Лабораторна робота №2 на тему Дослідження властивостей керованості, спостережуваності та стійкості об’єктів керування, НТУУ КПІ

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2 

ДОСЛІДЖЕННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ КЕРОВАНОСТІ,

СПОСТЕРЕЖУВАНОСТІ ТА СТІЙКОСТІ ОБ’ЄКТІВ КЕРУВАННЯ 

Мета лабораторної роботи - набути навиків аналізу за допомогою ЕОМ властивостей керованості, спостережуваності та стійкості об’єктів керування, представлених в стандартній формі простору станів.

Робота складається з двох етапів. На першому етапі властивості керованості, спостережуваності та стійкості досліджуються прямими методами, тобто шляхом безпосередньої реалізації моделей систем, які досліджуються, на ЕОМ та аналізу їх поведінки. Для проведення даного дослідження необхідно скористатися можливостями спеціалізованого програмного забезпечення розробленого в середовищі MATLAB призначеного для аналізу і синтезу математичних моделей об’єктів керування, представлених в стандартній формі простору станів для реалізації математичних моделей, представлених у формі простору станів (лабораторна робота № 1). На другому етапі необхідно, застосовуючи непрямі методи аналізу, підтвердити встановлені раніше властивості керованості, спостережуваності та стійкості. На етапі підготовки до лабораторної роботи також необхідно користуючись непрямими методами, вручну, для заданих систем встановити властивості, що розглядаються. 

2.1. Завдання до лабораторної роботи 

2.1.1. Ознайомитися з теоретичними положеннями, що приведені далі.

2.1.2. На етапі підготовки до лабораторної роботи для моделі вигляду 2 (співвідношення (1.3) із лабораторної роботи № 1) задатись y₀, y₁, u(t), а також a₀, a₁, c. Представити модель у формі простору станів (1.4), (1.5). Шляхом ручної реалізації непрямих методів встановити властивості керованості, спостережуваності та стійкості заданої системи.

2.1.3. Ввести коефіцієнти, необхідні для визначення системи у формі простору станів (1.4), (1.5) в спеціалізоване програмне забезпечення. 

2.2. Порядок виконання роботи 

2.2.1. Увімкнути ПЕОМ, запустити спеціалізоване програмне забезпечення.

2.2.2. Відкрити файл вихідних даних, набрати дані для дослідження заданої системи (відповідно до п.2.1.5).

2.2.3. Шляхом прямого моделювання, скориставшись можливостями моделювання спеціалізоване програмне забезпечення (лабораторна робота № 1), встановити властивості стійкості. При цьому покласти U(t)º0, крім того, система має бути спостережуваною.

2.2.4. Для стійкого процесу (у випадку нестійкості вихідної системи скорегувати вихідні дані) шляхом прямого моделювання дослідити властивості керованості. З цією метою дослідити реакцію моделі (стан ) на значення керуючого впливу , що послідовно змінюється. Якщо реакція відсутня - система некерована.

2.2.5. Шляхом безпосереднього дослідження системи, що моделюється, з варіюванням структурою та значеннями коефіцієнтів матриці співвідношення (1.5) (лаб.робота № 1), зробити висновок про спостережуваність системи керування, яка описується системою (1.4), (1.5) (лаб. робота № 1).

2.2.6. Дослідити непрямими методами властивості керованості, спостережуваності та стійкості заданої системи. Для цього необхідно скористатися спеціалізованим програмним забезпеченням (лаб.робота № 2).

2.2.7. Надрукувати результати проведених досліджень.

2.2.8. Порівняти результати досліджень, що отримані шляхом ручного розрахунку за алгоритмами непрямих методів, прямого моделювання та застосування непрямих методів машинного дослідження властивостей керованості, спостережуваності заданої системи керування, зробити висновки про переваги та недоліки розглянутих методів. 

2.3. Зміст звіту 

2.3.1. Записати задану систему, а також результати ручного розрахунку за алгоритмами непрямих методів дослідження властивостей, що розглядаються.

2.3.2. Представити лістинги з вихідними даними та результатами виконання пп.2.2.3 - 2.2.7.

