Лабораторна робота №1 на тему Дослідження поведінки математичних моделей об’єктів керування, НТУУ КПІ

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №1 

ДОСЛІДЖЕННЯ ПОВЕДІНКИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ОБ’ЄКТІВ КЕРУВАННЯ 

Мета лабораторної роботи - набути навиків вивчення поведінки об’єктів керування шляхом дослідження математичних моделей вказаних об’єктів, представлених в стандартній формі простору станів на ЕОМ.

При підготовці до лабораторної роботи, а також у процесі її виконання студент повинен пригадати та використати на практиці методи аналітичного розв’язку звичайних диференціальних рівнянь, що описують поведінку об’єкту керування, порядок представлення цих рівнянь та рівнянь вимірювання в стандартній формі простору станів, а також дослідити поведінку математичних моделей об’єктів керування за допомогою програмного забезпечення розробленого в середовищі MATLAB призначеного для аналізу і синтезу математичних моделей об’єктів керування, представлених в стандартній формі простору станів. 

1.1. Завдання до лабораторної роботи

1.1.1 Відкрити спеціалізовне програмне забезпечення в середовищі MATLAB.

1.1.2. Ознайомитися з теоретичними положеннями, наведеними далі. За допомогою викладача визначитися з об’єктами керування, що будуть досліджені протягом всього циклу лабораторних робіт. Повний перелік об’єктів  керування,  що рекомендовані для  дослідження, приведений у Додатку 1.

1.1.3. На першому етапі лабораторної роботи необхідно виконати дослідження поведінки обраного на п.п.1.1.2 об’єкту керування, математична модель якого описується звичайним диференціальним рівнянням першого порядку (далі модель 1):

де x(0)=x₀ ; функція правих частин f_i(t),   має вигляд

де d(×) - дельта функція; f₅(t)=f_i(t)+aw(t), де i= а w(t) - випадковий адитивний процес з характеристиками E[w(t)]=0, E[w(t)w(t)]=qd(t-t). Крім того, x₀, t>0, t³0; a,b,c,d,q - відомі.

В методичному плані ця модель цікава тим, що для правих частин вигляду f₁(t)¸f₄(t) рівняння (1.1) має аналітичний розв’язок.

З урахуванням викладеного, необхідно задатися значеннями x₀, t_max (максимальне значення інтервалу часу, що розглядається), a₀, а також коефіцієнтами правої частини рівняння (1.1) f_i(t), i= , враховуючи наступну вимогу. Необхідно провести дослідження моделі (1.1) двічі: перше - для однієї з правих частин серед f₁(t)¸f₄(t), друге - для f₅(t). Причому, доданок f_i(t) у f₅(t) - з першого дослідження.

1.1.4. Виконати аналітичне розв’язання наведеного рівняння, намалювати графіки x(t) і u(t).

1.1.5. Записати значення коефіцієнтів лівої та правої частин вихідного диференціального рівняння, а також значення початкових умов і максимального часу у відповідності з вимогами до формату введення ППМ АСПС.

1.1.6. Записати співвідношення вигляду (модель 2):

де y(0)=y₀, dy/dt(0)=y₁, u(t)=const у формі простору станів:

1.1.7. Вибрати необхідні коефіцієнти та записати їх у відповідності з вимогами до формату введення спеціалізованого програмного забезпечення.

Прийнято дві форми задавання матриці спостереження :

а) Векторне спостереження. При цьому n=2 (розмірність вектор-стовпця станів , відповідно, ширина матриці ), l=2 (l - розмірність вектор-стовпця спостережень ), а матриця  задається наступним чином:

якщо спостережуються компоненти x₁  та x₁ вектора станів;

якщо спостережується x₁ ;

якщо спостережується x₂ ;                   

б) Скалярне спостереження (n=2, l=1). При цьому  розглядається у вигляді вектор-рядка вигляду:

1.2. Порядок виконання роботи 

1.2.1. Відкрити спеціалізовне програмне забезпечення в середовищі MATLAB.

