії поняття імовірності подій формулюється наступним чином. Числова функція , визначена на множині подій U, називається імовірністю, якщо виконуються умови (аксіоми імовірності): А1. для усіх U, тобто імовірність будь-якої події невід’ємна; А2. , тобто імовірність вірогідної події дорівнює 1 (нормованість); А3. Імовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій: ........... Із цих аксіом випливають такі властивості імовірності: 1) Імовірність будь-якої події U є відповідним числом із відрізку тобто Випливає із аксіом А1 і А2, оскільки 2) Якщо то Оскільки то за аксіомою А3 Звідкіля випливає вказана властивість. 3) Якщо то Це співвідношення випливає із (1.3). 4) Сума імовірностей протилежних подій завжди дорівнює 1: Випливає із аксіоми А3, оскільки Із (4) випливає, що 5) Імовірність неможливої події дорівнює нулю, тобто Випливає із (4) і аксіоми А2. 6) Якщо – несумісні події ( для будь-яких ), то із аксіоми А3 випливає, що Ця рівність називається формулою складання ймовірностей несумісних подій. 7) Для будь-яких подій А і В Випливає із аксіоми А3: і властивості 1): Сума ймовірностей усіх подій, пов’язаних з певним випробуванням, дорівнює 1 (у такому разі говорять, що ці події складають повну групу подій). 1.4. Умовні ймовірностіОзначення. Умовною імовірністю або називається імовірність події А при умові, що подія B відбулась. Нехай імовірність P(A) і відомі. Тоді імовірність сумісної появи двох подій А і В дорівнює Ця формула називається формулою множення ймовірностей залежних подій. Якщо ж відома сумісна імовірність настання двох подій то умовна імовірність події при умові, що подія відбулась визначається за формулою Якщо події А і В незалежні, то має місце наступна формула: Якщо події А і В сумісні, то імовірність появи хоча б однієї із них дорівнює Ця формула називається формулою складання імовірностей сумісних подій. Нехай подія А може відбутись при умові появи однієї із несумісних подій , які утворюють повну групу подій. Нехай відомі імовірності цих подій і умовні імовірності події А при умові, що події відбулись. Тоді імовірність події А дорівнює Цю формулу називають формулою повної імовірності. Наслідком теореми множення і формули повної імовірності є формула Байеса. Вона застосовується, коли подія А, яка може відбутись тільки з однією із гіпотез , які утворюють повну групу подій, відбулась і необхідно зробити кількісну переоцінку апріорних ймовірностей цих гіпотез відомих до випробування, тобто треба знайти апостеріорні (які одержуються після проведення випробування) умовні імовірності гіпотез Для одержання шуканої формули запишемо формулу множення імовірностей подій у двох формах: Формула (11) називається формулою Байеса. Значення формули Байеса полягає у тому, що при настанні події А, тобто по мірі одержання нової інформації, ми можемо перевіряти і корегувати імовірності висунутих до випробування гіпотез. Такий підхід, який називається байесівським, дає можливість корегувати управлінські рішення у економіці, оцінки невідомих параметрів розподілів, які одержуються у статистичному аналізі тощо. Приклад 2. У магазин торгової фірми надійшли комп’ютери від трьох постачальників у відношенні Статистичні дані показують, що комп’ютери, які надходять від 1-го, 2-го і 3-го постачальників, не потребують ремонту на протязі гарантійного строку відповідно у 98, 90 і 95 % випадків.
Розв’язання. 1) Позначимо події: комп’ютер не потребує ремонту на протязі гарантійного строку; С – комп’ютер потребує ремонту на протязі гарантійного строку; комп’ютер надійшов у торгову фірму від -го постачальника. Для розв’язання задачі користуємося формулами множення ймовірностей, формулою повної імовірності і формулою Байеса. Алгоритм у MathcadАпріорні імовірності гіпотез Умовні імовірності події А при гіпотезах Повна імовірність події Імовірність протилежної події Умовні імовірності події при гіпотезах Апостеріорні імовірності гіпотез (за формулою Байеса) Таким чином, якщо раніше (до настання події ) найбільш імовірною була гіпотеза то тепер, у світі нової інформації (настання події ), найбільш імовірною є гіпотеза надходження даного комп’ютера від 2-го постачальника. Приклад3. Є 5 ящиків, у яких містяться деталі двох сортів. У перших двох ящиках – по 98 деталей першого і по 2 деталі другого сорту, у третьому ящику – 92 деталі першого сорту і 8 деталей другого сорту, в останніх двох ящиках – по 95 деталей першого сорту та по 5 деталей другого сорту. Із випадково вибраного ящика виймають 1 деталь. Знайти
Розв’язання. Позначимо події: вийнята деталь якісна; деталь вийнята із i-го ящика; Для розв’язання задачі користуємося формулою повної імовірності і формулою Байеса. Алгоритм у Mathcad Апріорні імовірності гіпотез і умовні імовірності події А при гіпотезах Імовірність того, що деталь першого сорту Апостеріорні імовірності гіпотез 2. Випадкові величини і їх закони розподілу Означення. Випадковою величиною називаються величина, яка в результаті випробування може приймати одне із значень із можливої їх множини заздалегідь невідоме, яке саме. Прикладами випадкових величин можуть служити як результати так і похибки вимірювання, час безвідмовної роботи приладу або системи тощо. Теоретико множинна трактовка основних понять теорії ймовірностей дозволяє дати наступне означення випадкової величини. Нехай – довільний імовірнісний простір. Випадковою величиною Х називається числова функція , визначена на множині елементарних подій , така, що для будь-якого числа х Смисл цього означення полягає у наступному. Оскільки усі події складають U, то природно розглядати такі функції , для яких має сенс говорити про імовірності попадання Х у досить прості числові множини, зокрема, у