Методичні вказівки до курсової роботи з дисциплін Інформатика і Інформатика та Обчислювальна математика та програмування

ЗМІСТ 

Ці методичні вказівки розроблені для надання допомоги студентам 1-го курсу інженерних спеціальностей під час виконання курсової роботи з дисциплін «Інформатика» і «Інформатика. Обчислювальна математика та програмування». Курсова робота виконується в другому семестрі. Загальний обсяг годин, відведених на виконання курсової роботи, становить 16 годин. Для виконання курсової роботи необхідні знання графічного інтерфейсу операційної системи, що використовується (передбачається, що ця операційна система — Microsoft Windows XP), текстового редактора, наприклад, Microsoft Word, табличного процесора Microsoft Excel та системи математичних розрахунків MathCAD. Необхідно також засвоєння студентами теоретичного матеріалу з дисциплін «Інформатика» або «Інформатика. Обчислювальна математика та програмування». 

1. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ 

Метою виконання курсової роботи є надання допомоги студентам у засвоєнні всіх розділів дисципліни, перевірка навичок практичної роботи з програмними інструментальними засобами обробки інформації.

Курсова робота виконується за варіантом, виданим викладачем. Робота над помилками виконується у кінці курсової роботи.

1.1 Формування знань та вмінь

У результаті виконання курсової роботи студенти повинні отримати

З н а н н я :

• сучасного програмного забезпечення ПЕОМ.

В м і н н я:

• оформлення документа з використанням текстового редактора Word;

• вибору i розроблення математичного апарату розв'язання задач;

• розроблення алгоритмів розв’язання задач на ПЕОМ за математичним описом;

• визначення необхідної комп'ютерної техніки та програмних засобів для вирішення проблеми;

• реалізовування чисельних методів на сучасній обчислювальній техніці.

1.2 Вимоги до оформлення курсової роботи

Курсова робота повинна бути виконана на стандартних аркушах формату А4 за допомогою програмних засобів автоматизації обчислень (MathCAD та Excel), пояснювальна записка оформлена за допомогою текстового редактора Microsoft Word.

1.2.1 Основні розділи курсової роботи:

• титульний аркуш, оформлений згідно з вимогами (див. додаток А);

• зміст із зазначенням сторінок;

• вступ;

• поставлення задачі - окремим аркушем;

• математична модель задачі;

• алгоритм розв’язання;

• виконання завдання засобами Excel;

• виконання завдання засобами MathCAD;

• висновок;

• список використаних інформаційних джерел.

• орієнтація сторінки – книжкова;

• поля в документі: ліве – 25мм, праве – 10 мм, верхнє і нижнє – 15 мм;

• вставити автоматичний зміст;

• для основного тексту використати шрифт Times New Roman, розміром 14 пт, вирівнювання по ширині, інтервал між рядками – одинарний, відступ першого рядка 1,5 см;

• вставте нижній колонтитул, де помістіть своє прізвище і ініціали, номер групи і варіант та номери сторінок – номер сторінки вирівняти по правому краю (на титульному аркуші номер сторінки не зазначати); для колонтитулу використати шрифт Times New Roman, розміром

  10 пт, курсив, вирівнювання по лівому краю, інтервал між рядками – полуторний, відступ першого рядка 0 см;

• кожний розділ повинен починатися з нової сторінки; між заголовком розділу і текстом відступ – 2 рядки;

  для оформлення заголовків використовуйте стиль «Заголовок 1», для оформлення використовуйте шрифт Times New Roman, розміром 16 пт, напівжирний, всі великі, розріджений на 2 пт, вирівнювання по центру, інтервал між рядками – подвійний, відступ першого рядка 0 см (крапка в кінці назви розділу НЕ СТАВИТЬСЯ);

• для підпису рисунків використовуйте шрифт Times New Roman, розміром 10 пт, вирівнювання по центру, інтервал між рядками – одинарний, відступ першого рядка 0 см; підпис повинен розміщуватися під рисунком і містити номер і назву, наприклад «Рисунок 1 – Назва рисунка» (крапка в кінці назви рисунка НЕ СТАВИТЬСЯ); на рисунок повинно бути посилання;

• для підписів таблиць використовуйте шрифт Times New Roman, розміром 14 пт, вирівнювання по лівому краю, інтервал між рядками – полуторний, відступ першого рядка 2,5 см; підпис повинен розміщуватися перед таблицею і містити номер і назву, наприклад «Таблиця 1 – Назва таблиці» (крапка в кінці назви таблиці НЕ СТАВИТЬСЯ);

• формули повинні бути оформлені таким чином: розмір символів: звичайний – 14 пт, великий індекс – 10 пт, дрібний індекс – 8 пт, великий символ – 20 пт, дрібний символ – 14 пт; формули вирівняйте по центру, номер формули – по правому краю.