1.2.2. Ввести дані для дослідження моделі 1 (у відповідності до п.1.1.5.), виконати перший розрахунок, надрукувати графіки поведінки функції стану x(t) і функції збурення f(t). Порівняти графіки поведінки моделі 1, які отримані шляхом моделювання на ЕОМ і на основі аналітичних розрахунків (див.п.1.1.4). Зробити висновок про адекватність результатів, отриманих аналітичним і машинним шляхами.

1.2.3. Виконати декілька розрахунків у постановці 1.2.2 з послідовним варіюванням коефіцієнтами правої та лівої частин, а також початковими умовами моделі 1. Надрукувати графіки поведінки x(t) і f(t). Порівняти їх з графіками, отриманими за результатами аналітичних розрахунків моделі 1, отриманих в п.1.1.4. Зробити висновок про характер та ступені впливу на задану модель 1 варіацій коефіцієнтів правої та лівої частин і початкових умов.

1.2.4. Замінити праву частину f_i (t), i= моделі 1 на f₅ (t), виконати розрахунки для заданої моделі 1 з використанням f₅ (t). Надрукувати графіки поведінки x(t) і f₅ (t).

1.2.5. Виконати декілька розрахунків моделі 1 згідно з умовами п.1.2.4 та з варіюванням параметру інтенсивності білого гаусівського шуму. Надрукувати графіки x(t) і f₅ (t). Зробити висновок про вплив на поведінку моделі 1 вказаних варіацій.

1.2.6. Ввести дані, що підготовлені в п.1.1.7 для дослідження моделі 2. Виконати перший розрахунок, надрукувати графіки поведінки функції стану , функції керування  та функції спостереження (t).

1.2.7. Виконати декілька розрахунків з послідовним варіюванням матрицями ,  і . Надрукувати графіки поведінки функції стану , керування  і спостереження (t). Зробити висновок про вплив на поведінку моделі 2 (стан  і спостереження (t)) запропонованих варіацій.

1.2.8. Виконати дослідження поведінки  фундаментальної матриці. Для цього для вибраних раніше вхідних даних моделі 2 покласти U(t)=0, а коефіцієнти матриці спостереження рівними 1. Для запропонованих умов виконати два розрахунки моделі 2, поклавши в першому випадку вектор-стовпець початкових значень рівним , а в другому . Надрукувати графіки поведінки  функції стану  в обох випадках. Зробити висновок про вплив матриці коефіцієнтів  на поведінку фундаментальної матриці , виконавши операції, аналогічні наведеним у пп.1.2.3, 1.2.5, 1.2.7. 

1.3. Зміст звіту

1.3.1. Записати модель 1, привести результат її аналітичного розв’язку і рисунок графіка поведінки  стану  і керування  у часі.

1.3.2. Представити лістінги з вихідними даними та результатами виконання лабороторної роботи за пп.1.2.3 - 1.2.5.

1.3.3. Згідно заданому варіанту записати модель 2 у формі звичайного диференціального рівняння другого порядку, а також в стандартній формі простору станів.

1.3.4. Представити лістінги з вихідними даними та результатами виконання пп.1.2.6 - 1.2.8.

1.3.5. Представити висновки по роботі. 

1.4. Теоретичні положення

1.4.1. Метод простору станів.

В сучасній теорії автоматичного керування аналіз та синтез базуються на розв’язуванні (інтегруванні) диференціальних рівнянь, записаних в деякій стандартній формі. Такою формою є система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, що представлена у векторно-матричній формі [1,2,3].

З точки зору реалізації диференціальних рівнянь на ЕОМ стандартна форма запису являє собою суттєвий інтерес, так як методи і алгоритми, що застосовуються для розв’язування одного диференціального рівняння першого порядку, можуть бути легко розповсюджені на систему таких рівнянь, що приведені до векторно-матричного вигляду. Тому дані методи та алгоритми можуть бути застосовані для розв’язування звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку, а також диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Для того, щоб дати означення просторові станів, введемо  означення змінних стану динамічної системи.

Означення. Змінними стану динамічної системи є мінімальний набір змінних або чисел, який містить інформацію про передісторію системи, достатньої для повного визначення  її поведінки в поточний та майбутній моменти часу при відомих збуреннях, що діють у поточний момент часу.

