Самостійна робота №1 на тему Методи розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку

Самостійна робота №1 на тему Методи розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку 

1.1. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Метод ізоклін

Диференціальним рівняння називається рівняння, яке пов’язує незалежну змінну , невідому функцію  та її похідні , тобто рівняння вигляду

Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, яка належить рівнянню.

Розв’язком диференціального рівняння називається функція , визначена на проміжку разом зі своїми похідними до порядку  включно, і таку, що підстановка функції  в диференціальне рівняння перетворює його на тотожність по  на .

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою його розв’язку.

Рівняння першого порядку має вигляд

Теорема існування та єдиності: Нехай дано рівняння (1.3), де функція  визначена в деякій області  площини , яка містить точку . Якщо функція  задовольняє наступним умовам:

а) є неперервною функцією двох змінних  і  в області;

б) має часткову похідну, яка є неперервною по  і  в області, то існує єдиний розв’язок  даного рівняння, який задовольняє умові

Умову (1.4) називають початковою.

Задачу знаходження розв’язку диференціального рівняння (1.3),, який задовольняє умові (1.4) називають задачею Коші.

Загальним розв’язком диференціального рівняння (1.3) називається функція , яка залежить від однієї довільної змінної  і така, що:

1) вона задовольняє рівнянню (1.3) при довільний значеннях сталої ;

2) при довільній початковій умові (1.4) можна підібрати таке значення сталої, що функція  буде задовольняти даній початковій умові. При цьому вважається, що точка  належить області, де виконуються умови існування та єдиності розв’язку.

Частковим розв’язком диференціального рівняння (1.3) називається розв’язок, який отримується із загального розв’язку при будь-якому значенні довільної сталої.

Співвідношення вигляду, яке неявно визначає загальний розв’язок, називається загальним інтегралом диференціального рівняння першого порядку. Співвідношення, яке отримується із загального інтегралу при конкретному значенні сталої  називається частковим інтегралом диференціального рівняння.

Рівняння  визначає у кожній точці , де існує функція , значення , тобто кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої в цієї точці. Таким чином, диференціальне рівняння  визначає поле напрямків. Геометричне місце точок площини, в яких нахил дотичних до розв’язків рівняння  однаковий, називається ізокліною. Рівняння ізокліни має вигляд , де  - стала.

Для того щоб наближено побудувати розв’язок рівняння , можна накреслити достатню кількість ізоклін, після чого накреслити розв’язки, тобто криві, які в точках перетину з ізоклінами , , . . . мають дотичні з кутовими коефіцієнтами відповідно , . . .

Нульова ізокліна  дає рівняння ліній, на яких можуть знаходитися точки максимуму та мінімуму інтегральних кривих. 

1.2. Диференціальні рівняння з розділеними змінними

Диференціальне рівняння вигляду

називається рівнянням з розділеними змінними.

Загальний інтеграл рівняння знаходиться інтегруванням лівої та правої частин (1.5).

Диференціальне рівняння вигляду

де - сталі, заміною змінних  перетворюється в рівняння з розділеними змінними.

При діленні обох частин рівняння на вираз, якій містить невідомі  і , можуть бути втрачені розв’язки, що перетворюють цей вираз в нуль. 

1.3. Однорідні диференціальні рівняння, та рівняння, що до них зводяться

Однорідні диференціальні рівняння можуть бути записані у вигляді

де  і  - однорідні функції одного й того ж ступеня. Для розв’язання однорідного рівняння можна зробити заміну , яка приводить до рівняння зі змінними, що розділяються.

Рівняння вигляду

зводиться до однорідного за допомогою перенесення початку координат в точку перетину прямих  і. Якщо ці прямі не перетинаються, то . Рівняння набуває вигляду  і зводиться до рівняння зі змінними, що розділяються заміною  або.

Деякі рівняння можна звести до однорідних заміною , де  - число, яке треба визначити з умови, щоб рівняння було однорідним. Якщо  не знаходиться з цієї умови, то рівняння не можна звести до однорідного вказаним способом. 

1.4. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Ріккаті

Рівняння вигляду називається лінійним. Щоб його розв’язати потрібно спочатку розв’язати рівняння і в загальному розв’язку, замінити довільну сталу  на невідому функцію . Потім вираз, отриманий для , підставити в рівняння (1.10) і знайти функцію .

Деякі рівняння стають лінійними, якщо поміняти місцями функцію та незалежну змінну.

Для розв’язання рівняння Бернуллі треба обидві його частини поділити на  і зробити заміну, після чого отримаємо лінійне рівняння.

Рівняння Рікатті в загальному випадку не розв’язується в квадратурах. Якщо відомий один частинний розв’язок, заміною  рівняння Рікатті, зводиться до рівняння Бернуллі. Іноді частинний розв’язок можна підібрати виходячи з вигляду вільного члену рівняння. 

1.5. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник

Диференціальне рівняння вигляду називається рівнянням в повних диференціалах, якщо його ліва частина є повний диференціал деякої функції 

Необхідною та достатньою умовою того, що рівняння (1.14) - рівняння в повних диференціалах є умова ( в деякій області  зміни  та ). Загальний інтеграл рівняння (1.14) має вигляд  або

При інтегруванні деяких диференціальних рівнянь можна згрупувати члени так, що отримуються комбінації, які легко інтегруються.