2.3.3. Представити висновки по роботі. 

2.4. Теоретичні положення 

2.4.1. Стійкість систем автоматичного керування

2.4.1.1. Основні поняття про стійкість

Керований процес завжди підлягає дії зовнішніх і внутрішніх збурюючих сил, які можуть вивести його з рівноваги.

Розглянемо модель керованого процесу у формі простору станів.

Тут у якості зовнішніх збурюючих сил може виступати керування , а також невраховані збурення. Внутрішніми збуреннями можуть виступати зміни параметрів , а також початкової умови .

Означення. Процес вважається стійким, якщо він протистоїть дії збурюючих сил, а виведений зі стану рівноваги - повертається знову до нього.

Означення. Процес вважається стійким, якщо малі зміни керуючого впливу, неврахованих збурень, початкових умов або параметрів не приведуть до значних відхилень вихідного сигналу.

Фізично поняття стійкості відносять до систем, які передають в оточуюче середовище тільки кінцеву кількість енергії.

Оскільки керовані процеси в сучасній теорії автоматичного керування описуються диференціальними рівняннями, то аналіз стійкості керованих процесів може бути зведеним до математичного аналізу властивостей розв’язку таких рівнянь [4].

Приклад: Визначити, чи стійкий запропонований процес до варіацій параметра k:; 

Для трьох різних k отримаємо наступні розв’язки:

1. k=1 : .

При t®¥,y(t) необмежено зростає.

2. k=4 : .

При t®¥, y(t) необмежено зростає.

3. k=-2 : .

Для будь-яких t, y(t) - обмежений.

Продовжуючи дослідження розв’язку аналогічним чином, дістанемо висновку, що при k < 1 система стійка.

У даному випадку застосовано так званий “безпосередній” спосіб дослідження стійкості, оснований на аналізі розв’язків вихідних співвідношень (або дослідження стійкості шляхом прямого моделювання). Даний спосіб є безвідмовним при розв’язуванні будь-якої із задач аналізу систем автоматичного керування, але надто неекономічний.

На практиці застосовують непрямі методи аналізу стійкості, які складають основу так званої теорії стійкості.

Основні результати теорії стійкості отримані А.М.Ляпуновим (1857-1918). Розглянемо ряд положень цієї теорії.

Нехай поведінка процесу описується наступним рівнянням [5]:

де  - стан;  - функція правих частин, що залежить від . Нехай множина розв’язків (2.1) визначається множиною різних  (тобто  - збурення).

Твердження: Щоб дослідити систему (2.1) на стійкість, необхідно проаналізувати її розв’язок (t₀, , t), отриманий для початкових умов  на інтервалі часу t₀£t<¥.

Дійсно, співвідношення (2.1) являє собою модель вільного руху системи, що визначається незмінними властивостями фундаментальної матриці  та початковими умовами .

Нехай розв’язок співвідношення (2.1) (t₀, , t) - незбурений рух. Тоді, якщо при незначній зміні  розв’язок системи (2.1) став іншим, тобто , тоді кажуть про збурений рух.

Означення: Розв’язок співвідношення (2.1)  називають стійким рухом у значенні Ляпунова, якщо для кожного e>0  можна знайти таке d>0, що для всіх  на проміжку t₀£t<¥ справедлива нерівність

Усілякий рух, який не являється стійким, називається нестійким.

Геометрично наведене означення стійкості за Ляпуновим означає, що скільки завгодно вузький e-околиці розв’язку  містить всі розв’язки задачі (2.1), які в початковий момент часу t₀=0 відповідали  і відстояли від  не більше чим на  d (рис. 2.1). 

Рис.2.1. До ілюстрації поняття стійкості 

Зазначимо, що необхідно вести мову лише про стійкість певного розв’язку , а не всіх розв’язків рівняння (2.1).

Для того, щоб ввести ще ряд означень, умовно спроектуємо траєкторію  на вісь координат  (рис.2.2). Умовно покладемо, що точка  - початок координат. Тоді S(r) - область, яка об’єднує всі можливі розв’язки (2.1) для збуреного руху .  

