Самостійна робота №4 на тему Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку

Самостійна робота №4 на тему Лінійні диференціальні рівняння -го порядку

4.1. Лінійна незалежність функцій. Визначник Вронського

Нехай маємо скінчену систему з  функцій , визначену на інтервалі . Функції називаються лінійно залежними на інтервалі , якщо існують сталі , не всі рівні нулю, такі що для всіх значень  з цього інтервалу має місце тотожність

Якщо ця тотожність виконується тільки при , то функції  називаються лінійно незалежними на інтервалі .

Нехай  функцій  мають похідні  - го порядку. Визначник

називається визначником Вронського для цих функцій.

Теорема: Якщо система функцій  лінійно незалежна на відрізку , то визначник Вронського цих функцій тотожньо рівний нулю на цьому відрізку.

Ця теорема дає необхідну умову лінійної залежності системи функцій.

4.2. Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Нехай маємо диференціальне рівняння

де  - дійсні сталі.

Складемо характеристичне рівняння для рівняння (4.3)

Нехай  корені рівняння (4.4), причому серед них можуть бути кратні.

Можливі наступні випадки:

а)  - дійсні і різні. Тоді фундаментальна система розв’язків рівняння (4.3) має вигляд  і загальний розв’язок однорідного рівняння буде

б) корені характеристичного рівняння дійсні, але серед них є кратні. Нехай, наприклад, , тобто  є  - кратним коренем рівняння (4.4), а всі інші  коренів різні. Фундаментальна система розв’язків в цьому випадку має вигляд загальний розв’язок.

в) серед коренів характеристичного рівняння є комплексні.

Нехай , , , , а інші корені дійсні. Фундаментальна система розв’язків в цьому випадку має вигляд

а загальний розв’язок

г) якщо  є  - кратним коренем рівняння (4.4) , то  також буде  - кратним коренем, і фундаментальна система розв’язків буде мати вигляд:

4.3. Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Нехай дано диференціальне рівняння зі сталими дійсними коефіцієнтами. Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (4.8) рівний сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння та будь-якого частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

В загальному випадку інтегрування рівняння (4.8) може бути здійснено методом варіації довільних сталих. Однак для правих частин спеціального вигляду частинний розв’язок знаходиться методом підбору.

Наведемо таблицю видів частинних розв’язків для різних правих частин

Якщо права частина рівняння (4.8) є сумою де мають вигляд функцій, наведених у таблиці, то частинний розв’язок  рівняння (4.8) знаходиться у вигляди. 

Завдання до самостійної роботи №4 

Задача 1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Задача 2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Задача 3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Задача 4. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Задача 5. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння 

Задача 6. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Задача 7. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння 

Приклади виконання задач самостійної роботи №4 

Приклад 4.1. Знайти загальний розв’язок рівняння.

Розв’язок: Складемо характеристичне рівняння  і знайдемо його корені:. Оскільки вони дійсні та різні, то загальний розв’язок має вигляд .

Приклад 4.2. Знайти загальний розв’язок рівняння.

Розв’язок: Характеристичне рівняння має вигляд . Звідки , . Корені дійсні, один з них двократний. Загальний розв’язок має вигляд .

Приклад 4.3. Знайти загальний розв’язок рівняння.

Розв’язок: Характеристичне рівняння  має корені , , . Загальний розв’язок.

Приклад 4.4. Знайти загальний розв’язок рівняння.

Розв’язок: Характеристичне рівняння  або  має корені  - однократні,  - пара двократних уявних коренів. Загальний розв’язок має вигляд .

Приклад 4.5. Знайти загальний розв’язок рівняння.

Розв’язок: Характеристичне рівняння  має різні корені , , , тому загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Оскільки число 0 не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок даного рівняння  треба шукати у вигляді , де  - коефіцієнти, які треба визначити. Підставляючи вираз для  в дане рівняння, отримаємо , звідки.

Частинний розв’язок: .

Загальний розв’язок: . 

Приклад 4.6. Знайти загальний розв’язок рівняння.

Розв’язок: Характеристичне рівняння  має корені , , тому загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Оскільки число 0 є двократним коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок даного рівняння  треба шукати у вигляді . Підставляючи вираз для  в дане рівняння, та прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях  отримаємо .

Частинний розв’язок: .

Загальний розв’язок: .

Приклад 4.7. Знайти загальний розв’язок рівняння.

Розв’язок: Характеристичне рівняння  має корені , загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Частинний розв’язок даного рівняння  треба шукати у вигляді . Підставляючи вираз для  в дане рівняння, та скорочуючи обидві частини рівняння на , отримаємо . Звідки.

Частинний розв’язок: .

Загальний розв’язок: .

Приклад 4.7. Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: Характеристичне рівняння  має корені , загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд

Покладемо . Про диференціюємо (4.13) по

Підставимо (4.14), (4.13) і (4.12) в рівняння (4.10) та після скорочення подібних членів, отримаємо систему рівнянь

Підставляючи (4.16) і (4.17) в рівняння (4.11), отримаємо загальний розв’язок вихідного рівняння.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!