Тема 1.1 з курсу Математика для економістів, Вища математика

Тема 1.1. Елементи теорії матриць

Матрицею називається упорядкована таблиця чисел або інших об’єктів, розміщених у  рядках і n стовпчиках.

Елементи цієї таблиці називаються елементами матриці та позначаються …, де i – номер рядка, j – номер стовпчика.

Матрицю позначають однією великою літерою.

Матрицю, яка має m рядків і n стовпчиків, називають матрицею розміром. 

Матриця називається матрицею-стовпцем, якщо має лише один стовпець.

Матриця називається матрицею-рядком, якщо вона складається тільки з одного рядка.

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою.

Матриця, у якій кількість рядків дорівнює кількості стовпців (), називається квадратною.

Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник відмінний від нуля.

Елементи квадратної матриці  утворюють головну діагональ матриці. Елементи квадратної матриці  – допоміжну діагональ.

Діагональною називається квадратна матриця, у якої всі елементи, що не належать головній діагоналі, дорівнюють нулю.

Одинична матриця – це діагональна матриця, у якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці. Одинична матриця позна­чається літерою Е, тобто. 

Якщо, в матриці В рядки записати стовпцями, зберігаючи їх поря­док, то одержана матриця називається транспонованою і позначається , а вказана операція перетворення матриці А називається транс­понування матриці А.

Операції над матрицями

1. Додавання і віднімання матриць

Ці операції виконуються тільки для матриць однакової розмірності. Сумою (різницею) матриць A і B, що позначається , називається матриця C, елементи якої , де  – від­повідно елементи матриць A і B.

Приклад 1.

Дано матриці, . Знайти А + В,  А – В.

Розв’язання: 

2. Множення матриці на число

Добутком матриці A на число , який позначається , називається матриця B тієї ж розмірності, елементи якої , де – елементи матриці A.

3. Множення матриць

Дві матриці можна перемножити, якщо кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці. Добутком матриць  називається матриця , елементи якого , де  – елементи матриць A і B.

Наприклад, якщо дано матриці 

Знаходження оберненої матриці

Квадратна матриця  називається оберненою до квадратної матриці A, якщо виконується умова  – оди­нична матриця.

Будь-яка невироджена матриця 

має обернену матрицю 

де  – алгебраїчне доповнення елемента  матриці A.

Алгебраїчне доповнення  елемента  обчислюють за фор­мулою: 

де  – мінор елемента.

Мінором  елемента  називається визначник -го порядку, отриманий з визначника n-го порядку викресленням i-го рядка і j-го стовпчика. Визначник -го порядку отриманий з визначника n-го порядку викресленням i-го рядка і j-го стовпчика.

Приклад 2.

Знайти матрицю обернену до матриці 

Розв’язання. Знайдемо визначник матриці А.

Знайдемо алгебраїчні доповнення матриці А: 

Отже, обернена матриця  має вигляд.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!