Властивість (1.12) гарантує, що при будь-якому х нерівність є подія і, отже, має сенс говорити про її імовірності. Випадкові величини будемо позначати прописними літерами латинського алфавіту X, Y, Z,.., а їх значення – відповідними рядковими літерами x, y, z,… Із кожною випадковою подією можна пов’язати певні випадкові величини. Типовою подією, пов’язаною із випадковою величиною, є подія, яка полягає у тому, що ця випадкова величина прийме в результаті випробування деяке значення, яке належить заданій числовій множині. Але якщо випадкова подія повністю характеризується імовірністю появи цієї події, а сукупність випадкових подій можна описати за допомогою імовірностей цих подій і формул алгебри випадкових подій, то описання імовірнісних властивостей випадкових величин є більш складною задачею. Найбільш повною, вичерпною характеристикою випадкової величини є її закон розподілу. Означення. Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями. Закони розподілу випадкових величин можуть мати різні форми. Вони можуть бути задані аналітично (у вигляді формул) у вигляді таблиць і графічно. Розрізняють дискретні і неперервні випадкові величини. Означення. Дискретною випадковою величиною називається величина, яка приймає тільки скінчену або зліченну множину окремих значень з певними ймовірностями. Означення. Неперервною випадковою величиною називається величина, можливі значення якої неперервно заповнюють деякий інтервал значень [a, b]. Для опису випадкової дискретної величини Х, яка приймає скінчену множину значень часто використовується ряд розподілу k = 1,2,..,n, який задається таблицею
де – можливі значення випадкової величини Х, – імовірність події, що випадкова величина Х прийме значення Нехай х – дійсне число. Імовірність події, яка полягає у тому, що Х прийме значення менше х, тобто імовірність події , позначається через (. Означення. Функцією розподілу випадкової величини Х називається функціяF(x), яка виражає для кожного х імовірність того, що випадкова величина Х у результаті випробування прийме значення, менше х: Функцію іноді називають інтегральною функцією розподілу або інтегральним законом розподілу. Геометрично функція розподілу інтерпретується як імовірність того, що випадкова точка Х попадає на числовій осі лівіше заданої точки . Властивості функції розподілу: 1. Значення функції розподілу належать відрізку Твердження випливає із того, що функція розподілу – це імовірність, а імовірність будь-якої події задовольняє вказаній умові. Дана властивість випливає із того, що як імовірність неможливої події , а як імовірність достовірної події 2. Імовірність попадання значень випадкової величини в інтервал дорівнює приросту її функції розподілу на цьому інтервалі: Дана властивість випливає із того, що при подія розкладається на дві несумісні події і . Звідки одержуємо формулу (1.14). 3. – неспадна функція на всій числовій осі, тобто якщо Ця властивість випливає із формули (1.14), оскільки , то тобто неспадна функція. За допомогою функції розподілу можна виразити імовірності попадання Х у різні інтервали вигляду Для дискретної випадкової величини Х функція розподілу має вигляд Підсумовування у виразі ведеться по всім таким номерам що Функція розподілу дискретної випадкової величини є неспадною розривною ступінчастою функцією, яка приймає значення в інтервалі [0, 1]. Для неперервної випадкової величини функція F(x) – неперервна, неспадна функція, яка приймає значення в інтервалі , причому Вище було дано поняття неперервної випадкової величини як величини, що має нескінчену незлічену множину значень. Тепер можна дати більш точне її визначення. Випадкову величину називають неперервною, якщо її функція розподілу є неперервна, кусково–диференційовна функція із неперервною похідною. Неперервна випадкова величина має таку властивість: імовірність будь-якого окремо взятого її значення дорівнює нулю. Покажемо, що для будь-якого значення випадкової величини імовірність Представимо у вигляді ........ Застосовуючи властивість (1.14) функції розподілу випадкової величини і враховуючи неперервність одержимо Функції розподілу дискретної і неперервної випадкових величин є їх загальними імовірнісними характеристиками. Однак для неперервної випадкової величини більш наглядною є функція щільності розподілу імовірності. Закон розподілу випадкової величини Х називається абсолютно неперервним, якщо існує невід’ємна функція така, що при будь-якому Функція називається щільністю розподілу ймовірностей. Основні властивості щільності розподілу випадкової величини: 1) 2) у точках неперервності Таким чином щільність розподілу дорівнює похідній від функції роподілу 3) Імовірність попадання значень випадкової величини Х у інтервал дорівнює Із теореми про середнє значення випливає, що з точністю до нескінченно малих вищого порядку має місце рівність У схемі неперервних випадкових величин можна вивести аналоги формули повної імовірності і формули Байеса, відомі нам по схемі подій. Нехай імовірність якої-небудь події А залежить від того, яке значення х прийняла неперервна випадкова величина Х із щільністю Приймемо гіпотезу, яка полягає у тому, що випадкова величина Х прийняла значення, яке лежить на елементарній ділянці яка примикає до точки х. У границі при ця умова перетворюється у Позначимо умовну імовірність події А при умові . Замінюючи у формулі повної імовірності (10) імовірність гіпотези елементом імовірності , а суму – інтегралом, одержимо повну імовірність події А: Формула (18) називається інтегральною формулою повної імовірності. Відповідний аналог у схемі неперервних випадкових величин має і формула Байеса. Нехай до випробування випадкова величина Х мала щільність розподілу Зроблено випробування, у результаті якого відбулась подія А. Умовну імовірність події А при позначимо Знайдемо умовну щільність розподілу випадкової величини Х при умові, що відбулась подія А, позначимо її Замінюючи у формулі Байеса (11) імовірності гіпотез елементом імовірності , суму – інтегралом, одержимо: де у знаменнику стоїть формула повної імовірності (1.18). Формула (19) називається інтегральною формулою Байеса. Приклад 4. Імовірність події А залежить від випадкової величини Х, розподіленої з постійною щільністю на відрізку від 0 до 1: Умовна імовірність події А при дорівнює Знайти повну імовірність події А. Розв’язання. Для розв’язання задачі користуємосьінтегральною формулою повної імовірності (18).
