Лабораторна робота №3 на тему Дослідження алгоритму параметричної ідентифікації об’єктів керування, НТУУ КПІ

ЛАБОРАТОРНА  РОБОТА №3 

ДОСЛІДЖЕННЯ АЛГОРИТМУПАРАМЕТРИЧНОЇ ІДЕНТИФІКАЦІЇ

ОБ’ЄКТІВ КЕРУВАННЯ 

Мета лабораторної роботи - набути навички синтезу та дослідження алгоритму параметричної ідентифікації об’єктів керування. При підготовці до даної лабораторної роботи та в ході її виконання студент повинен пригадати та застосувати на практиці метод синтезу алгоритму параметричної ідентифікації. Крім того, необхідно оволодіти основними навиками роботи зі спеціалізованим програмним забезпеченням, розробленим в середовищі MATLAB по розв’язуванню задач параметричної ідентифікації. 

3.1. Завдання до лабораторної роботи 

3.1.1. Відкрити спеціалізовне програмне забезпечення в середовищі MATLAB.

3.1.2. Ознайомитися з теоретичними положеннями, що приведені далі.

3.1.3. Для математичної моделі вигляду 2 (співвідношення (1.3), лабораторна .робота № 1) задатися y₀, y₁, u(t), C, а також “істинними” значеннями  і , початковими значеннями параметрів  і  та кроком процедури ідентифікації l, величиною похибки процедури ідентифікації e та числом ітерацій n. Записати модель (1.3) у формі простору станів (1.4), (1.5). 

3.2. Порядок виконання роботи 

3.2.1. Відкрити спеціалізовне програмне забезпечення в середовищі MATLAB.

3.2.2. Задавшись “істинними” значеннями  і  параметрів a₀ і a₁, шляхом реалізації математичної моделі отримати вимірювання функції стану. Дані вимірювання використовуються для реалізації процедури ідентифікації невідомих параметрів a₀ і a₁.

3.2.3. Розв’язати задачу ідентифікації параметрів a₀, параметра a₁ по черзі і сумісно параметрів a₀ з a₁.

3.2.4. Для кожного із запропонованих у п.3.2.3 завдань, з варіюванням початковими значеннями , , а також величиною кроку процедури ідентифікації l, виконати ряд реалізацій процедури ідентифікації.

3.2.5. Надрукувати результати проведених досліджень.

3.2.6. Порівняти результати проведених досліджень. Зробити висновки про залежність точності результатів та швидкості збіжності і алгоритму ідентифікації від величин , , кроку l, а також від типу задачі ідентифікації, що розв’язується - почергова або сумісна.

3.3. Зміст звіту 

3.3.1. Записати алгоритм ідентифікації, основні розрахункові співвідношення.

3.3.2. Представити листінги з вихідними даними та результатами реалізації пп.3.2.3, 3.2.4.

3.3.3. Представити висновки по роботі. 

3.4. Теоретичні положення

3.4.1. Поняття ідентифікації систем керування

При побудові систем керування однією з найважливіших задач є розробка математичної моделі об’єкту керування, що розглядається.

Побудова математичної моделі зводиться до наступних етапів:

- Вибір структури і параметрів моделі виходячи з фізичних міркувань;

- Ідентифікація параметрів за даними, що є в наявності (буде означено нижче);

- Перевірка та підтвердження моделі (діагностична перевірка);

- Використання моделі за її призначенням.

Модель, що прийнята на першому етапі, як правило, відрізняється від реального об’єкту, що значно зменшує або зводить нанівець ефективність системи керування, яку розроблено. У зв’язку з цим прийнята модель корегується на другому етапі.

Означення. Побудова чи корегування моделі на основі спостережень, отриманих в умовах функціонування об’єкту за його вхідними та вихідними змінними, називається ідентифікацією [9,10].

Математична постановка задачі ідентифікації має наступний вигляд.

Відомі значення входу  і вимірюваного виходу  об’єкту, відома структура математичної моделі і рівняння вимірювання:

Припускаємо, що значення матриці параметрів  невідоме, параметри  також недоступні прямому вимірюванню. Необхідно знайти таке значення матриці невідомих коефіцієнтів , при якому відхилення виходу моделі  від вимірюваного виходу об’єкту  було б мінімальним, тобто задовольнявся б критерій якості вигляду [9,10,11]:

Зауважимо, що задачу поставлену як оптимізаційну, можна розв’язувати на основі методів оптимального керування. Крім того, ця задача є нелінійною за своєю структурою, так як необхідно знайти  за параметрами , матрицю яких визначено лише в моделі процесу. Дана нелінійність визначає той факт, що задачі ідентифікації є ітераційними.