• поля – ліве, верхнє, нижнє по 2 см, праве 1,5 см;

• тип шрифту – Times New Roman, розмір – 14 пт;

• комірки з текстовими даними – вирівнювання по горизонталі – по ширині, вирівнювання по вертикалі – по центру, перенос по словах;

• комірки з числовими даними і формулами – формат – числовий з 2 десятичними знаками, вирівнювання по горизонталі – по ширині, вирівнювання по вертикалі – по центру;

• границі комірок одинарною тонкою чорною лінією.

• поля – ліве, верхнє, нижнє по 2 см, праве 1,5 см;

1.2.2 Вимоги до оформлення пояснювальної записки курсової роботи:

1.2.3 Вимоги до оформлення розрахунків в Excel:

1.2.4 Вимоги до оформлення розрахунків в MathCAD:

текст – тип шрифту – Times New Roman, розмір – 14 пт;

• формули - тип шрифту – Arial, розмір – 14 пт.

1.2.5 Умови захисту

Під час захисту роботи необхідно мати:

• роздруковану роботу;

• пояснювальну записку, оформлену в Word в електронному вигляді;

• результати розрахунків в Excel в електронному вигляді;

результати розрахунків у MathCAD в електронному вигляді.

1.3. Зміст розділів пояснювальної записки

1.3.1 Вступ

У цьому розділі необхідно навести короткі теоретичні відомості про використані програмні засоби (Excel та MathCAD).

1.3.2 Поставлення задачі

У цьому розділі необхідно чітко сформулювати завдання курсової роботи.

1.3.3 Математична модель задачі

Цей розділ обов’язково повинен бути наявним. У ньому необхідно навести формули, за якими здійснюються розрахунки, описати математичні основи методів, які використовуються для розв’язання поставленої задачі.

1.3.4 Алгоритм розв’язання

У цьому розділі необхідно вивести формули для розрахунків.

1.3.5 Виконання завдання засобами Excel

У цьому розділі необхідно виконати розрахунки в середовищі Excel і оформити згідно з попередньо викладеними умовами. Залежно від умови завдання в пояснювальну записку необхідно помістити: дві копії створеної електронної таблиці Excel і діаграму (якщо її необхідно побудувати за умовою). Перша копія таблиці повинна відображати отримані числові результати виконаних завданнь, друга - використані формули.

1.3.6 Виконання завдання засобами MathCAD

У цьому розділі необхідно виконати розрахунки в середовищі MathCAD і оформити згідно з попередньо викладеними умовами.

1.3.7 Висновки

У цьому розділі необхідно зазначити, які результати були отримані в процесі виконання роботи, провести аналіз отриманих даних.

1.3.8 Список використаних інформаційних джерел

Необхідно навести список літератури, яку студент використовував при виконанні курсової роботи.

Наприклад:

1. Office XP. Біблія користувача. Эдвард Виллетт, Стив Каммингс. – Москва: Діалектика, 2002.

2. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ЗАХИСТУ КУРСОВОЇ РОБОТИ

Тема 1. Розрахунки в Microsoft Excel

1. Які завдання найкраще розв’язувати за допомогою табличного процесора Microsoft Excel?

2. Як запустити програму Microsoft Excel?

3. Які основні елементи робочого вікна Microsoft Excel?

4. Які панелі інструментів використовуються в Microsoft Excel?

5. Що таке книга Microsoft Excel?

6. Що таке аркуш Microsoft Excel?

7. Який захист для книг пропонує Microsoft Excel?

8. Як зберігати інформацію про книги, з якими потрібно одночасна працювати?

9. Охарактеризуйте призначення пунктів головного меню Excel.

10. Що таке комірка?

11. Як керувати курсором при навігації по комірках?

12. Які існують способи адресації комірок? Яка між ними різниця?

13. Що таке абсолютне та відносне адресування комірок?

14. Чи можна присвоювати імена коміркам?

15. Як відбувається введення даних в комірку? Використання формул для обчислень в Excel.

16. Як здійснювати виділення комірок за допомогою маніпулятора миші та клавіатури?

17. Як працювати з виділеними комірками за допомогою буфера обміну?

18. Як додати до таблиці рядки?

19.  Як додати до таблиці стовпці?

20. Як змінити висоту рядка таблиці?

21.  Як змінити ширину стовпця таблиці?

22. Як задати формат зображення даних у комірках?

23. Як задати шрифт та вирівнювання вмісту комірок?