Алгоритм у Mathcad3. Числові характеристики випадкових величинЗакон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Щоб визначити закон розподілу випадкової величини для дискретних величин, достатньо задати ряд розподілу, для неперервної – щільність імовірності або функцію розподілу. Однак така повна, вичерпна характеристика випадкової величини часто досить складна або надвимірна. Між тим для вирішення багатьох задач практично зовсім не потрібно знати розподіл випадкової величини, а достатньо знати деякі числові параметри, які частково характеризують особливості розподілу, так звані числові характеристики випадкової величини. Наприклад, для опису розподілу випадкової величини можна обмежитись її середнім значенням і величиною розсіювання можливих значень навколо середнього значення. Характеристики найбільш суттєвих особливостей розподілу називаються числовими характеристиками випадкової величини. З їх допомогою полегшується розв’язання багатьох імовірнісних задач без Означеннядля них законів розподілу. 3.1. Математичне сподіванняВажливою характеристикою положення випадкової величини на числовій осі є математичне сподівання М(Х), яке іноді називають середнім значенням випадкової величини. Означення. Математичним сподіванням відповідно дискретної і неперервної випадкової величини називається величина, яка визначається за формулами: Властивості математичного сподівання. 1. Математичне сподівання константи дорівнює їй самій, тобто , де Дійсно, оскільки константу можна розглядати як величину, яка приймає значення з імовірністю 1, то 2. Константу можна виносити за знак математичного сподівання: Доведемо цю і наступні властивості для випадку дискретних випадкових величин. Нехай випадкова величина має ряд розподілу Тоді 3. Модуль математичного сподівання випадкової величини не більший математичного сподівання модуля цієї величини, тобто Маємо 4. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань: Нехай дискретні випадкові величини, розподіли яких мають вигляд і відповідно. Розподіл суми цих величин представимо у вигляді ряду де Тоді... 5. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань: Дійсно, нехай незалежні випадкові величини, розподіли яких задані як і в попередньому пункті. У відповідності з означенням добутку випадкових величин представляє собою випадкову величину, яка приймає значення з імовірностями причому у наслідок незалежності Тому
3.2. Медіана і модаІншими характеристиками місцеположення розподілів випадкових величин можуть служити медіана і мода. Означення. Медіаною випадкової величини називають таке її значення , яке ділить її розподіл на дві половини, тобто: Геометрично вертикальна пряма , яка проходить через точку з абсцисою, яка дорівнює , ділить площину фігури під кривою розподілу на дві рівні частини. Очевидно, що у точці функція розподілу дорівнює 0,5, тобто Відмітимо, що для дискретного розподілу медіана не завжди обчислюється однозначно. Означення. Модою випадкової величини Х називається її найбільш імовірне значення. Для неперервних розподілів, які мають щільність розподілу, мода відповідає такому значенню випадкової величини, яке є точкою максимуму для функції щільності ймовірностей. Якщо імовірність або щільність імовірності досягає максимуму в одній точці, то такий розподіл називається одномодальним, якщо у декількох точках – то полімодальним. 3.3. Дисперсія випадкової величиниОкрім математичного сподівання, медіани і моди у теорії ймовірностей використовуються і інші характеристики, кожна з яких описує певну властивість розподілу. Наприклад, числовими характеристиками, які характеризують розсіювання випадкової величини, тобто які показують, наскільки тісно згруповані її можливі значення навколо математичного сподівання, є дисперсія і середнє квадратичне відхилення. Вони суттєво доповнюють характеристику випадкової величини, оскільки часто зустрічаються випадкові величини з рівними математичними сподіваннями, але різними розподілами. Означення. Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрату відхилення цієї величини від її математичного сподівання: Для дискретної випадкової величини дисперсія виражається сумою:. а для неперервної – інтегралом: Ця характеристика має низку важливих математичних властивостей.