« Назад
Лабораторна робота №5 на тему Перевірка гіпотези про однорідність двох вибірок
5.1 Постановка завдання
Перевірити гіпотезу однорідності двох незалежних вибірок:
1) для повних вибірок, використовуючи граничні розподіли відповідних статистик за допомогою:
- критерію однорідності Пірсона;
- критерію однорідності Колмогорова – Смирнова;
- рангових критеріїв однорідності;
2) для часткових вибірок (взявши 4 перших значення з першої вибірки та 6 - з другої), використовуючи точні розподіли відповідних статистик рангового критерію однорідності;
3) для множинних вибірок за критерієм Краскела – Уолліса.
5.2 Теоретичні відомості
Критерій однорідності Колмогорова–Смирнова.
Критерій побудований на емпіричній функції розподілу.
Розглянемо випадок двох одномірних вибірок: , . Нехай хi, уi – варіаційні ряди, які збудовані з елементів першої та другої вибірок, їх емпіричні функції розподілу , . Вводимо наступну статистику: . Якщо гіпотеза H0 істинна, розподіл статистики залежить тільки від об’єму вибірки і не залежить від виду функцій.
Якщо, то заперечується, в іншому випадку – приймається.
Критерій однорідності.
Використовується для згрупованих, дискретних та неперервних випадкових величин.
Нехай є вибірок об’єму та дані кожної вибірки згруповані в s груп (інтервалів). Кількість елементів j -ої вибірки, які попали в і -ту групу позначимо .
Статистикою критерію є величина.
В окремому випадку при статистику можна записати у вигляді: , де – кількість елементів першої та другої вибірок, які потрапили в i -ту групу.
У випадку вірності статистика має розподіл близький до з ступенями свободи. Якщо , то заперечується.
Рангові критерії. Критерій Уілкоксона / Манна – Уітні.
Критерій використовується для зрівняння двох незалежних вибірок об’єму n1 та n2, та перевіряється : вибірки отримані з однієї генеральної сукупності та мають рівні середні та медіани.
Алгоритм перевірки гіпотези.
Статистика W критерію визначається наступним чином. Поставимо n1 + n2 значень об’єднаної вибірки в порядку зростання у вигляді варіаційного ряду. Кожному елементу ряду поставимо у відповідність його номер в ряду – ранг. Якщо декілька елементів ряду співпадають за величиною, то кожному з них дається ранг, рівний середньому арифметичному їх номерів. Останній елемент в ранжировці об’єднаної вибірки повинен мати ранг n1 + n2 .
Нехай T1 – сума рангів першої вибірки, T2 – сума рангів другої вибірки. Обчислимо значення U1 та U2:
Перевірка U1 + U2= n1n2.
-
Для малих вибірок: вибіркове значення UB = min (U1, U2), для двобічної альтернативної гіпотези критична область – верхня 2,5% область розподілу Манна – Уітні з параметрами n1 та n2 , ;
-
Для великих вибірок (ni ≥ 8): вибіркове значення двобічна критична область є , де ‑ квантиль стандартного нормального розподілу рівня γ.
Критерій Краскела–Уолліса.
Якщо кількість вибірок l > 2, то використовують критерій Краскела – Уолліса. Загальне число випробувань об’єднують та ранжирують. Статистика критерію Краскела – Уолліса,
де Ti – сума рангів і -тої вибірки.
Критична область критерію – правобічна, тому гіпотеза заперечується, якщо , де – квантиль розподілу Краскела – Уолліса рівня γ. При величина H приблизно розподілена за законом з ступенями свободи; тоді Н0 про рівність законів розподілу приймається, якщо.
5.3 Індивідуальні завдання
Для критерію однорідності Пірсона першу вибірку взяти з попередньої роботи згідно свого варіанту, другу вибірку згенерувати в Excel з тими ж параметрами та об’ємом m = 150.
