Лабораторна робота №4 на тему Дослідження систем керування із зворотним зв’язком, НТУУ КПІ

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №4 

ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ ІЗ ЗВОРОТНИМ ЗВ’ЯЗКОМ 

Мета лабораторної роботи - набути навиків синтезу та дослідження поведінки оптимальних і неоптимальних САК на ЕОМ з використанням машинних моделей даних САК.

Робота складається з декількох частин. На першому етапі необхідно виконати моделювання неоптимальної системи керування, тобто системи з від’ємним зворотним зв’язком, коефіцієнт підсилення якої вибирається вручну. На другому етапі необхідно підібрати коефіцієнти підсилення у ланцюзі зворотного зв’язку, що мінімізує критерій якості, тобто вручну синтезувати оптимальну систему автоматичного керування. На третьому етапі розглядається аналогічна система. Відміна полягає в тому, що оптимальний коефіцієнт зворотного зв’язку цієї системи розраховується автоматично. На заключних етапах необхідно дослідити властивості оптимальної САК у випадку, коли модель, що використовується, неадекватна реальному процесу, а також для різних вагових матриць.

При підготовці та в ході виконання даної лабораторної роботи студент повинен пригадати основні підходи до синтезу САК, методи синтезу оптимальних керувань, а також опанувати можливості спеціалізованого програмного забезпечення для середовища MATLAB з дослідження САК, що розглядаються, на ЕОМ. 

4.1. Завдання до лабораторної роботи 

4.1.1. Ознайомитися з теоретичними положеннями, що приведені далі.

4.1.2. На етапі підготовки до лабораторної роботи для моделі вигляду 2 (співвідношення (1.3), лабораторна робота № 1) задатися y₀, y₁, u(t), а також a₀, a₁, c. Представити модель у формі простору станів (1.4), (1.5). Задатися коефіцієнтами  і  (квадратні діагональні додатно визначені матриці з розмірністю, що відповідає розмірності вектора станів) критерію якості керування

 - вектор-стовпець, який визначає завдання на керування;  - визначене в співвідношенні (1.4);  - на першому етапі дослідження задається довільно, на другому підбирається з умови мінімізації критерію якості (4.1), а на третьому етапі розраховується шляхом розв’язування рівняння Ріккаті:

для  (тобто реалізовано випадок усталеного розв’язку).

4.1.3. Внести отримані коефіцієнти в програмне забепечення. 

4.2. Порядок виконання роботи 

4.2.1. Провести дослідження поведінки неоптимальної САК, синтезованої за схемою з від’ємним зворотним зв’язком за станом. Виконати перше дослідження для довільно вибраної , надрукувати графіки поведінки функцій  та , а також значення J.

4.2.2. Виконати декілька розрахунків, цілеспрямовано змінюючи значення матриці , прагнучи зменшити значення критерію якості керування J, що розраховується для кожного значення матриці  окремо. Надрукувати графіки поведінки функцій  та , а також значення J. Порівняти їх отриманими в п.4.2.1; вибрати , що відповідає мінімальному значенню J; зробити висновок про характер та ступінь впливу варіацій матриці  на поведінку САК, що розглядається.

4.2.3. Провести третє дослідження поведінки САК, синтезованої оптимальним способом за схемою з від’ємним зворотним зв’язком за станом. Провести розрахунок і надрукувати та J, порівняти їх з отриманими в п.4.2.2. Зробити висновок про якість роботи даної оптимальної САК у порівнянні з неоптимальною (п.4.2.1).

4.2.4. Провести дослідження САК, синтезованої за оптимальним законом у випадку, коли матриці  і , що використані в рівнянні Ріккаті (4.4) для синтезу оптимального керування  (позначимо їх умовно A^* і B^*), відрізняються від відповідних матриць  і , що використовуються в математичній моделі (1.4), (1.5). У решті досліджень повинні виконуватись умови  і . Провести розрахунок; надрукувати і J; порівняти їх з отриманими в п.4.2.3; зробити висновки.

4.2.5. Виконати декілька розрахунків у постановці п.4.2.4 з послідовним варіюванням елементами матриць  і , що використовуються в рівнянні Ріккаті (4.4); надрукувати і J, порівняти їх з отриманими в п.4.2.3; зробити висновки.