Однак, у наслідок підсумовування квадратів відхилень, дисперсія не дає істинного уявлення про саму величину відхилень, вимірюючи їх у квадратних одиницях. Тому на базі дисперсії вводиться інша характеристика – середнє квадратичне відхилення σ . Означення. Середнім квадратичним відхиленням σ (стандартним відхиленням) називається величина, яка дорівнює: Вибір дисперсії, яка визначається за формулою (22), у якості характеристики розсіювання значень випадкової величини Х оправдовується також тим, що математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини Х від постійної величини С мінімальне саме тоді, коли ця постійна С дорівнює математичному сподіванню тобто На практиці часто зустрічається інша формула для дисперсії, яка має вигляд: Дійсно, послідовно застосовуючи до формули (26) властивості математичного сподівання, одержимо Очевидно, що дисперсія існує якщо існує З означення дисперсії та властивостей математичного сподівання випливають такі властивості дисперсії: 1. Дисперсія константи дорівнює нулю: Дійсно, 2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, підводячи його до квадрату: Справді, 3. Дисперсія алгебраїчної суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій: Дійсно, згідно з формулою (1.24) маємо Зауважимо, що при доведенні цієї властивості, ми скористувались тим, що для незалежних випадкових величин . 3.4. Моменти випадкових величинАсиметрія і ексцес. КвантиліОкрім основних характеристик розподілів центру (математичне сподівання) і розсіювання (дисперсія і стандартне відхилення) для докладного опису їх властивостей вводять інші додаткові характеристики. Зручною і логічно обґрунтованою є система характеристик, побудованих за тим же принципом, що і середня арифметична і дисперсія. Ці характеристики одержали назву моментів розподілів. У теорії ймовірностей розрізняють моменти двох видів – початкові і центральні. Означення. Початковим моментом k - го порядку випадкової величини називається математичне сподівання величини , тобто: Отже для дискретної випадкової величини початковий момент виражається сумою: а для неперервної – інтегралом: Серед початкових моментів випадкової величини особливе значення має момент 1-го порядку, який є математичним сподіванням. Початкові моменти вищих порядків використовуються, головним чином, для обчислення центральних моментів. Означення. Центральним моментом k-го порядку випадкової величини X називається математичне сподівання величини : Для дискретної випадкової величини: для неперервної: Як легко бачити, перший центральний момент дорівнює 0, другий момент – дисперсії. Розподіл випадкової величини повністю заданий, якщо відомі усі його моменти. Однак багато розподілів можна повністю описати за допомогою перших чотирьох моментів, які є не тільки параметрами, які описують розподіли, але мають також важливе значення при підборі емпіричних розподілів. Для характеристики асиметрії (зкісності) розподілу випадкової величини служить третій центральний момент . Щоб одержати безрозвимірну величину, його ділять на , де – середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х. Означення. Коефіцієнтом асиметрії розподілу випадкової величини називається величина Для симетричного розподілу значення випадкової величини, рівновіддалені від мають однакову імовірність, і тому , а отже, і Якщо , то коефіцієнт асиметрії характеризує додатну скошеність розподілу випадкової величини, якщо – то від’ємну. Четвертий центральний момент служить для характеристики крутості (гостровершинності або плосковершинності) розподілу. Означення. Ексцесом розподілу випадкової величини називається величина Крива нормального розподілу з ексцесом E = 0 є немовби еталоном, з яким порівнюють інші розподіли. Більш гостровершинні криві мають додатний ексцес, а більш плосковершинні – від’ємний. Звичайно у статистиці мають справу з одномодальними розподілами, тобто з такими, функція щільності імовірності яких має один максимум. Для симетричних одномодальних розподілів математичне сподівання, медіана і мода співпадають. Відмітимо, що для більшості одномодальних розподілів математичне сподівання, медіана і мода розташовується на числовій осі у тому порядку, у якому вони перелічені. Таким чином, медіана лежить між математичним сподіванням і модою, причому ближче до математичного сподівання. Для одномодальних розподілів визначена спеціальна міра асиметрії – коефіцієнт асиметрії Пірсона, який обчислюється за формулою: де – середнє квадратичне відхилення. Коефіцієнт Пірсона характеризує степінь відхилення моди від математичного сподівання. Для симетричних розподілів коефіцієнт Пірсона дорівнює 0. У теорії ймовірностей і математичній статистиці також широко застосовуються квантилі випадкових величин. Означення. Квантилем порядку (або p–квантилем) випадкової величини X називається таке її значення , при якому функція розподілу F(x) приймає значення, рівне p: Медіана є квантилем порядку 0.5, тобто . Деякі квантилі одержали спеціальні назви. Квантилі –називаються квартилями, квантилі – децилями, – процентилями. Ці величини ділять область значень випадкової величини відповідно на 4, 10 і 100 інтервалів, значення із яких випадкова величина X приймає із рівними ймовірностями. Для багатьох розподілів значення квантилів заданого рівня підраховані, зведені у спеціальні таблиці і використовуються при побудові статистичних критеріїв. Приклад 5. Розглянемо алгоритм обчислення числових характеристик двох випадкових величин. Перша має бета-розподіл, щільність імовірності якого а друга – нормальний розподіл із щільністю імовірностей Для порівняння форми цих розподілів наведемо їх графіки. Алгоритм у Mathcad Параметри бета-розподілу Математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення бета розподілу, обчислені за різними формулами Визначення моди бета-розподілу Коефіцієнт асиметрії і ексцес Параметри нормального розподілу Математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення і мода нормального розподілу Графік щільностей розподілів: Рис 1. Графіки щільностей бета-розподілу і нормального розподілу Коефіцієнт асиметрії і ексцес Із рисунку 1.1 видно, що графік бета-розподілу з від’ємним коефіцієнтом асиметрії і від’ємним ексцесом має від’ємну (лівосторонню) асиметрію і більш плосковершинну форму ніж у щільності нормального розподілу, для якого відповідні коефіцієнти дорівнюють нулю.