Вибірки для критеріїв однорідності Колмогорова – Смирнова та Уілкоксона / Манна – Уітні:
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
Вариант 3
|
Вариант 4
|
Вариант 5
|
|
X1
|
Х2
|
X1
|
Х2
|
X1
|
Х2
|
X1
|
Х2
|
X1
|
Х2
|
|
296
|
328
|
3,4
|
10,2
|
29
|
27
|
85,0
|
97,9
|
43,7
|
11,7
|
|
281
|
320
|
7,9
|
3,3
|
38
|
36
|
89,9
|
105,4
|
40,2
|
18,0
|
|
304
|
294
|
10,3
|
8,7
|
30
|
34
|
105,6
|
112,5
|
24,3
|
57,2
|
|
319
|
308
|
5,9
|
8,3
|
40
|
28
|
108,1
|
96,2
|
7,0
|
21,6
|
|
317
|
315
|
1,9
|
6,1
|
22
|
32
|
110,4
|
106,3
|
12,1
|
42,7
|
|
325
|
307
|
6,9
|
4,5
|
25
|
24
|
110,5
|
106,4
|
36,9
|
26,0
|
|
268
|
290
|
8,3
|
7,9
|
25
|
28
|
100,4
|
98,8
|
18,0
|
57,6
|
|
297
|
286
|
10,9
|
0,0
|
33
|
39
|
107,5
|
95,7
|
6,8
|
43,9
|
|
316
|
317
|
2,5
|
9,7
|
31
|
36
|
111,4
|
97,6
|
22,1
|
35,5
|
|
284
|
298
|
3,7
|
4,9
|
24
|
34
|
104,7
|
98,9
|
21,3
|
18,2
|
|
290
|
281
|
5,1
|
5,9
|
31
|
19
|
91,2
|
82,9
|
43,1
|
18,5
|
|
275
|
286
|
5,9
|
8,9
|
24
|
33
|
103,9
|
96,1
|
31,0
|
19,8
|
|
273
|
319
|
6,3
|
0,7
|
33
|
38
|
99,6
|
82,3
|
49,2
|
19,1
|
|
286
|
312
|
1,7
|
8,0
|
36
|
26
|
106,6
|
107,6
|
47,8
|
13,4
|
|
289
|
322
|
4,2
|
2,3
|
30
|
12
|
92,2
|
88,3
|
20,1
|
16,8
|
|
269
|
314
|
6,0
|
6,6
|
34
|
30
|
97,9
|
98,9
|
40,2
|
8,9
|
|
292
|
278
|
3,0
|
11,3
|
36
|
36
|
94,4
|
124,1
|
18,5
|
52,8
|
|
294
|
302
|
6,2
|
6,3
|
19
|
32
|
110,0
|
106,8
|
44,7
|
48,2
|
|
302
|
314
|
4,8
|
8,9
|
30
|
35
|
99,0
|
87,3
|
27,5
|
47,6
|
|
295
|
287
|
9,5
|
10,8
|
17
|
24
|
100,8
|
104,5
|
36,5
|
40,0
|
|
295
|
303
|
|
9,6
|
|
33
|
104,3
|
105,2
|
|
39,7
|
|
295
|
285
|
|
9,3
|
|
34
|
97,0
|
96,1
|
|
55,2
|
|
319
|
295
|
|
3,4
|
|
25
|
89,4
|
90,5
|
|
39,4
|
|
299
|
315
|
|
9,6
|
|
22
|
111,6
|
92,9
|
|
41,3
|
|
297
|
290
|
|
8,7
|
|
28
|
98,5
|
116,4
|
|
3,4
|
|
|
|
|
5,6
|
|
26
|
|
|
|
29,3
|
|
|
|
|
4,6
|
|
40
|
|
|
|
19,4
|
|
|
|
|
7,7
|
|
33
|
|
|
|
43,1
|
|
|
|
|
1,0
|
|
31
|
|
|
|
27,0
|
|
|
|
|
3,9
|
|
28
|
|
|
|
8,3
|
|
Вариант 6
|
Вариант 7
|
Вариант 8
|
Вариант 9
|
Вариант 10
|
|
X1
|
Х2
|
X1
|
Х2
|
X1
|
Х2
|
X1
|
Х2
|
X1
|
Х2
|
|
2,39
|
1,14
|
10,5
|
10,2
|
7
|
7
|
4,3
|
6,2
|
9,1
|
9,1
|
|
1,87
|
1,09
|
9,2
|
11,5
|
12
|
5
|
10,3
|
5,2
|
10,8
|
9,3
|
|
2,28
|
4,66
|
8,9
|
15,0
|
13
|
18
|
2,8
|
4,4
|
10,3
|
8,1
|
|
3,42
|
1,68
|
13,4
|
9,8
|
9
|
9
|
3,6
|
9,5
|
9,3
|
9,5
|
|
3,48
|
2,55
|
10,4
|
10,0
|
8
|
10
|
2,2
|
2,0
|
10,8
|
9,2
|
|
3,65
|
5,74
|
11,3
|
13,3
|
5
|
6
|
4,7
|
6,5
|
8,7
|
10,8
|
|
2,36
|
1,08
|
8,4
|
11,2
|
9
|
7
|
3,3
|
9,0
|
7,4
|
9,1
|
|
0,32
|
2,23
|
9,0
|
8,3
|
7
|
13
|
4,8
|
8,4
|