Означення. Рівняння, що описують поведінку системи термінами змінних стану та визначають всю вказану вище інформацію, називаються рівняннями стану, а теоретичний підхід до аналізу систем, оснований на використанні рівнянь стану, називають методом простору станів.

Розглянемо динамічний процес.

Рис.1.1. Схема динамічного процесу 

З урахуванням того, що даний процес має “m” входів, “n” станів та “r” виходів, запишемо співвідношення, які визначають його поведінку:

де x_i (t) - i-тий стан динамічного процесу, що досліджується; u_k - k-тий керуючий вплив, прикладений до процесу, що досліджується; y_p - p-те вимірювання; f_i , g_p  - деякі функції змінних x_i і u_k.

Система рівнянь (1.6) визначає стан, а система (1.7) - вимірювання  процесу, що досліджується. З урахуванням того, що функції f_i і g_p для лінійних динамічних систем, вивченню яких буде нижче приділено основну увагу, є лінійними комбінаціями x_i і u_k, перепишемо співвідношення (1.6) і (1.7) наступним чином:

Система (1.8), (1.9) для незмінних з часом коефіцієнтів a, b, c, d у векторно-матричній формі описується співвідношеннями:

де  - вектор-стовпець станів;  - вектор-стовпець  входів (керувань);  - вектор-стовпець вимірювань;  - відповідні матриці коефіцієнтів. Причому:

Елементи матриці станів  залежать від математичного опису процесу, що розглядається, елементи матриці керувань  показують, як вхідні змінні діють на змінні станів; елементи матриць  та показують, як змінні стану та вхідні змінні безпосередньо діють на вихідні змінні. В загальному випадку для більшості лінійних систем елементи  змінюються з часом, однак, крім спеціально обумовлених випадків, вважаємо їх постійними величинами, тобто розглядаємо стаціонарні процеси. 

1.4.2. Приклади представлення математичних моделей у формі простору станів.

Розглянемо типові приклади представлення різних математичних моделей у формі простору станів.

1.4.2.1. Запис у формі простору станів математичних моделей, що описуються системами звичайних диференціальних рівнянь.

Розглянемо систему: 

У формі простору станів вона буде мати вигляд:

де 

1.4.2.2. Запис у формі простору станів моделей, що описуються звичайними диференціальними рівняннями  m-го порядку.

Розглянемо диференціальне рівняння m-го порядку

з початковими умовами

Зведемо рівняння (1.10) до еквівалентної системи диференціальних рівнянь першого порядку з m невідомими і m початковими умовами. Для цього введемо заміну змінних:

При цьому стара змінна y та її похідні  замінюються, відповідно, новими змінними . Тоді еквівалентна система диференціальних рівнянь приймає вигляд:

Причому, перші (m-1) рівнянь дістають безпосередньо з рівнянь заміни (1.12), а останнє  m-те рівняння - з вихідного рівняння (1.10).

Нові початкові умови дістанемо з (1.11) з урахуванням (1.12):

Систему диференціальних рівнянь (1.13) з початковими умовами (1.14) називають “нормальною формою”.

Приклад. Привести до нормальної форми та представити у формі простору станів рівняння, що описує рух тіла,  з масою m під дією сили u:

де y - положення; t - час.

Введемо заміну змінних: 

Шукане рівняння має вигляд:

1.4.2.3. Запис у формі простору станів моделей, що описуються диференціальними рівняннями у частинних похідних.

Розглянемо приклад: 

з початковими та граничними умовами

де t - час; z - просторова координата.

Виконаємо так звану частинну дискретизацію, тобто при неперервному часі розіб’ємо просторову координату на відрізки з кроком Dz:

Тоді змінну стану x(t,z) замінемо набором змінних x₁(t),..., x_i(t),      ..., x_n(t). З урахуванням останнього представимо вихідне рівняння у формі “для вузлів”: 

для

Перепишемо це рівняння у формі системи лінійних рівнянь:

У формі простору станів дана система має вигляд:

1.4.3. Аналіз руху лінійних систем у просторі станів.

Розглянемо два характерні випадки:

- вільний рух лінійних систем;

- змушений рух лінійних систем.