4. Багатовимірні випадкові величини
4.1. Багатовимірні розподіли
Часто результати випробувань характеризуються не однією випадковою величиною, а деякою системою випадкових величин , яку називають багатовимірною (n – вимірною) випадковою величиною або випадковим вектором У теоретико-множинній трактовці будь-яка випадкова величина є функція елементарних подій , які входять у простір елементарних подій . Тому і багатовимірна випадкова величина є функцією елементарних подій : Тобто кожній елементарній події ставиться у відповідність декілька дійсних чисел , які прийняли величини у результаті випробування. У цьому випадку вектор називається реалізацією випадкового вектора . Випадкові величини, які входять у систему можуть бути як дискретними, так і неперервними. Імовірнісною характеристикою багатовимірної випадкової величини є її закон розподілу. Дискретний багатомірний розподіл задається скінченим або зліченим набором значень і невід’ємних чисел , таких, що Імовірність визначається у цьому випадку як При скінченій множині можливих значень багатовимірної випадкової величини, такий закон може бути заданий у формі таблиці (матриці), яка вміщує усілякі сполучення значень кожної із одновимірних складових двохвимірної випадкової величини, які входять у систему, і відповідні їм ймовірності. Для двохвимірної дискретної величини (X, Y) закон розподілу можна представити у вигляді таблиці (матриці) розподілу, у кожній клітинці (i, j) якої стоять ймовірності Означення. Функцією розподілу вимірної випадкової величини називається функція яка виражає імовірність сумісного виконання нерівностей тобто У двохмірному випадку для випадкової величини функція розподілу визначається рівністю Для дискретної двохвимірної випадкової величини її функція розподілу визначається за формулою: Властивості функції розподілу двохвимірної випадкової величини аналогічні властивостям функції розподілу одновимірної випадкової величини: Функція розподілу однозначно визначає імовірності для будь-яких паралелепіпедів а отже, і для досить широкого класу підмножин Так при Другий частинний випадок дають розподіли із щільністю розподілу. Означення. Багатовимірною (вимірною) щільністю розподілу називається така функція , що функція розподілу може бути представлена у вигляді Функція називається абсолютно неперервною (вимірною) функцією розподілу. Із (1.38) випливає, що у всіх точках неперервності підінтегральної функції її можна представити так: У точках неперервності щільності розподілу має місце рівність Функція розподілу неперервної двохвимірної випадкової величини виражається через щільність імовірності за формулою Знаючи щільність розподілу ймовірностей двохвимірної випадкової величини , можна знайти функції розподілу і щільності розподілу ймовірностей її одновимірних складових Оскільки то взявши у формулі (1.40) одержимо функції розподілу одновимірних випадкових величин Диференціюючи функції розподілу відповідно по аргументам одержимо щільності розподілу ймовірностей одновимірних випадкових величин (маргінальні щільності): Імовірність попадання неперервної випадкової двохвимірної величини в область дорівнює Зауважимо, що за відомими щільностями чи функціями розподілу компонент випадкового вектора, в загальному випадку, неможливо відтворити багатовимірну щільність або функцію розподілу випадкового вектора. Приклад 6. Задано функцію розподілу випадкового вектора де дійсні константи. Знайти щільність розподілу При матимемо:
4.2. Умовні розподілиЯкщо випадкові величини, які утворюють систему, залежні, то для знаходження закону розподілу системи недостатньо знати закони розподілу окремих величин, які входять у систему (маргінальні розподіли). Потрібно ще знати, так звані, умовні закони розподілу цих величин. Означення. Умовним законом розподілу однієї із складових двохвимірної випадкової величини називається її закон розподілу, обчислений за умови, що друга складова прийняла певне значення (або попала у деякий інтервал). У випадку довільного типу випадкових величин (дискретних або неперервних) функція розподілу системи залежних випадкових величин може бути записана у вигляді...... Умовна імовірність ймовірність події при умові, що величина Х прийняла значення менше, ніж х, може бути названа умовною функцією розподілу випадкової величини при умові Позначимо її Аналогічно, взявши у якості першої випадкову величину одержимо На практиці частіше всього застосовують інший вигляд умовного закону розподілу: закон розподілу однієї із випадкових величин при умові, що друга прийняла цілком певне значення. Визначимо такі умовні закони розподілу для випадку системи двох дискретних випадкових величин. Вони утворені умовними ймовірностями, які представляють собою ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення при умові, що (або навпаки, імовірність того, що випадкова величина прийме значення при умові, що Знайдемо ці умовні імовірності. Оскільки події , які полягають у тому, що прийме значення , а – значення несумісні і єдино можливі, тобто утворюють повну групу несумісних подій, то сума їх ймовірностей дорівнює 1: Підсумовуючи імовірності по всім або , одержимо одномірні (маргінальні) розподіли випадкових величин і : Якщо зафіксувати значення одного із аргументів, наприклад, покласти то одержаний розподіл випадкової величини називається умовним розподілом при умові Імовірності цього розподілу будуть умовними ймовірностями події знайденими у припущенні, що подія відбулась. Із Означенняумовної імовірності випливає, що Умовні закони розподілу однієї із одновимірних складових двохвимірної неперервної випадкової величини визначаються аналогічно умовним законам розподілу дискретних випадкових величин: називаються формулою (правилом) множення щільностей розподілів. Використовуючи формули (43), умовні щільності ймовірностей (48) можна виразити через сумісну щільність наступним чином: Умовні щільності володіють усіма властивостями безумовної щільності, розглянутої у розд. 2. При вивченні двохвимірних випадкових величин розглядаються числові характеристики одновимірних складових математичні сподівання і дисперсії. Для неперервної випадкової величини вони визначаються за формулами (21), (24) з урахуванням (43): Поряд з ними розглядаються також числові характеристики умовних розподілів: умовні математичні сподівання і умовні дисперсії Ці характеристики знаходяться за звичайними формулами математичного сподівання (20) і дисперсії (24), у яких замість ймовірностей або щільностей імовірності використовуються умовні імовірності або умовні щільності ймовірностей Приклад 7. Задано функцію щільності розподілу випадкового вектора , де константи (двохвимірної випадкової величини, розподіленої за експоненціальним законом). Визначити:
Алгоритм у MathcadДвохвимірна щільність і умова нормування Щільності розподілів одновимірних випадкових величин Умовні щільності розподілів Умовні функції розподілів Умовні математичні сподівання 4.3. Незалежність випадкових величинУ загальному випадку одномірні закони розподілу не визначають багатовимірні розподіли. Однак у важливому випадку незалежних випадкових величин за одномірними законами розподілу однозначно визначаються багатовимірні розподіли. Означення. Випадкові величини називаються незалежними, якщо для будь-яких дійсних їх сумісна функція розподілу представляється у вигляді добутку функцій розподілу цих випадкових величин: У протилежному випадку (при невиконанні наведеної рівності) випадкові величини називаються залежними. Часто зручніше використовувати таке еквівалентне означення незалежності: для будь-яких подій де підмножини числової прямої, має місце рівність Якщо покласти то із (44) випливає (54). Із (44), наприклад, при , також випливає (54) для будь-яких напівінтервалів , тобто. Диференціюючи рівність (53) по аргументам , одержимо Це означає, що для незалежних неперервних випадкових величин їх сумісна щільність дорівнює добутку щільностей ймовірностей цих випадкових величин. Таким чином, незалежність, наприклад, двох випадкових величин і означає, що умовні щільності ймовірностей кожної із них співпадають із відповідними безумовними щільностями: Приклад 8. Із результатів попереднього прикладу видно, що умовні щільності розподілу компонент двохмірного випадкового вектора співпадають із безумовними щільностями розподілів окремих компонент, тобто виконуються співвідношення (57). Отже, випадкові величини є незалежними. 4.4. Числові характеристики багатовимірних випадкових величинПри вивченні двовимірних випадкових величин розглядаються числові характеристики одновимірних складових і – математичні сподівання і дисперсії. Поряд з ними розглядаються також числові характеристики умовних розподілів: умовні математичні сподівання і і умовні дисперсії і Ці характеристики знаходяться за звичайними формулами математичного сподівання і дисперсії, у яких замість ймовірностей подій або щільності ймовірності стоять умовні імовірності або умовні щільності імовірності. Означення. Умовним математичним сподіванням випадкової величини при умові називається величина Для дискретного випадкового вектора умовне математичне сподівання випадкової величини при умові можна записати у вигляді Для неперервного розподілу випадкового вектора умовне математичне сподівання випадкової величини при умові (при має вигляд Аналогічні вирази можна записати і для умовного математичного сподівання випадкової величини при умові Умовне математичне сподівання відіграє важливу роль у математичній статистиці. Ця роль пов’язана із наступною моделлю задачі. Нехай у стохастичному експерименті спостерігається випадкова величина яка є компонентою випадкового вектора . Необхідно на основі спостереження випадкової величини найкраще оцінити випадкову величину Інакше кажучи, необхідно знайти таку функцію щоб випадкова величина якомога менше відрізнялась від випадкової величини За міру відмінності між випадковими величинами часто приймають середнє квадратичне відхилення випадкової