9,2
|
7,8
|
|
1,42
|
4,41
|
12,0
|
10,3
|
4
|
6
|
4,2
|
5,0
|
9,6
|
7,0
|
|
3,83
|
4,72
|
9,0
|
6,4
|
9
|
7
|
3,3
|
5,0
|
10,0
|
8,7
|
|
4,85
|
5,14
|
10,2
|
11,5
|
11
|
10
|
3,0
|
6,1
|
9,1
|
7,5
|
|
3,47
|
3,08
|
13,3
|
14,2
|
9
|
11
|
2,7
|
7,4
|
9,4
|
10,9
|
|
0,86
|
4,94
|
10,9
|
9,2
|
14
|
11
|
10,9
|
7,9
|
9,6
|
7,9
|
|
1,48
|
5,47
|
9,5
|
9,3
|
14
|
8
|
5,3
|
8,8
|
9,9
|
9,2
|
|
1,15
|
3,26
|
5,4
|
9,6
|
2
|
13
|
4,3
|
5,9
|
10,2
|
8,9
|
|
0,47
|
3,44
|
12,6
|
14,0
|
9
|
14
|
2,1
|
4,8
|
10,4
|
9,5
|
|
1,28
|
2,03
|
8,0
|
9,2
|
9
|
4
|
3,3
|
3,5
|
9,9
|
6,9
|
|
3,79
|
0,63
|
11,5
|
11,8
|
13
|
11
|
5,2
|
8,9
|
10,1
|
8,4
|
|
0,20
|
1,54
|
11,4
|
8,0
|
8
|
4
|
5,8
|
6,2
|
9,9
|
8,9
|
|
0,45
|
0,18
|
12,6
|
10,9
|
16
|
6
|
5,6
|
1,4
|
7,8
|
8,3
|
|
4,78
|
4,64
|
13,1
|
10,7
|
11
|
12
|
|
2,7
|
10,6
|
9,5
|
|
3,45
|
3,73
|
9,9
|
10,3
|
13
|
13
|
|
9,2
|
9,2
|
8,8
|
|
4,45
|
3,16
|
9,0
|
5,0
|
13
|
8
|
|
7,9
|
10,7
|
9,2
|
|
1,98
|
5,30
|
11,9
|
16,0
|
10
|
9
|
|
10,9
|
10,6
|
8,3
|
|
0,48
|
5,01
|
10,3
|
10,4
|
13
|
14
|
|
4,2
|
10,2
|
8,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11,2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,7
|
|
|
Вибірки для критерію Краскела – Уолліса:
|
Вариант 1
|
Вариант 2
|
Вариант 3
|
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
|
8,50
|
16,76
|
14,28
|
2,13
|
3,45
|
21,92
|
5,77
|
13,54
|
6,44
|
7,05
|
10,32
|
12,90
|
|
3,61
|
9,79
|
8,27
|
8,71
|
14,30
|
17,77
|
19,98
|
23,49
|
6,72
|
2,50
|
-2,40
|
15,98
|
|
11,22
|
20,93
|
14,65
|
10,98
|
18,72
|
29,45
|
17,07
|
6,35
|
-2,30
|
0,87
|
13,46
|
18,55
|
|
16,38
|
6,74
|
14,77
|
7,22
|
16,30
|
9,46
|
1,73
|
17,46
|
8,06
|
8,62
|
17,21
|
5,59
|
|
15,99
|
7,61
|
13,29
|
8,01
|
11,95
|
12,72
|
6,86
|
20,24
|
4,81
|
7,61
|
1,34
|
2,74
|
|
18,67
|
8,69
|
9,45
|
7,13
|
12,90
|
11,59
|
16,85
|
15,00
|
5,93
|
16,18
|
11,33
|
11,34
|
|
-0,92
|
6,50
|
12,44
|
11,55
|
7,47
|
6,29
|
19,94
|
23,41
|
7,94
|
-4,85
|
-1,42
|
1,78
|
|
8,83
|
8,38
|
5,71
|
6,55
|
14,98
|
20,52
|
12,59
|
24,14
|
2,30
|
15,96
|
19,88
|
9,07
|
|
|
12,72
|
12,23
|
12,22
|
8,43
|
15,95
|
|
4,57
|
10,81
|
14,68
|
15,76
|
|
|
|
14,87
|
|
8,20
|
7,14
|
3,52
|
|
|
|
16,38
|
|
|
|
Вариант 4
|
Вариант 5
|
Вариант 6
|
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
|
5,94
|
26,86
|
5,45
|
10,90
|
18,92
|
17,24
|
21,06
|
24,29
|
20,56
|
30,35
|
14,28
|
21,72
|
|
9,69
|
13,36
|
17,48
|
19,70
|
24,99
|
18,26
|
6,23
|
14,28
|
14,35
|
11,34
|
13,90
|
27,64
|
|
-2,18
|
8,20
|
2,23
|
-0,42
|
9,78
|
11,32
|
10,34
|
8,47
|
5,87
|
5,87
|
13,00
|
12,25
|
|
12,65
|