24. Як задати способи облямування та затінення комірок?

25. Як визначити режим захисту комірок?

26. Як працює Мастер диаграмм?

27. Які в Microsoft Excel існують способи побудови діаграм?

Тема 2. Розрахунки в MathCAD

1. Як запустити програму MathCAD?

2. Які основні елементи робочого вікна MathCAD?

3. Які панелі інструментів використовуються в MathCAD?

4. Дайте характеристику використання основних панелей інструментів.

5. Для чого використовується панель Математика?

6. Для чого використовується панель Арифметика?

7. Для чого використовується панель Матанализ?

8. Для чого використовується панель Символы?

9. Як виконуються в MathCAD найпростіші обчислення?

10. Як в MathCAD виконується робота з функціями користувача?

11. Глобальне присвоювання.

12. Керування процесом обчислень.

13. Форматування результату обчислень.

14. Одиниці виміру фізичних величин.

15. Обчислення в символьному вигляді.

16. Уведення й форматування тексту.

17. Побудова двомірного графіка.

18. Форматування двомірного графіка.

19. Побудова та форматування тривимірного графіка. 

3. УМОВИ ЗАДАЧ ДЛЯ ВИКОНАННЯ КУРСОВОЇ РОБОТИ

Варіант 1

Велосипедист їхав з одного міста в інше. Половину шляху він проїхав зі швидкістю υ₁ = 12 км/год. Далі половину часу, що залишилося, він їхав зі швидкістю υ ₂= 6 км/год, а потім до кінця шляху йшов пішки зі швидкістю υ₃=4 км/год. Визначте середню швидкість велосипедиста на всьому шляху.

Розв’язання. 1. Установивши, що завдання дане на рівномірний прямолінійний рух одного тіла, і уявивши собі весь процес руху, виконуємо схематичне креслення (рисунок 3.1). При складанні креслення насамперед зображуємо траєкторію руху й вибираємо на ній початок відліку руху (точка 0). Весь шлях розбиваємо на три відрізки s₁, s₂, s₃, на кожному з них зазначаємо швидкості υ₁, υ₂, υ₃ і відзначаємо час руху t_l, t₂, t₃.

2. Складемо рівняння руху для кожного відрізка шляху:

s₁= υ₁t₁, s₂=υ₂t₂, s₃= υ₃t₃,

і запишемо додаткові умови завдання:

s₁=s₂+s₃, t₂=t₃, .

3. Читаємо ще раз умову завдання, виписуємо числові значення відомих величин, і, визначивши число невідомих в отриманій системі рівнянь (їх сім: s₁, s₂, s₃, t₁, t₂, t₃ і υ_cp), розв’язуємо її щодо шуканої величини υ_ср.

Якщо при розв’язанні завдання повністю враховані всі умови, але в складених рівняннях число невідомих виходить більше числа рівнянь, це означає, що при подальших обчисленнях одне з невідомих скоротиться, такий випадок має місце й у даному завданні.

Розв’язання системи щодо середньої швидкості має такий вигляд:

4. Підставивши числові значення в розрахункову формулу, одержимо υ_ср ≈ 7 км/год.

Варіант 2

Від буксира, що йде проти течії ріки, відірвався човен. У той момент, коли на буксирі помітили човен, він знаходився від нього на досить великій відстані s₀. З буксира швидко спустили катер, що доплив до човна й повернувся з ним назад. Скільки годин зайняла поїздка катера і яку відстань він проплив в один та інший бік, якщо швидкості катера й буксира щодо води дорівнюють відповідно υ₁ і υ₂? Припустимо, що s₀=165 м, а швидкості υ₁=60 км/год, υ₂=40 км/год.

Розв’язання. У завданні розглядається рівномірний рух тіл щодо води, що сама тече до берега. Всі тіла, що беруть участь у русі, - човен, буксир і катер – мають швидкості відносно води й переносну разом із водою. У тих випадках, коли рух вивчають у системах відліку, що рухаються рівномірно й прямолінійно щодо нерухомої системи відліку (як, наприклад, у даному завданні), всі розрахунки можна робити за такими формулами і рівняннями так, немовби переносного руху (течії) не було. Це майже очевидна обставина випливає із принципу відносності руху.

При вивченні відносного руху двох або декількох тіл, що рухаються у той самий час відносно Землі, систему відліку зручно пов'язувати з одним із цих тіл, беручи його за тіло відліку, і розглядати переміщення, швидкість й прискорення щодо цього тіла. У пропонованому завданні систему відліку зручно пов'язувати з буксиром, тому що всі події, що відбуваються, розглядаються стосовно нього. У системі відліку, пов'язаної з буксиром, сам буксир відпочиває, човен віддаляється від нього зі швидкістю υ₂, катер віддаляється від буксира зі швидкістю υ₁+υ₂, катер разом із човном наближаються до нього зі швидкістю υ₁-υ₂.