величини від Задача полягає у знаходженні такої функції яка б забезпечила мінімальне значення Нехай – випадковий вектор. Найкращою оцінкою випадкової величини на основі спостереження випадкової величини за критерієм мінімуму середнього квадратичного відхилення є функція яка визначається співвідношенням Тобто, із усіх випадкових величин, які можна визначити, найменше, у розумінні середнього квадратичного відхилення, відрізняється від Означення. Умовне математичне сподівання випадкової величини при тобто є функція від , яка називається функцією регресії або просто регресією по Аналогічно називається функцією регресії по Для опису системи двох випадкових величин окрім математичних сподівань і дисперсій складових використовуються і інші характеристики. До їх числа відносяться коваріація (кореляційний момент) і коефіцієнт кореляції. Означення. Коваріацією (або кореляційним моментом ) випадкових величин і називається математичне сподівання добутку відхилень цих величин: Для обчислення коваріації дискретних величин використовують формулу а для неперервних величин формулу Із означення випливає, що Крім того, тобто коваріація випадкової величини з самою собою є її дисперсія. Коваріація двох випадкових величин характеризує як ступінь залежності випадкових величин, так і їх розсіяння навколо точки Властивості коваріації випадкових величин:
Дійсно, для незалежних випадкових величин Тому формула коваріації, наприклад, для неперервних випадкових величин приймає вигляд: оскільки кожний із інтегралів є центральний момент першого порядку, рівний 0. Це співвідношення випливає із того, що за визначенням Враховуючи, що математичне сподівання і – невипадкові величини, одержуємо Дійсно, візьмемо величини і . Маємо очевидну нерівність Здійснюючи перетворення у цьому виразі, одержимо (тут враховано, що ). Із цієї нерівності випливає вказана властивість. Означення. Коваріаційною матрицею випадкової величини називається матриця вигляду Ця матриця симетрична і додатно визначена. Її визначник називається узагальненою дисперсією і може служити мірою розсіювання значень системи впадкових величин . За допомогою коваріації можна доповнити і уточнити деякі властивості математичного сподівання і дисперсії, які розглянуті раніше.
Ця властивість випливає безпосередньо із властивості 2 коваріації: Якщо то тобто математичне сподівання добутку двох некорельованих випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань. Ця властивість була сформульована раніше для двох незалежних випадкових величин. Тепер виявляється, що у випадку двох множників достатньо менш жорсткої вимоги – некорельованості випадкових величин.
Дійсно, нехай За властивістю математичного сподівання . Тому За визначенням дисперсії Для некорельованих (отже і незалежних випадкових величин) тобто дисперсія суми некорельованих випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій. Із означення коваріації випливає, що вона характеризує не тільки ступінь залежності двох випадкових величин, але і їх розсіяння навколо своїх середніх значень. Крім того, вона розмірна величина. Її розмірність визначається добутком розмірностей випадкових величин і Іншими словами, величина коваріації залежить від одиниць виміру випадкових величин. Така особливість коваріації є недоліком цієї числової характеристики, оскільки порівняння коваріацій різних систем випадкових величин стає утрудненим. Для того, щоб усунути цей недолік, вводять іншу числову характеристику – коефіцієнт кореляції. Означення. Коефіцієнтом кореляції випадкових величин і називається відношення їх коваріації до добутку середніх квадратичних відхилень цих величин: Із означення коефіцієнта кореляції випливає, що Коефіцієнт кореляції є безрозмірною величиною і не залежить від вибору одиниць вимірювання випадкових величин. Означення. Випадкові величини називаються некорельованими, якщо їх коваріація (або, що теж саме, коефіцієнт кореляції) дорівнює 0; величини називаються корельованими, якщо їх коваріація не дорівнює 0. Дві незалежні величини завжди є некорельованими. Дійсно, припустивши зворотне, ми повинні зробити висновок, що а це протирічить умові, оскільки для корельованих величин Зворотне твердження, взагалі, невірне: із некорельованості двох випадкових величин ще не випливає їх незалежність. Властивості коефіцієнта кореляції:
Це випливає із того, що у цьому випадку
або Це співвідношення випливає із нерівності , звідкіля 3. Якщо коефіцієнт кореляції двох випадкових величин за абсолютною величиною дорівнює одиниці, то між цими випадковими величинами існує лінійна функціональна залежність. Дійсно, вище було одержано, що Якщо то і Рівність математичного сподівання невід’ємної випадкової величини нулю означає, що сама випадкова величина тотожньо дорівнює нулю. Отже, маємо тобто і зв’язані лінійною функціональною залежністю. Приклад.9. Два стрілці незалежно один від одного роблять по два постріли кожний по своїй мішені. Випадкова величина кількість попадань першого стрілка, кількість попадань другого стрілка. Імовірність попадання при одному пострілі для першого стрілка для другого Визначимо:
