Самостійна робота №3 на тему Диференціальні рівняння вищих порядків та Зниження порядку рівнянь

Самостійна робота №3на тему Диференціальні рівняння вищих порядків та Зниження порядку рівнянь 

Диференціальне рівняння -го порядку має вигляд або, якщо воно розв’язано відносно:

Вкажемо деякі види диференціальних рівнянь, що допускають зниження порядку

Рівняння розв’язується - кратним інтегруванням.

2) Рівняння не містить шуканої функції та її похідних до порядку  включно

Порядок можна знизити заміною .

3) Рівняння не містить незалежну змінну

Підстановка  дозволяє знизити порядок рівняння на одиницю. При цьому  розглядається як нова невідома функції от : . Тоді

Підставляючи ці похідні в рівняння (3.5), одержимо диференціальне рівняння -го порядку.

4) Рівняння однорідне відносно аргументів, тобто.

Порядок цього рівняння можна зменшити на одиницю підстановкою , де  - нова невідома функція від:.

5) Рівняння в якому функція  однорідна відносна своїх аргументів , якщо вважати  та  - першого виміру, а  - виміру . Тоді  буде мати вимір ,  - вимір  і т.д. Для зниження порядку застосовуємо підстановку , . Після цього отримуємо диференціальне рівняння між  і , яке не містить явно , тобто воно дозволяє знизити порядок на одиницю.

Завдання до самостійної роботи №3 

Задача 1. Знайти загальнийрозв’язок диференціального рівняння 

Задача 2. Знайти загальнийрозв’язок диференціального рівняння

Задача 3. Знайти розв’язок задачі Коші

Приклади виконання задач самостійної роботи №3

Приклад 3.1. Розв’язати задачу Коші

Розв’язок: Інтегруючи (3.7) послідовно три рази, отримаємо

Підставимо початкові дані (3.8) в (3.9)

Розв’язок задачі Коші буде мати вигляд.

Приклад 3.2. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Рівняння не містить  і, тому покладемо. Рівняння набуде вигляду . Розділюємо змінні та інтегруємо:. Замінимо  на:. Послідовно інтегруючи, одержимо

Приклад 3.3. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Рівняння не містить змінної . Покладаючи , , отримаємо рівняння Бернуллі . Підстановкою  воно зводиться до лінійного рівняння , загальний розв’язок якого . Замінюючи  на , отримаємо . Звідки , або , де .

Приклад 3.4. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Дане рівняння однорідне відносно . Його порядок знижується на одиницю підстановкою , де  - нова невідома функція від . Маємо, .

Підставляючи  в (3.12), одержимо

Це рівняння лінійне. Його загальним розв’язком є . Знаходимо інтеграл.

Загальний розв’язок рівняння (3.12) має вигляд  або . Окрім того, рівняння має розв’язок .

Приклад 3.5. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Покажемо, що це рівняння – узагальнене однорідне. Вважаючи  величинами першого,  - го,  - го і  - го вимірів, відповідно та прирівнюючи виміри усіх членів, отримаємо . Звідки . Зробимо підстановку , . Так як ,,

то дане рівняння після скорочення на множник  набуде вигляду . Покладаючи , , отримаємо , звідки  або . Інтегруючи друге рівняння, знайдемо  або . Загальним розв’язком цього рівняння є . Повертаючись до змінних  та , отримаємо загальним розв’язок рівняння (3.13).

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!