Рис.2.2. До ілюстрації поняття стійкості

Положення рівноваги системи (2.1) збігається з початком координат.

Означення: Положення рівноваги стійке, якщо для будь-якого e<r   існує таке r£e, що траєкторія , що починається в точці  області S(r), увесь час знаходиться в області S(e). Інакше кажучи, траєкторія , що починається всередині області S(r), ніколи не досягає кола H(e).

Означення: Положення рівноваги асимптотично стійке, якщо воно стійке і, крім того, існує таке e<r, що кожна траєкторія , що починається в області S(r) або S(e), прямує до початку координат, коли час необмежено зростає.

Означення: Положення рівноваги нестійке, якщо для деякого (хоч би одного) e<r і будь-якого r, яким би малим r не було обране, завжди знайдеться точка , що траєкторія , яка виходить з цієї точки,  за кінцевий час досягає сфери S(r). 

2.4.1.2. Методи аналізу стійкості.

Розрізняють дві групи методів аналізу стійкості: прямі та непрямі. Прямі методи основані на аналізі розв’язку вихідних співвідношень моделі (аналіз траєкторій руху). Вони відрізняються універсальністю, але є низькоекономічними. Непрямі методи дозволяють провести аналіз стійкості, не удаючись до розв’язання вихідних модельних співвідношень.

Зупинимося на розгляді непрямих методів, виділивши три групи цих методів.

1. Загальний непрямий підхід до аналізу стійкості.

2. Непрямі підходи до аналізу стійкості лінійних систем.

3.  Непрямий аналіз нелінійних процесів по лінеаризованих моделях. 

2.4.1.2.1. Загальний непрямий підхід до аналізу стійкості  побудовано на простій ідеї, відомій з механіки, про те, що в положенні рівноваги система має мінімум потенціальної енергії. Відомо, що мінімум потенціальної енергії завжди можна вважати рівним нулю, а в будь-якому околі положення рівноваги потенціальна енергія - додатня.

Застосування функцій, додатніх усюди за винятком положення рівноваги, до аналізу стійкості лежить в основі розглядуваного підхода, який розроблено А.М.Ляпуновим.

Розглянемо систему рівнянь другого порядку:

Припустимо, що положенням рівноваги, яке необхідно дослідити, є початок координат, тобто виконуються умови f₁(0,0)=f₂(0,0)=0. Припустимо також, що відома деяка функція змінних стану V(x₁,x₂), яка додатна всюди за винятком початку координат, де вона дорівнює нулю. Цю функцію показано на рис.2.3.

Проекцію перетинів цієї функції площинами V=const=k показано на рис.2.4. Якщо для будь-якої початкової точки  функція  така, що її похідна , то траєкторія спрямована в сторону зменшення V. Якщо усюди, як це показано на рис.2.4, , то траєкторія прямує до початку координат, який є стійким, у даному випадку асимптотично. Якщо виявиться, що поблизу початку координат , V=const, і, отже, початок координат  є просто стійким.

Таким чином, стійкість залежить від властивостей похідної функції V як функції часу [6]. Знайдемо повну похідну функції V за часом, тобто.

Враховуючи систему (2.2), маємо:.

Функції  і  - відомі, тому задача знаходження похідної  може бути розв’язана аналітично без пошуку розв’язку співвідношення (2.1). За знаком даної похідної можна зробити висновок про стійкість системи (2.1) без її безпосереднього розв’язування.

Розповсюджуючи останнє співвідношення на систему n-го порядку, отримаємо:

Нехай функція  визначена у просторі змінних стану (x₁,...,x_n), неперервна в деякій області G цього простору, яка включає початок координат, де вона дорівнює нулю, а також має в цій області неперервні частинні похідні. Крім того, нехай функція  підлягає класифікації, що наведена на рис.2.5.

Рис.2.5. Класифікація функції 

З урахуванням сказаного введемо ряд означень.

Означення: Якщо для системи (2.1) в області визначення  існує знаковизначена функція , похідна  якої є знакопостійною функцією із знаком, що є протилежним знаку функції , то рівноважний стан системи є стійким.

