Методические рекомендации к лабораторной работе 2 на тему Решение уравнений

Лабораторная работа 2 на тему Решение уравнений

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Однако такие уравнения могут решаться итерационными методами с заданной точностью. 

Итерационные методы 

Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационными методами состоит в следующем:

• отделение корней - отыскание приближенного значения корня (например, графическим методом);

• уточнение корней - доведение их значений до заданной степени точности e.

При использовании метода Нъютона необходимо задаться начальным приближением х₀, расположенным достаточно близко к точному значению корня. Итерационный процесс строится по формуле:

Метод простых итераций решения уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = j (x) и построении итерационной последовательности по формуле:

Достаточным условием сходимости рассмотренных итерационных процессов является выполнение неравенства на каждом шаге итерации.

until(a, z) возвращает z, пока выражение a не становится отрицательным; а должно содержать дискретный аргумент.

Решение уравнений средствами Mathcad 

Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение находится с помощью функции root.

Первый аргумент - или функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Второй аргумент - имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение.

Для нахождения корней выражения, имеющего вид,

лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные. 

Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve.

Рисунок 2. Решение систем уравнений 

При решении систем уравнений используется специальный вычислительный блок, открываемый служебным словом Given и оканчивающийся выражением с функциями Find или Minerr. 

Пример 1 на Рисунке 2 иллюстрирует решение системы уравнений с помощью вычислительного блока Given ... Find. 

Символьное решение уравнений и систем уравнений 

Если задано некоторое выражение f(x) и отмечена переменная x, то команда Symbolic Þ Solve for Variable (Решить относительно переменной) возвращает символьные значения указанной переменной x, при которой f(x) = 0. 

Пример 2 Рисунка 2 показывает решение системы уравнений в символьном виде. 

Порядок выполнения лабораторной работы 2 

Задание 1. Построить график функции f(x) и приблизительно определить один из корней уравнения.

Решить уравнение f(x)= 0 с помощью встроенной функции Mathcad root; 

Варианты задания 1 

Задание 2. Для полинома g(a) выполнить следующие действия:

• создать вектор V, содержащий коэффициенты полинома;

• решить уравнение g(a) = 0 с помощью функции polyroots;

• решить уравнение символьно

• разложить на множители

Варианты задания 2 

Задание 3. Решить систему линейных уравнений:

• используя функции Find;

• матричным способом, используя функцию lsolve.

Варианты задания 3 

Задание 4. Решить систему нелинейных уравнений, используя функцию Minerr. 

Варианты задания 4 

Задание 5. Символьно решить системы уравнений.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!