4.2.6. Виконати декілька розрахунків у постановці п.4.2.5 з послідовним варіюванням заданими в п.4.1.3 додатно визначеними матрицями  і ; надрукувати  і J; порівняти їх з отриманими в п.4.2.3; зробити висновки.

4.2.7. Оформити звіт до роботи 

4.3. Зміст звіту 

4.3.1. Записати з урахуванням заданих чисельних значень математичні співвідношення, що визначають поведінку неоптимальної САК, синтезованої за схемою з від’ємним зворотним зв’язком за станом; зобразити структурну схему даної САУ.

4.3.2. Представити листінги з вихідними даними та результатами виконання пп.4.2.2, 4.2.3.

4.3.3. Записати з урахуванням заданих чисельних значень математичні співвідношення, що визначають поведінку оптимальної САК, синтезованої за схемою з від’ємним зворотним зв’язком за станом; зобразити її структурну схему.

4.3.4. Представити листінги з вихідними даними та результатами виконання пп.4.2.1 - 4.2.6.

4.3.5. Представити висновки по роботі.

4.4. Теоретичні положення

Розглянемо задачу конструювання автоматичної системи оптимального керування для лінійного об’єкту та квадратичного критерію якості, яку називають задачею аналітичного конструювання регуляторів.

Нехай критерій якості має вигляд

де  і - симетричні вагові матриці розмірності (nxn) і (mxm).

Рівняння об’єкту має вигляд:

Потрібно знайти вектор керування, при якому функціонал (4.5) має мінімум, тобто .

Для розв’язку сформульованої задачі застосуємо варіаційні методи. Для цього утворимо допоміжний критерій якості  додаванням до (4.5) системи (4.6) із множником Лагранжа , який буде визначено пізніше:

Введемо функцію Лагранжа:

Перетворимо співвідношення (4.7):

Проінтегруємо останнє співвідношення по частинах:

З урахуванням (4.10) і (4.8) співвідношення (4.9) приймає вигляд

Знайдемо варіацію критерія (4.11), що відповідає варіації вектора керування  з урахуванням виникаючої варіації

Щоб вилучити вплив варіацій , викликаних варіаціями за керуванням  на варіації критерію dI, виберемо множник  таким чином, щоб коефіцієнти при  і  обернулися в нуль, тоді:

Зауважимо, що через діагональність . За аналогією з викладеним для  дістанемо вираз для керування:

де  - через діагональність.

Зауважимо, що отримано структурно-нелінійну систему (4.1), (4.13), (4.14), так як розв’язок (4.13) залежить від  , що визначається системою (4.6). Позбавимося від  в (4.13). Для цього покладемо:

Підставляючи (4.15) у (4.14), а (4.14) у (4.6), дістанемо:

Крім того, із (4.15) і (4.13) випливає:

Об’єднуючи (4.16) і (4.17), дістанемо:

Оскільки в (4.18)  може бути і ненульовим, поставимо вимогу, щоб вираз у квадратних дужках дорівнював нулю:

Співвідношення (4.19) - матричне рівняння Ріккаті. Його розв’язання здійснюється від t_k до t₀, тобто в зворотному часі.

З урахуванням (4.15) перепишемо (4.14):

- матричний коефіцієнт керування системи керування (4.5), (4.6), (4.19), (4.20), що розглядається.

Аналіз співвідношення (4.20) дозволяє зробити наступні висновки.

1. Закон керування (4.20) приводить до структурної схеми із зворотним від’ємним зв’язком, так як він ставить вектор керування в безпосередню залежність від вектора стану  .

2. Закон керування не враховує швидкості зміни керованої величини , так як не містить похідних або інтегралів від . Тобто він є “кінематичним”, а не “динамічним”.

3. Закон (4.20) навіть у випадку об’єкту та критерію з постійними параметрами містить матрицю K(t), що залежить від часу, і отже замкнена система керування являється системою зі змінними параметрами.

4. Основні труднощі задачі оптимізації - необхідність розв’язання нелінійного матричного рівняння Ріккаті (4.19).