Означення: Якщо похідна  є знаковизначеною функцією, протилежною за знаком знаковизначеній , то рівноважний стан системи -асимптотично стійкий.

Сформульовані означення - достатні умови стійкості.

Найбільше розповсюджений підхід до дослідження стійкості, за якого >0, а  досліджується на знак <0 або £0 (тобто на від’ємну визначеність або знаковід’ємність).

За функцію >0 частіше всього обирають функції Ляпунова у вигляді квадратичних форм. Вони можуть бути представлені у вигляді:

або в матричній формі

 - симетрична матриця.

Квадратична форма, представлена у вигляді (2.5), називається додатно визначеною, від’ємно визначеною, знакопозитивною або знаковід’ємною, якщо відповідно .

Вкажемо ознаки, за якими можна перевірити, яку із наведених вище властивостей має квадратична форма, що вивчається, або відповідна до неї матриця . Квадратична форма V або матриця  із (2.5) є додатно визначеною, від’ємно визначеною, знакопозитивною, знаковід’ємною, невизначеною або тотожно рівною нулю в тому і тільки у тому випадку, якщо власні значення l_j матриці , які для симетричної матриці дійсні, відповідно всі додатні, всі від’ємні, всі невід’ємні, всі недодатні або всі дорівнюють нулю.

Власні значення l_j (j=1,2,...,n) матриці  - це корені характеристичного рівняння [7]:,

де  - одинична матриця,

Приклад. Розглянемо квадратичну форму:

або в матричній формі:.

Матриця:.

Складемо її характеристичне рівняння:.

Розкриваючи визначник, отримуємо:.

Звідки знаходимо корені характеристичного рівняння у вигляді:.

Усі корені - додатні дійсні числа, тому матриця  і відповідна до неї квадратична форма додатно визначені. 

Приклад. Нехай квадратична форма має вигляд:,

або в матричній формі: 

Характеристичне рівняння таке:.

Розкриваючи визначник, отримаємо (l-1)l(l-2)=0, звідси: l₁=1; l₂=0; l₃=2. Серед коренів є один нульовий, отже, всі корені невід’ємні і квадратична форма, що розглядується, є знакопозитивною.

Сформулюємо ще одну ознаку додатної визначеності квадратичної форми, відомої як критерій Сільвестра.

Для того, щоб квадратична форма (2.5) була додатно визначеною, необхідно і достатньо, щоб кожний із кутових мінорів матриці 

був додатнім.

Приклад. Розглянемо квадратичну форму:.

Складемо кутові мінори матриці :

Таким чином усі мінори є додатніми, отже квадратична форма визначена додатно.

2.4.1.2.2. Непрямі підходи до аналізу стійкості лінійних систем. Розглянемо лінійну систему, яка описується диференціальними рівняннями:

В матричній формі запишемо:

Наведемо два непрямих підходи до аналізу стійкості лінійних систем:

1. Аналіз стійкості на основі функцій Ляпунова.

2. Аналіз стійкості на основі дослідження коренів характеристичного рівняння.

Аналіз стійкості лінійних систем на основі функцій Ляпунова. Для того, щоб проаналізувати стійкість, введемо функцію Ляпунова у вигляді додатно визначеної квадратичної форми . Знайдемо похідну цієї функції з урахуванням рівняння (2.8) [8]:

Введемо позначення:

- це так зване рівняння Ляпунова. Якщо матриця  - додатно визначеною, то , коли V>0, тобто відбувається спадання функції V, а отож траєкторія системи прямує до початку координат. Отже, якщо одночасно виконуються нерівності V>0 і  в деякій області простору змінних (x₁,...x_n), що включає початок координат, то положення рівноваги на початку координат - асимтотично стійке.

Доведено так звану теорему Ляпунова про асимптотичну стійкість. Сформулюємо цю теорему.

Теорема. Для того, щоб розв’язок лінійної системи (2.8) був асимптотично стійким, необхідно і достатньо, щоб для довільної додатно визначеної матриці  із рівняння (2.10) існувала додатно визначена матриця , яка задовольняє цьому рівнянню.