9,10
|
16,05
|
22,26
|
24,27
|
10,37
|
4,41
|
13,77
|
7,56
|
14,43
|
17,54
|
36,50
|
|
10,01
|
12,12
|
5,08
|
10,94
|
7,50
|
13,21
|
6,86
|
7,30
|
37,57
|
16,66
|
32,91
|
16,25
|
|
13,47
|
16,83
|
2,32
|
23,04
|
14,11
|
7,69
|
12,95
|
12,85
|
9,70
|
-3,51
|
17,99
|
-1,59
|
|
19,92
|
-7,12
|
21,80
|
14,08
|
27,13
|
16,71
|
5,52
|
4,68
|
19,01
|
30,53
|
14,47
|
3,53
|
|
23,58
|
3,34
|
25,06
|
-2,02
|
-0,65
|
15,57
|
6,43
|
4,33
|
12,71
|
31,68
|
24,88
|
7,22
|
|
|
17,46
|
9,53
|
|
|
19,99
|
|
22,05
|
27,85
|
|
|
0,60
|
|
|
-6,83
|
|
|
|
|
|
12,67
|
29,22
|
|
|
|
|
Вариант 7
|
Вариант 8
|
Вариант 9
|
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
|
5,09
|
15,39
|
-9,31
|
-5,49
|
-5,39
|
28,66
|
11,63
|
7,57
|
9,40
|
18,67
|
3,83
|
1,06
|
|
1,11
|
-5,41
|
5,48
|
0,36
|
2,36
|
24,90
|
-10,92
|
-1,91
|
-7,72
|
15,60
|
9,42
|
32,80
|
|
4,84
|
11,64
|
12,94
|
2,33
|
12,44
|
-7,40
|
-0,11
|
5,86
|
26,36
|
21,55
|
11,20
|
7,43
|
|
11,62
|
12,91
|
-2,53
|
-17,25
|
7,31
|
2,89
|
-1,30
|
-0,48
|
-2,50
|
30,20
|
21,10
|
19,16
|
|
0,12
|
-0,71
|
-9,47
|
5,24
|
10,41
|
17,01
|
35,70
|
1,35
|
26,82
|
29,07
|
-2,73
|
27,47
|
|
10,63
|
17,47
|
1,04
|
13,85
|
22,74
|
21,46
|
5,00
|
20,45
|
-8,34
|
19,08
|
37,54
|
14,94
|
|
-13,38
|
-2,68
|
-10,96
|
-0,52
|
12,70
|
35,01
|
6,35
|
6,37
|
15,79
|
-2,99
|
20,27
|
10,91
|
|
-3,72
|
7,74
|
12,14
|
-8,66
|
6,64
|
9,40
|
28,43
|
2,28
|
-6,79
|
27,99
|
-1,34
|
8,38
|
|
-5,45
|
|
14,08
|
5,36
|
7,31
|
35,39
|
|
8,61
|
15,42
|
|
18,39
|
0,77
|
|
|
|
-0,88
|
|
|
|
|
3,05
|
-2,38
|
|
|
20,28
|
|
Вариант 10
|
Вариант 11
|
Вариант 12
|
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
|
24,52
|
11,76
|
1,79
|
19,87
|
8,46
|
6,44
|
5,40
|
-3,05
|
32,21
|
-3,14
|
23,93
|
20,38
|
|
16,12
|
-16,26
|
22,11
|
-19,10
|
6,89
|
7,43
|
17,75
|
-3,57
|
25,72
|
11,96
|
10,21
|
19,05
|
|
3,88
|
11,60
|
14,05
|
-12,71
|
4,70
|
10,72
|
-2,17
|
6,21
|
-1,67
|
10,34
|
-3,36
|
-10,89
|
|
13,42
|
3,83
|
3,93
|
14,66
|
10,73
|
4,84
|
4,28
|
-11,51
|
-3,30
|
16,55
|
-0,56
|
-16,42
|
|
5,63
|
-13,54
|
23,90
|
13,66
|
11,97
|
12,48
|
-3,61
|
27,43
|
-2,65
|
-6,91
|
8,12
|
-8,21
|
|
-8,40
|
-7,30
|
-4,66
|
7,87
|
9,22
|
9,42
|
11,50
|
-14,40
|
11,80
|
3,32
|
-1,84
|
10,87
|
|
23,27
|
32,32
|
22,43
|
-5,73
|
4,61
|
9,95
|
11,21
|
-9,34
|
6,92
|
1,41
|
18,44
|
9,99
|
|
13,77
|
19,40
|
-2,50
|
-11,88
|
10,80
|
9,30
|
-22,70
|
23,88
|
4,46
|
5,58
|
7,12
|
-6,12
|
|
3,24
|
|
5,33
|
|
|
12,06
|
18,86
|
|
|
24,42
|
|
6,72
|
|
-3,28
|
|
|
|
|
9,66
|
-17,36
|
|
|
22,07
|
|
|
З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!
|