Розв’язок задачі, що розглядається, для випадку, коли інтервал оптимізації  нескінченний, а не скінчений, як це було запропоновано раніше, має вигляд: 

де _уст.(t) - так званий усталений розв’язок рівняння Ріккаті (4.19) при граничній умові  : 

Приклад [2]. Синтезувати систему оптимального керування об’єктом

з критерієм вигляду 

Вводячи заміну змінних x₁=y,  , запишемо рівняння стану:

Матричне рівняння Ріккаті (4.19) приймає вигляд: 

Звідки, порівнюючи ліву та праву частини цієї рівності, дістанемо: 

Оптимальне керування відповідно до (4.20) буде мати вигляд:

_опт(t)=

В результаті розв’язування рівнянь Ріккаті на ЕОМ при a₀=a₁=a₂=1, r=1 отримані криві p₁₁, p₁₂, p₂₂ (рис.4.1). За характером розв’язування видно, що із збільшенням часу p₁₁, p₁₂, p₂₂ прямують до усталених значень. Для достатньо великих t диференціальні рівняння зводяться до алгебраїчних рівнянь: 

Для розглянутого прикладу: P₁₁(¥)=0,91; P₁₂(¥)=0,41; P₂₂(¥)=0,35.

Знайдемо умови, за яких матриця  коефіцієнтів підсилення в законі керування (4.20) не залежала від часу. Для цього необхідно, щоб розв’язок  (4.19) задовольняв умову  і щоб всі матриці в правій частині рівняння Ріккаті (4.19) не залежали від часу. У цьому випадку усталений розв’язок  являється розв’язком нелінійного алгебраїчного рівняння:

Рівняння Ріккаті (4.19) є матричним диференціальним нелінійним рівнянням. Аналітичне розв’язування рівнянь такого вигляду є досить важким. Тому на практиці застосовують чисельні методи розв’язання (інтегрування) цих рівнянь: прямий метод інтегрування, метод Калмана-Енглара, метод діагоналізації, метод Ньютона-Рафсона та інші.

Розглянемо так званий прямий метод інтегрування, що набув найбільшого поширення. Цей метод побудовано на представленні рівняння (4.19) у вигляді системи n² нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку (де n - порядок матриці ) та використанні будь-якого стандартного чисельного методу інтегрування рівнянь в зворотному часі, починаючи з моменту t_k. Найбільш простий метод такого інтегрування - метод Ейлера:

де dP(t)/dt заміняється правою частиною рівняння (4.19). При цьому диференціальне нелінійне рівняння (4.22) стає нелінійним алгебраїчним рівнянням, яке повинне розв’язуватись за допомогою ітераційних методів. Для організації обчислювального алгоритму необхідно ввести умову зупинення. Достоїнства методу полягають в простоті реалізації, низькому попиті пам’яті ЕОМ. Недоліки методу полягають у вимаганні малої величини Dt, що приводить до великої кількості кроків за часом та у порушенні симетрії матриці  із-за помилок обчислення та інше.

Слід зазначити, що при практичній реалізації алгоритмів оптимального керування часто є неможливим дістати оптимальні за точністю характеристики оптимізації. Це, частіше всього, обумовлено тим, що при побудові вихідної математичної моделі керованого процесу звичайно використовують наближені або апроксимовані моделі, які враховують основні домінуючі зв’язки і в той же час відрізняються від реальних.

В реальних умовах помилки алгоритмів оптимізації можуть зростати (особливо на великих інтервалах часу), що приводить до нестійкості алгоритмів оптимізації.

Явище нестійкості алгоритмів оптимізації пов’язане з умовами реалізації рівняння Ріккаті, розв’язок якого втрачає властивість симетричності. 

4.5. Контрольні питання 

1. Дати стислу характеристику задачі аналітичного конструювання регуляторів.

2. Який метод оптимізації використано для синтезу оптимального закону керування? Відмінні риси даного методу оптимізації.

3. Наведіть основні математичні співвідношення, які визначають алгоритм оптимального керування.

4. Сформулюйте основні труднощі, які виникають при розв’язанні задачі оптимального керування.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!