Зазначимо, що обидві матриці  і  є симетричними. Це виходить з того, що якщо матриця  є симетричною, тобто , 

і, отже, матриця  є симетричною. Справедливе і зворотнє твердження.

Приклад. Використовуючи теорему Ляпунова, проаналізуємо стійкість системи, що описується системою рівнянь: 

У теоремі фігурує додатно визначена матриця Q. Оберемо її як одиничну. Тоді рівняння (2.10) для даної системи приймає вигляд: 

Оскільки матриця  симетрична, то матриця  також симетрична, тобто p₁₂=p₂₁. Складемо із записаного матричного рівняння три рівняння з трьома невідомими для визначення p₁₁, p₁₂, p₂₂. Для цього представимо записане матричне рівняння у вигляді: 

Звідки дістанемо: 

Розв’язуючи цю систему, отримаємо: p₁₁ =0.5; p₁₂=p₂₁=0; p₂₂=0.5.

Отримана матриця  є додатно визначеною, так як її власні числа l₁=l₂=0.5 - додатні. Отже, вихідна система, що розглядається, відповідно до теореми Ляпунова являється асимптотично стійкою.

Аналіз стійкості лінійних систем на основі дослідження коренів характеристичного рівняння. Корені характеристичного рівняння, що відповідає системі (2.8), можуть бути визначені із співвідношення: 

де - одинична матриця.

Розкриваючи цей визначник, дістанемо:

Нехай для визначеності всі корені рівняння (2.11) різні, тоді розв’язок рівняння (2.8): 

де l₁,...,l_n - корені характеристичного рівняння; C₁,...,C_n - сталі інтегрування, що залежать від початкових умов.

Нехай l_і - дійсний корінь, тоді якщо l_і>0, то  при t®¥ прямує до нескінченності, тобто система - нестійка. Якщо l_і<0, то  при t®¥    згасає [8]. Нехай один з коренів l _r - комплексний, тоді існує спряжений з ним : 

у цьому випадку: 

Тут, якщо a>0, то мають місце коливання з чаcтотою b і наростаючою амплітудою - рух нестійкий; якщо a=0, то дістанемо незгасаючі коливання і система - на межі стійкості; якщо a<0, то амплітуда коливань з бігом часу зменшується - коливання згасають.

Таким чином, якщо всі корені рівняння (2.11) мають від’ємні дійсні частини (рис.2.6), то розв’язок системи (2.8) - асимптотично стійкий.

Рис.2.6. До ілюстрації поняття стійкості 

Якщо серед коренів рівняння (2.11) є хоча б один з додатною дійсною частиною, то положення рівноваги системи (2.8) - нестійке.

Якщо рівняння (2.11) серед комплексно-спряжених коренів не має коренів з додатною дійсною частиною, але є частина коренів з нульовою дійсною частиною, то положення рівноваги системи (2.8) буде стійким (неасимптотично).

Таким чином, питання про стійкість розв’язку системи (2.8) зводиться до дослідження коренів характеристичного рівняння (2.11). Однак визначення коренів характеристичного рівняння високих порядків завдає великих труднощів, так як корені рівнянь вище четвертого порядку не виражаються аналітично через коефіцієнти рівнянь.

Приклад. Розглянемо приклад, приведений на початку теми. Тут характеристичне рівняння має вигляд   

Ці два корені мають від’ємну дійсну частину тоді і тільки тоді, коли k<1.

2.4.1.2.3. Непрямий аналіз нелінійних процесів за лінеаризованими моделями. Розглянемо застосування методів аналізу стійкості, розроблених для лінійних процесів стосовно до аналізу нелінійних процесів.

Нехай нелінійний процес має вигляд:.

Дана система може бути розкладена в степеневий ряд, який має властивість збіжності в деякому околі початку координат. Перепишемо цю систему, представивши її у вигляді:

називається системою першого наближення, а R_i(x₁,x₂,...x_n) - залишкові члени розкладу вище першого порядку.

Таким чином, у деякому околі початку координат поряд з вихідною можна розглядувати систему першого наближення, яка є лінійною.