Розрізняють кілька схем ідентифікації:

- ідентифікація за помилкою виходу (рис.3.1а);

- ідентифікація за помилкою входу (рис.3.1.б).

Рис.3.1. Схеми ідентифікації 

Найбільше поширення набула перша схема. Розглянемо її докладніше. 

3.4.2. Ідентифікація параметрів на основі методу функції чутливості.

Розглянемо метод ідентифікації параметрів математичної моделі вигляду:

за відомими вимірюваннями  функції стану  в окремі (дискретні) моменти часу t_j, . У цьому випадку рівняння спостереження має вигляд:

а критерій якості ідентифікації (3.2) дорівнює:

Необхідно знайти матрицю невідомих параметрів , яка мінімізувала б критерій (3.3) з урахуванням обмеження вигляду (3.1).

Для розв’язання поставленої оптимізаційної задачі знайдемо необхідні умови мінімуму функціоналу (3.3):

де  - вектор-рядок розмірності r; a₁,...,a_r - компоненти матриці коефіцієнтів  (далі розглядаємо  як вектор);

- функція чутливості - матриця розмірності nxr, де x₁,x₂,...,x_n - компоненти вектора станів.

Для того, щоб знайти матричну функцію чутливості , продиференціюємо співвідношення (3.1) за вектором :

Роблячи заміну , перепишемо співвідношення (3.5):

Базуючись на співвідношеннях (3.4) і (3.5), побудуємо алгоритм визначення вектора невідомих параметрів . Перш за все зауважимо, що алгоритм буде ітераційним через нелінійність співвідношення (3.4) відносно . Матрична функція параметрів  в явному вигляді у співвідношенні (3.4) відсутня. Із співвідношення (3.1) видно, що можна записати  як . Перепишемо співвідношення (3.4) з урахуванням наведеного:

Виконаємо лінеарізацію нелінійного співвідношення (3.7) відносно . Нехай відомо наближене значення , що дорівнює . Розкладемо нелінійну функцію  у ряд Тейлора в околі  з точністю до членів другого порядку малості:

Щоб обчислити  в явному вигляді, підставимо співвідношення (3.8) у (3.7), записане відносно :

Звідки виходить:

Таким чином, алгоритм обчислення вектора параметрів  складається з наступних етапів:

а) Задаємося деяким початковим наближенням (тут i=0);

б) Розв’язуємо співвідношення (3.1) і (3.6), обчислюючи та

в) Розв’язуємо співвідношення (3.10);

г) Покладаємо i=i+1;

д) Повторюємо етапи б), в), г) до тих пір, поки не буде досягнуто необхідної точності.

Як критерій закінчення ітераційного процесу можна використати одну з нерівностей: 

або їх сукупність.

Приклад. Нехай задано процес, який описується скалярним лінійним диференціальним рівнянням [12]:

Крім того, маємо в точках:

t_j= 2, 3, 4, 5 (j=1, 2, 3, 4)

додаткові дані -“виміри”: 

Ставиться задача. Визначити невідомий параметр “а” таким чином, щоб функціонал:

досягав мінімума. З урахуванням того, що в співвідношенні (3.13) , дістанемо:.

У даному випадку матриця  перетвориться на скаляр w і для нього отримуємо вираз:

Лінеаризуючи функціонал (3.13) та використовуючи наведену методику, дістанемо для обчислення шуканого  лінійне рівняння вигляду:

Реалізуючи запропонований алгоритм ідентифікації, дістанемо шуканий невідомий параметр “а”.

Зауважимо, що задача (3.11), (3.12) має аналітичний розв’язок:

а дані про розв’язок y^*(t_j), що використовується в прикладі, точно відповідають значенню:

a=-1 при b=2. 

3.5. Контрольні питання

1. Перелічити та стисло охарактеризувати етапи побудови математичної моделі.

2. Дати означення ідентифікації.

3. Навести математичну постановку задачі ідентифікації.

4. Перелічити та стисло охарактеризувати схеми ідентифікації.

5. Навести алгоритм ідентифікації параметрів на основі функцій чутливості.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!