1.4.3.1. Вільний рух лінійних систем.

Розглянемо (1.8), поклавши :

Розв’язком однорідного диференціального рівняння (1.15) є:

- матриця переходу або фундаментальна матриця, яка володіє наступними властивостями:

в)  де  - одинична матриця;

Таким чином вільний рух лінійної системи визначається початковими умовами та фундаментальною матрицею.

З урахуванням наведених властивостей перевіримо справедливість співвідношення (1.16). Його задовольняє початкова умова , так як . Крім того, підстановка  в рівняння (1.15) дає.

Використовуючи властивість г, дістанемо тотожність 

звідки випливає, що (1.16) дійсно є розв’язком (1.15).

Приклад. Дістати діаграму перехідного процесу для рівняння стану вигляду: 

Тут  - скаляр, який дорівнює -1,  дорівнює -1, а  дорівнює 0. Використовуючи (1.16), отримаємо: 

Діаграму перехідного процесу зображено на рис.1.2. 

Рис.1.2. Діаграма перехідного процесу 

1.4.3.2. Вимушений рух лінійних систем.

Розглянемо рівняння стану для збуреної системи вигляду (1.9):

Помноживши обидві частини даного співвідношення на , отримаємо:

Ліва частина цього співвідношення є похідною від . Тому: 

Інтегруючи обидві частини цього рівняння від 0 до t та враховуючи, що , отримаємо: 

Нарешті, помножуючи кожний член рівності на , отримаємо розв’язок:

Перший доданок співвідношення (1.19) є вільною реалізацією системи x_вільн. при  Другий доданок - примушуюча складова x_{примуш.}.

Приклад. Дістати діаграми перехідного процесу для рівняння стану вигляду: 

Тут  відповідає -1;  дорівнює -1;  дорівнює 2. Використовуючи (1.19) отримаємо: 

Діаграму перехідного процесу зображено на рис.1.3. 

Рис.1.3. Діаграма перехідного процесу 

1.4.3.3. Розрахунок перехідної матриці.

Розглянемо співвідношення (1.16):

Тепер, якщо кожна змінна стану спочатку дорівнювала нулю за винятком i-тої, то отримаємо:

Таким чином, вище вказана початкова умова дає реакцію , яка є i-тим стовпцем фундаментальної матриці. Іншими словами, i-тий стовпець фундаментальної матриці є вектором реакції системи, якщо всі початкові умови дорівнюють нулю за винятком i-тої змінної стану, яка дорівнює 1.

У загальному випадку для початкового стану  вільна реакція є суперпозицією зважених початкових умов усіх елементів .

Тоді елемент  перехідної матриці для системи (1.20) буде являти реакцію j-тої змінної стану x_j(t) на початкові умови.

Приклад. Розрахувати перехідну матрицю системи (1.15) для.

Розписавши співвідношення (1.15) поелементно, отримаємо:.

Запишемо співвідношення (1.20) для n=2:.

При використанні початкових умов 

отримаємо реакцію.

Таким чином при реалізації вихідної системи з початковими умовами, що розглядаються, x₁(t) виводить траєкторію , а x₂(t) - . Графіки  і  зображені на рис.1.4.а.

При використанні початкових умов: 

отримаємо реакцію

яку показано на рис.1.4.б.

Рис.1.4. Діаграми елементів перехідної матриці 

Зауважимо, що F₂₁  є  похідною  від  F₁₁,  а  F₂₂ - похідною від F₁₂, так як x₂ =dx₁/dt. 

1.5. Контрольні питання

1. Дати означення змінних і простору станів динамічної системи.

2. Навести приклад представлення математичної моделі динамічного процесу, що описується системою звичайних диференціальних рівнянь у формі простору станів.

3. Навести приклад, аналогічний п. 2 для  процесу, що описується звичайним диференціальним рівнянням m-го порядку.

4. Навести приклад, аналогічний п. 2 для процесу, що описується диференціальним рівнянням у частинних похідних.

5. Дати поняття вільного руху лінійної системи.

6. Дати поняття примушеного руху лінійних систем.

7. Сформулювати основні властивості фундаментальної матриці лінійної системи.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!