У багатьох випадках стійкості системи (2.13) виявляється можливим судити про стійкість нелінійної системи (2.12).

А.М.Ляпунов для цього випадку довів наступні теореми.

Теорема 1. Якщо дійсні частини всіх коренів характеристичного рівняння системи першого наближення (2.13) від’ємні, то розв’язок системи (2.12) є асимптотично стійким, незалежно від членів розкладу вище першого порядку.

Теорема 2. Якщо серед коренів характристичного рівняння системи першого наближення є хоча б один з додатною дійсною частиною, то розв’язок системи (2.12) є нестійким, незалежно від членів розкладу вище першого порядку.

Теорема 3. Якщо серед коренів характеристичного рівняння першого наближення є нульовий, то у цьому випадку для судження про стійкість  розв’язку системи (2.12) необхідно враховувати члени вище першого порядку.

Розглянемо застосування цих теорем на прикладі.

Приклад.  Нехай дано систему: 

Положення рівноваги системи відповідає початку координат, при цьому система першого наближення прийме вигляд: 

Характеристичне рівняння: 

Воно має корені l₁=l₂=0. У даному випадку про стійкість вихідної системи, досліджуючи перше наближення, нічого сказати неможна, необхідно враховувати члени розкладу вище першого порядку. Зазначимо, що у даному випадку розв’язок системи першого наближення є нестійким, так як x₂=x₂₀ і x₁=x₂₀t+x₁₀, але в той же час нелінійна вихідна система є асимптотично стійкою. Дійсно, введемо функцію Ляпунова:.

Продиференціюємо цю функцію з урахуванням вихідної системи: 

Похідна функції Ляпунова є знаковід’ємною. Однак, якщо x₁=0, то через вихідну систему x₂=0 і навпаки. Отже, всюди, де проходять траєкторії вихідної системи, похідна  - від’ємно визначена, а  - додатно визначена. Звідси виходить, що початок координат вихідної системи є асимптотично стійким. 

2.4.2. Керованість та спостережуваність систем автоматичного керування

Представлення математичної моделі об’єкту в просторі станів крім зручності її реалізації на ЕОМ має ще одну перевагу - дозволяє виявити найважливіші властивості об’єкту - пристосованість (придатність) до керування і спостереження, що визначаються відповідними поняттями керованості і спостережуваності.

Поняття повної керованості та дуальне до нього поняття повної спостережуваності були вперше введені Р.Калманом у 1960 році. За означенням автора, перша з цих властивостей означає, що за допомогою обраного належним чином керування з будь-якого початкового стану систему можна перевести в будь-який бажаний кінцевий стан. Друга стверджує, що за спостереженнями (зовнішніх) вихідних величин у поточний момент часу завжди можна визначити початковий стан системи. Наявність цих двох властивостей необхідна для побудови систем керування [1-3].

Керованість. Нехай задано динамічну систему і для неї вказано клас припустимих керувань. Кожне з цих керувань визначає конкретний процес із заданим початковим станом системи. Якщо систему можна перевести із будь-якого заданого початкового стану в будь-який бажаний кінцевий стан, обираючи належним чином закон керування, то система називається цілком керованою, а сама властивість системи називається керованістю. Розглянемо ряд підходів до керованості.

Означення. Нехай динамічна система описується звичайним диференціальним рівнянням у загальному випадку: 

Вона є керованою, якщо для будь-якої пари точок  із Rⁿ  можна вказати припустиме керування  таке, що відповідний йому розв’язок задачі: 

задовольняє умову  в будь-який момент часу t=t₁. 

Мають місце наступні необхідні та достатні умови керованості.

1. У випадку лінійної нестаціонарної системи вигляду: 

необхідні та достатні умови повної керованості полягають у тому, щоб ранг матриці: 

дорівнював n. Припустимими керуваннями при цьому вважаються кусково-неперервні вектор-функції . Тут  - фундаментальна матриця (матриця переходу) розв’язків однорідного рівняння:.