Алгоритм у Mathcad Початкові дані задачі: значення величин та імовірності подій – попадання і не попадання у мішені Можливі пари значень системи випадкових величин Розподіл ймовірностей пар значень випадкових величин Сумісна функція розподілу величини Розподіли окремих величин X і Y Умовні розподіли величин X і Y Математичні сподівання і дисперсії величин Умовні математичні сподівання величин Із останніх результатів видно, що умовні математичні сподівання співпадають із відповідними безумовними математичними сподіваннями що підтверджує незалежність випадкових величин Приклад 10. Заданий закон розподілу двохвимірної випадкової величини
Визначимо: a) закони розподілу одновимірних випадкових величин b) математичні сподівання, дисперсії і середні квадратичні відхилення цих величин; c) коваріацію і коефіцієнт кореляції величин d) умовні закони розподілу випадкової величини Х при умові і випадкової величини при умові . Алгоритм у MathcadРозподіл випадкової величини Частинні розподіли величин величини величини Математичні сподівання, дисперсії і середні квадратичні відхилення випадкових величин Коваріація і коефіцієнт кореляції величин Умовні розподіли випадкової величини Х при умові і випадкової величини при умові . Приклад 11. Нехай двохмірний випадковий вектор має розподіл
Знайдемо: a) закони розподілу одновимірних випадкових величин b) математичні сподівання, дисперсії і середні квадратичні відхилення цих величин; c) коваріацію і коефіцієнт кореляції величин d) закони розподілу добутку і суми випадкових величин Х і та їх математичні сподівання і дисперсії. Алгоритм у MathcadРозподіл випадкової величини Частинні розподіли величин величини величини Математичні сподівання, дисперсії і середні квадратичні відхилення випадкових величин Коваріація і коефіцієнт кореляції величин Значення добутку величин і його математичне сподівання Інший спосіб визначення коваріації Дисперсія суми величин Значення суми величин і її математичне сподівання Дисперсія суми випадкових величин 4.5. Двовимірний нормальний розподілУ інженерних прикладеннях теорії ймовірностей із систем випадкових величин найчастіше зустрічається система нормально розподілених величин. Наприклад, сукупність похибок у двох вимірюваннях якої-небудь величини (або виконання яких-небудь команд), як правило, має двохмірний нормальний розподіл. Неперервна випадкова величина має двовимірний нормальний розподіл, якщо її сумісна щільність має вигляд У геометричній інтерпретації поверхня нормального розподілу представляє собою пагорбоподібну поверхню, вершина якої знаходиться над точкою площини Апліката цієї вершини дорівнює. Перетин поверхні площиною, паралельною площині представляє собою еліпс, рівняння проекції якого на площину має вигляд де відстань між площинами перетину і Осі симетрії еліпса, центр якого знаходиться у точці , утворюють із віссю Ох кути які визначаються із умови Осі симетрії еліпса називаються головними осями розсіювання, сам еліпс – еліпсом розсіювання (еліпсом рівної щільності), а центр еліпса – точка – центром розсіювання. Нормальний розподіл називається круговим із центром у точці , якщо випадкові величини некорельовані . У цьому випадку еліпс розсіювання перетворюється у круг і випадкові величини залишаються незалежними при будь-якому виборі системи координат, тобто при будь-якому повороті координатних осей. Це полегшує розв’язання багатьох прикладних інженерних задач. Щільності імовірностей складових і – Із означення (1.68) випливає, що двохвимірний нормальний розподіл визначається п’ятьма параметрами Для з’ясування теоретико-імовірнісного смислу цих параметрів знайдемо математичні сподівання їх дисперсії і коваріацію У результаті обчислень будемо мати Таким чином, параметри виражають математичні сподівання випадкових величин параметри – їх середні квадратичні відхилення, а – коефіцієнт кореляції між випадковими величинами Знаючи щільність ймовірностей нормального двохмірного розподілу, можна знайти його числові характеристики і визначити коваріаційну і кореляційну матриці: Знайдемо умовні щільності ймовірностей одновимірних випадкових величин Неважко впевнитись у тому, що кожний із умовних розподілів випадкових величин є нормальним із умовним математичним сподіванням і умовною дисперсією, які визначаються за формулами: Із формул для випливає, що лінії регресії нормально розподілених випадкових величин представляють собою прямі лінії, тобто нормальні регресії по і по є лінійними. Із формул для також випливає, що умовні дисперсії, отже, і умовні стандартні відхилення постійні і не залежать від значень або х. Ця властивість називається гомоскедастичністю або рівнозмінністю умовних нормальних розподілів і мають суттєве значення у статистичному аналізі. Якщо дві нормально розподілені випадкові величини некорельовані, то вони незалежні. З повагою ІЦ “KURSOVIKS”! |