Самостійна робота №2 на тему Рівняння, які не розв’язані відносно похідної, Рівняння Лагранжа та Клеро, Особливі розв’язки

Самостійна робота №2 на тему Рівняння, які не розв’язані відносно похідної, Рівняння Лагранжа та Клеро, Особливі розв’язки 

Рівняння, не розв’язані відносно похідної в загальному випадку мають вигляд

Методи розв’язування таких рівнянь залежать від їх вигляду:

1) Розв’язати рівняння відносно, тобто з рівняння (2.1) виразити  через  та. Отримаємо одне чи декілька рівнянь вигляду, кожне з яких розв’язується окремо.

2) Метод введення параметру. Нехай рівняння (2.1) можна розв’язати відносно, тобто записати у вигляді. Вводячи параметр

Обчислимо повний диференціал від обох частин рівності (2.3) та замінімо на

Якщо розв’язок цього рівняння знайдено у вигляді, то скориставшись рівністю (2.3), отримаємо розв’язок вихідного рівняння в параметричному запису.

З допомогою цього ж методу розв’язуються рівняння вигляду.

3) Рівняння Лагранжа має вигляд

Покладаючи, методом диференціювання з заміною  на, зводимо це рівняння до лінійного відносно, як функції. Нехай  розв’язок лінійного рівняння. Тоді загальний розв’язок рівняння Лагранжа у параметричній формі має вигляд

4) Рівняння Клеро має вигляд

Для розв’язання рівняння (2.5) використовується той самий метод, що й для рівняння Лагранжа. Загальний розв’язок має вигляд .

Розв’язок  диференціального рівняння (2.1) називається особливим, якщо у кожній його точці порушується властивість єдиності, тобто через кожну його точку , окрім цього розв’язку проходить і іншій розв’язок, який має в точці  ту ж саму дотичну, що й розв’язок  але не співпадає з ним в досить малому околі . Графік особливого розв’язку називається особовою інтегральною кривою рівняння (2.1). Якщо функція  та її часткові похідні  і  неперервні за всіма аргументами , то будь-який особливий розв’язок рівняння (2.1) задовольняє також рівнянню

Таким чином, для того щоб знайти особливі розв’язки рівняння (2.1) треба вилучити  з рівнянь (2.1), (2.6). Отримане в результаті цього рівняння називається - дискримінантом рівняння (2.1), а крива (2.7) називається - дискримінантною кривою. Часто - дискримінантна крива розпадається на декілька гілок. Тоді треба перевірити, чи є кожна окрема гілка розв’язком рівняння (2.1) і якщо є, чи буде він особливим, тобто чи порушується його єдиність в кожній точці. 

Завдання до самостійної роботи №2 

Задача 1. Знайти загальнийрозв’язок диференціального рівняння

Задача 2. Знайти загальнийрозв’язок диференціального рівняння

Задача 3. Знайти загальнийрозв’язок диференціального рівняння

Задача 4. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.

Задача 5. Знайти лінію, яка проходить через т. і таку, що в будь-якій її точці  нормальний вектор  з кінцем на вісі, має довжину, яка дорівнює , та утворює гострий кут з додатнім напрямом вісі.

Знайти лінію, яка проходить через т., якщо відрізок будь-якої нормалі, який знаходиться між віссю  віссю  та ділиться точкою лінії у відношенні (рахуючи від вісі ).

Знайти лінію, яка проходить через т., якщо відрізок будь-якої її дотичної, який знаходиться між точкою дотику віссю , ділиться в точці дотику з віссю абсцис у відношенні  (рахуючи від вісі).

Знайти лінію, яка проходить через т., якщо відрізок будь-якої її дотичної, який знаходиться між віссю  та віссю , ділиться в точці дотику у відношенні  (рахуючи від вісі ).

Знайти лінію, яка проходить через т. і володіє властивістю, що в будь-якій точці  дотичний вектор  з кінцем на вісі  має проекцію на вісь , яка дорівнює.

Приклади виконання задач самостійної роботи №2 

Приклад 2.1. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Розв’язавши це рівняння відносно  будемо мати

Приклад 2.2. Розв’язати рівняння

та знайти особливий розв’язок.

Розв’язок: Вводимопараметр ,

Беремо повний диференціал від обох частин рівності (2.10) та замінюємо  на :

Розв’язуємо отримане рівняння

а) Якщо , то скорочуємо на : , .

Підставляючи це в (2.10), отримаємо розв’язок у параметричній формі

В даному випадку розв’язок можна знайти в явному вигляді, виключаючи параметр  з рівнянь (2.12)

б) Нехай в (2.11) . Підставляючи  в (2.10) отримаємо розв’язок . Знайдемо особливі розв’язки рівняння (2.9). Знайдемо похідну від обох його частин по :

Виключимо  з рівнянь (2.9), (2.14). З (2.14) маємо , підставляючи це в (2.9) отримаємо рівняння дискримінантної кривої

Перевіримо, чи буде вона особливим розв’язком. Спочатку перевіряємо, чи є вона розв’язком рівняння (2.9). Підставляючи (2.15) в (2.9) отримаємо тотожність, тобто крива (2.15) - розв’язок.

Далі перевіримо, чи є цей розв’язок особовим, тобто чи дотикаються до нього в кожній точці інші розв’язки. Інші розв’язки описуються рівнянням (2.13). Запишемо умови дотику кривих  и  в точці з абсцисою :

Для розв’язків (2.13) та (2.15) ці умови набувають вигляду

З другої рівності маємо , підставляючи це в першу рівність, отримаємо . Ця рівність виконується при будь-яких . Значить, при кожному  розв’язок  в точці  дотикається до однієї з кривих сімейства (2.13), а саме до тієї кривої, для якої .

Таким чином, в кожній точці розв’язок  дотикається до іншого розв’язку (2.13), який з ним не співпадає. Тому, розв’язок  - особливий.

Приклад 2.3. Розв’язати рівняння Лагранжа

Розв’язок: Покладемо . Тоді . Диференціюючи, знаходимо . Звідки , або . Отримали рівняння першого порядку, лінійне по . Розв’язуючи його, знаходимо . Підставляючи знайдене значення  в вираз для , отримаємо

Приклад 2.4. Розв’язати рівняння Клеро

Розв’язок: Покладаючи в(2.18) , отримаємо

Диференціюючи, знаходимо , звідки . Дослідимо обидва множника:

1) Загальний розв’язок .

Виключаючи  з цього рівняння, та з рівняння (2.19), отримаємо . Це також розв’язок рівняння (2.18). Окрім того він є особливим розв’язком.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!