Для нестаціонарних систем вона будується наступним чином: 

де  - визначено як 

Для xⁱ(t); (i=1,...,n) - n - лінійне. 

2. Якщо вихідна система є стаціонарною, тобто вона має вигляд: 

необхідні та достатні умови повної керованості цієї системи полягають у тому, щоб ранг матриці: 

повинен бути рівним n. Ця умова легко перевіряється в кожному конкретному випадку, так як її виражено безпосередньо через матриці  і рівняння стану системи і не потребує знаходження його розв’язку або коренів характеристичного рівняння матриці  .

Приклад. Визначити, чи є лінійною стаціонарна система: 

повністю керованою.

Для даної системи 

Матриця  має розмірність 2´2 і n=2. У цьому випадку формула, за якою визначається керованість, прийме вигляд:.

Визначник цієї матриці:, що відповідає рангу матриці , меншому ніж 2. А тому система, що розглядається, є некерованою.

Керованість за виходом. Розглянемо динамічну систему, що описується одночасно рівняннями стану і вимірювання:

На практиці представляє інтерес керованість вихідного вектора . Це поняття пов’язане з можливістю переводу виходу системи із стану  в стан (п - початковий, 1 - поточний), коли вихід задається співвідношенням (2.15).

Система, що описується рівняннями (2.14), (2.15), являється керованою за виходом, якщо стан  може бути переведений в будь-яке , за кінцевий проміжок часу (t_П, t₁) при застосуванні до системи кусково-безперервного вектора . Існує критерій керованості за виходом наступного вигляду:

Матриця 

має мати ранг r, де r - розмірність вектора Y(t).

Спостережуваність. Поняття спостережуваності доповнює поняття керованості та також має велике значення для вивчення складних динамічних систем. Якщо керованість потребує, щоб кожний стан системи був чутливим до впливу вхідного сигналу, то спостережуваність потребує, щоб кожний стан системи діяв на вихідний сигнал, що вимірюється.

Означення. Система є спостережуваною, якщо всі її стани можна безпосередньо або непрямо визначити за вихідним вектором системи.

Означення. Якщо визначений стан не впливає на вихідний вектор, система є неспостережуваною.

Означення. Нехай треба відновити початковий стан X(t_н) системи:

за знайденою в результаті спостереження вектор-функцією  за період t_н<t<t₁. Якщо ця задача має розв’язок, то система (2.16) називається спостережуваною, а можливість відновлення X(t_н) за заданою вектор-функцією  називається спостережуваністю.

Означення. Нелінійний процес 

називається цілком спостережуваним, якщо для кожного обмеженого вимірюваного вхідного сигналу  і для будь-яких двох розв’язків  з різними початковими станами вихідні сигнали  являються різними.

Необхідні та достатні умови спостережуваності виводяться за аналогією з умовами керованості.

1. Лінійна нестаціонарна система:

є спостережуваною тоді і тільки тоді, коли ранг матриці:

дорівнює n. Тут  - фундаментальна матриця системи (2.17).

2. Якщо система (2.17)  є стаціонарною, то  і із співвідно-шення (2.18) можна отримати необхідні та достатні умови повної спостережуваності системи (2.17). Система (2.17) є спостережуваною тоді і тільки тоді, коли ранг матриці дорівнює n.

Приклад. Нехай система має вигляд:

Чи є вона спостережуваною?

 = 0+1 = 1 ¹ 0.

Система спостережувана. 

2.5. Контрольні питання 

1. Дати означення стійкості.

2. Перелічити і дати стислу характеристику методів аналізу стійкості.

3. Викласти суть одного з методів аналізу стійкості.

4. Дати означення функції Ляпунова.

5. Записати рівняння Ляпунова для визначення стійкості лінійних систем, сформулювати і довести теорему Ляпунова про асимптотичну стійкість.

6. Сформулювати теореми Ляпунова про аналіз стійкості нелінійних процесів за лінеаризованими моделями.

7. Дати означення керованості і спостережуваності систем.

8. Сформулювати умови керованості динамічних систем.

9. Визначити поняття керованості за виходом.

10. Сформулювати умови спостережуваності динамічних систем.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!