В деяких випадках, коли рівняння (1.14) не є рівнянням в повних диференціалах, все ж вдається підібрати функцію, після множення на яку ліва частина (1.14) перетворюються на повний диференціал

Така функція  називається інтегруючим множником.

Завдання до самостійної роботи №1 

Задача 1. Для даного диференціального рівняння методом ізоклін побудувати інтегральну криву, яка проходить через точку.

Задача 2. Визначити тип диференціального рівняння та знайти його загальний інтеграл

Задача 3. Визначити тип диференціального рівняння та знайти його загальний інтеграл

Задача 4. Визначити тип диференціального рівняння та знайти його загальний інтеграл

Задача 5. Визначити тип диференціального рівняння та розв’язати задачу Коші

Задача 6. Визначити тип диференціального рівняння та розв’язати задачу Коші

Задача 7. Визначити тип диференціального рівняння та розв’язати задачу Коші

Задача 8. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.

Приклади виконання задач самостійної роботи №1 

Приклад 1.1. За допомогою ізоклін побудувати інтегральні криві рівняння.

Розв’язок: Покладемо, отримаємо рівняння сімейства ізоклін.

Таким чином, ізоклінами є прямі, які проходять через початок координат. При  отримаємо ізокліну, при  - ізокліну, при  = ізокліну. Розглядаючи перевернуте рівняння  знайдемо ізокліну, у всіх точках якої інтегральні криві мають вертикальні дотичні. За допомогою отриманих ізоклін будуємо інтегральні криві. 

Приклад 1.2. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Перетворимо рівняння (1.17) до вигляду

 =>

Ділимо обидві частини рівняння на . Отримаємо .

Змінні розділені. Інтегруємо обидві частини

 => .

При діленні на  могли бути втрачені розв’язки  і. Перевіркою з’ясовуємо, що  - є розв’язком рівняння (1.17), а - ні. 

Приклад 1.3. Знайти розв’язок рівняння, який задовольняє початковій умові

Розв’язок: Маємо . Інтегруючи останнє рівняння, отримуємо.

Вважаючи в (1.20) , будемо мати . Підставляючи С в (1.20), отримаємо.

Приклад 1.4. Знайти розв’язок задачі Коші.

Розв’язок: Приведемо рівняння до вигляду  та зробимо заміну змінних . Тоді ,  і рівняння набуває вигляду .

Розділяємо змінні  та інтегруємо  => => .

Повертаємось до старої змінної ,  - загальний розв’язок рівняння (1.21).

Знайдемо розв’язок в точці , : . Отже, частинний розв’язок має вигляд. 

Приклад 1.5. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Функції,  мають другий ступень, тому рівняння однорідне. Покладемо . Тоді . Підставляючи в (1.22), отримаємо => .

Розділяємо змінні  та інтегруємо  =>  => .

Повертаючись до старої змінної, отримаємо загальний інтеграл рівняння .

Окрім того, маємо розв’язок , який було втрачено при діленні на . 

Приклад 1.6. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Знайдемо точку перетину прямих , .

Зробимо заміну змінних . Рівняння (1.23) набуде вигляду

Рівняння (1.24) є однорідним. Покладемо . Отримаємо . Звідки . Розділимо змінні . Інтегруючи, знаходимо , .

Повертаємось до змінних :

Приклад 1.7. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Зробимо підстановку , . Підставимо в (1.25)

Рівняння буде однорідним, якщо ступені усіх доданків однакові . Звідки , . Отже, маємо  і рівняння (1.25) набуває вигляду, яке є однорідним. Покладемо . Тоді , або .

Розділюючи змінні, отримуємо  або .

Повертаючись до старих змінних, отримуємо загальний інтеграл рівняння (1.25) . 

Приклад 1.8. Розв’язати рівняння

Розв’язок: Зробимо заміну змінних.

Рівняння (1.26) набуде вигляду, або

Рівняння (1.27) – лінійне неоднорідне. Відкидаючи праву частину, розв’язуємо лінійне однорідне рівняння.

Розділимо змінні . Інтегруючи, отримуємо  => =>.

Вважаючи  функцією, залежною від, застосовуємо метод варіації довільної сталої.

Підставимо (1.29), (1.30) у рівняння (1.26)

 => => .

Звідки .

Підставимо  в рівняння (1.29) та одержимо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (1.27). Повернемося до змінної

Приклад 1.9. Розв’язати рівняння Ріккаті

Розв’язок: Знайдемо частинний розв’язок рівняння Рік каті  і зробимо заміну змінних

Підставимо (1.32) в рівняння (1.31)

Одержали рівняння Бернуллі з . Зробимо заміну .

Знайдемо розв’язок лінійного неоднорідного рівняння.

Застосуємо метод варіації довільної сталої

Підставимо  і  в лінійне неоднорідне рівняння

Інтегруючи, одержимо

Підставляючи (2.36) в рівняння (1.35) одержимо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

Послідовно повертаємось до змінних  та

Приклад 1.10. Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: , . Перевіримо виконання умови : , . Умова виконується . Знаходимо загальний розв’язок рівняння (1.38)

Приклад 1.11. Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: , . Перевіримо виконання умови : , . Умова не виконується. Підберемо інтегруючий множник, так щоб виконалася умова , або . Звідки

Припустимо, що  і рівняння (1.39) набуває вигляду

Рівняння  є рівнянням в повних диференціалах. Його ліву частину можна звести до вигляду . Звідки  і загальний інтеграл даного рівняння є .

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!