Лабораторна робота №6 на тему Дослідження алгоритму оптимального керування стохастичними процесами, НТУУ КПІ

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №6 

ДОСЛІДЖЕННЯ АЛГОРИТМУ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ

СТОХАСТИЧНИМИ ПРОЦЕСАМИ 

Мета лабораторної роботи полягає в отриманні навиків синтезу та дослідження алгоритму оптимального керування стохастичними процесами з використанням їх математичних моделей та процедури оптимального оцінювання станів. При підготовці та в процесі виконання лабораторної роботи студент повинен пригадати основні підходи до синтезу алгоритмів оптимального керування стохастичними процесами. 

6.1. Завдання до лабораторної роботи 

6.1.1. Ознайомитися з теоретичними положеннями, що приведені далі.

6.1.2. Математичну модель процесу, що досліджується (співвідношення (1.3), лабораторної роботи № 1), з урахуванням адитивного стохастичного збурення в моделях процесу і вимірювання записати в стандартній формі простору станів:

де  і  визначені в лабораторній роботі № 5 (перевизначимо лише ).

З урахуванням (6.1), (6.2) та принципу розподілення, співвідношення, що мінімізують критерій якості

де E[×] - символ математичного сподівання, приймуть вигляд:

а  - оптимальна оцінка стану , що визначається співвідношеннями:

Задатися значеннями матриць коефіцієнтів , а також . Окрім цього задатися значеннями матриць  і , що будуть використані в співвідношенні (6.4) замість відповідних матриць  і  в одному з досліджень. 

6.2. Порядок виконання роботи  

6.2.1. Виконати дослідження поведінки алгоритму оптимального керування стохастичним процесом. В результаті розрахунків отримати оптимальне керування , оцінку стану , коваріацію  і значення критерію якості J; надрукувати їх; зробити висновки. На попередньому етапі шляхом реалізації співвідношень (6.1) і (6.2) розраховуються та накопичуються вимірювання , які потім використовуються при реалізації алгоритму оптимального оцінювання (група співвідношень (6.5)).

6.2.2.Провести дослідження алгоритму оптимального керування стохастичним процесом у постановці п.6.2.1 у випадку, коли матриці , що використовуються для синтезу фільтра Калмана (співвідношення (6.5)) і детермінованого алгоритму оптимального керування (співвідношення (6.4)), відрізняються від дійсних матриць , що використовуються для моделювання вимірювань . У файлі вихідних даних передбачене роздільне введення матриць   і  (не плутати , які вводяться в лабораторних роботах № 4,5). В результаті розрахунків отримати оптимальне керування , оцінку стану , коваріацію  і значення критерію якості J; надрукувати їх; зробити висновки. 

6.3. Зміст звіту 

6.3.1. Записати основні математичні співвідношення, що визначають алгоритм оптимального керування стохастичними процесами. Записати чисельні значення матриць , зобразити структурну схему ЛКГ-задачі (див. теоретичні положення до роботи).

6.3.2. Представити скріншоти з вихідними даними та результатами проведених обчислювальних експериментів.

6.3.3. Представити висновки по роботі. 

6.4. Теоретичні положення 

Стохастичним називається керування процесами, що описуються стохастичними диференціальними рівняннями. Для випадку лінійних систем, підвладних впливу білих гауссівських збурень, сформулюємо задачу стохастичного керування. Для системи, що описується лінійними стохастичними рівняннями [16]:

де  - некоррельовані між собою випадкові збурення і шуми вимірювань типу білого гауссівського шуму, необхідно визначити таке керування , яке мінімізує квадратичний функціонал вигляду:

де  - символ математичного сподівання.

Якщо вимірюються всі координати,  

Якщо ж вимірюванню доступні не всі координати стану, оптимальний стохастичний регулятор повинен бути якимось чином пов’язаний з системою оцінювання станів. У цьому випадку, вважаючи початковий стан  некоррельованим з  і  та розподіленим за нормальним законом із середнім:

і матрицею коваріації 

дістанемо наступний оптимальний закон керування:

де матричний коефіцієнт підсилення  визначається співвідношеннями (6.9), а матриця  наступним рівнянням:

У відповідності з представленими виразами оптимальне стохастичне керування реалізується у вигляді послідовно з’єднаних оптимального фільтра, який оцінює стан об’єкту керування, та оптимального детермінованого регулятора, що використовує отримані оцінки замість дійсних станів. Цей результат, відомий як принцип розділення або ЛКГ-задача (лінійна, квадратична, гауссівська), застосуємо до достатньо широкого класу лінійних систем.

Рис. 6.1. До ілюстрації принципу розподілу 

Слід зауважити, що основний сенс властивості розподіленості полягає в тому, що при його виконанні задачі з випадковим шумом в сигналі вимірювань, тобто задачі з частково спостережуваними змінними стану, зводяться до задач з повністю спостережуваними змінними стану, роль яких у випадку, що розглядається, виконують оцінки стану.

У випадку задоволення ЛКГ-умов може бути здійснене, як іноді кажуть, аналітичне конструювання оптимальних регуляторів. Особливість ЛКГ-задач керування полягає в тому, що вони досить добре описують реальні задачі тільки при розробці систем оптимізації, коли потрібно підтримати змінні, що регулюються, поблизу їх заданих значень. У таких задачах якість регулювання часто характеризується квадратом відхилу змінної стану від завдання, а в зв’язку з малим значенням цих відхилень динаміка процесу звично задовільно описується лінійними моделями.

У більш складних випадках з нелінійними системами ЛКГ-умови не виконуються. Оскільки перехід від лінійного гауссівського випадку до загального випадку з нелінійними моделями динаміки і негауссівськими корельованими випадковими збуреннями викликає значні ускладнення, на практиці замість них розглядаються задачі субоптимального керування. При розробці субоптимальних алгоритмів керування часто доводиться користуватись рядом важливих результатів, отриманих в лінійній теорії.

6.5. Контрольні питання 

1. Охарактеризувати задачу оптимального керування стохастичними процесами.

2. Навести основні математичні співвідношення, що визначають алгоритм процедури оптимального керування стохастичними процесами.

3. Сформулювати ЛКГ-задачу.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!