Припустимо, що за час t₁, через який катер наздожене човен, буксир вийшов від човна на відстань s_l, тоді рівняння руху для катера й човна за цей час буде таким: 

s₀ + s₁ = (υ₁+υ₂) t₁      та s₁=υ₂ t₁.                                         

Якщо для повернення на буксир катеру потрібен був час t₂, то рівняння його руху має вигляд 

s₀ + s₁ = (υ₁-υ₂) t₂.      

Шуканий час руху катера буде дорівнювати 

t=t₁+t₂,

і за цей час катер пропливе відстань s=2(s₀ + s₁).

Отже, отримані п'ять рівнянь, що містять п'ять невідомих величин (s_l, t_l, t₂, s і t), з яких потрібно визначити тривалість поїздки катера t і пройдену їм відстань s. Розв’язуючи рівняння спільно, знаходимо.

Варіант 3

Тіло кинуте вертикально вгору з початковою швидкістю υ₀ = 3,13 м/с. Коли воно досягло верхньої точки польоту, з того самого початкового пункту, з такою самою початковою швидкістю кинули друге тіло. Визначте, на якій відстані від точки кидання зустрінуться тіла; опір повітря не враховувати.

Розв’язання. Робимо креслення (рисунок 3.2). Відзначаємо на ньому траєкторію руху першого й другого тіл. Вибравши початок відліку в точці 0, зазначаємо початкову швидкість тіл υ₀, висоту h, на якій відбулася зустріч (координата у = h), і час t₁ й t₂ руху кожного тіла до моменту зустрічі (щоб не загромаджувати креслення, швидкості тіл у момент зустрічі не зазначені).

Рівняння переміщення тіла, кинутого вертикально вгору, дозволяє знайти координату тіла, що рухається, для будь-якого моменту часу незалежно від того, чи підіймається тіло вгору або падає після підіймання вниз, тому для першого тіла, а для другого.

Третє рівняння записуємо, виходячи з умови, що друге тіло кинули пізніше першого на час максимального піднімання:

Розв’язуючи систему трьох рівнянь відносно h, одержуємо. 

Варіант 4

Артилерійське знаряддя розміщене на горі висотою h. Снаряд вилітає зі стволу зі швидкістю , спрямованою під кутом α до обрію. Нехтуючи опором повітря, визначте:

а) дальність польоту снаряда по горизонтальному напрямку;

б) швидкість снаряда в момент падіння;

в) кут падіння;

г) рівняння траєкторії;

д) початковий кут пострілу, при якому дальність польоту більша.

Беремо h=67м, υ₀= 60км/год, α=36°.

Розв’язання. Виконуємо креслення (рисунок 3.3). Прямокутну систему координат вибираємо так, щоб її початок збігся із точкою кидання, а осі були спрямовані уздовж поверхні Землі й по нормалі до неї убік початкового переміщення снаряда. Зображуємо траєкторію снаряда, його початкову швидкість , кут кидання α, висоту h, горизонтальне переміщення s, швидкість у момент падіння  (вона спрямована по дотичній до траєкторії в точці падіння) і кут падіння φ (кутом падіння тіла називають кут між дотичною до траєкторії, проведеної в точку падіння, і нормаллю до поверхні Землі).

Рух тіла, кинутого під кутом до обрію, можна визначити як результат додавання двох прямолінійних рухів: одного – уздовж поверхні Землі (воно буде рівномірним, оскільки опір повітря не враховується) і другого – перпендикулярно до поверхні Землі (у цьому випадку це буде рух тіла, кинутого вертикально вгору). Для заміни складного руху двома простими розкладемо (за правилом паралелограма) швидкості  і  на горизонтальні й вертикальні складові й знайдемо їхні проекції: υ₀cosα і υ₀sinα – для швидкості  і υ_x та υ_y – для швидкості .

1. Запишемо рівняння швидкості й переміщення для їхніх проекцій за кожним напрямком, тому що в горизонтальному напрямку снаряд летить рівномірно, то його швидкість і координати в будь-який момент часу задовольнять рівняння:

Для вертикального напрямку:

У момент часу t_l, коли снаряд упаде на землю, його координати дорівнюють:

В останньому рівнянні переміщення h узяте зі знаком «мінус», тому що за час руху снаряд зміститься щодо рівня відліку О висоти убік, протилежно напрямку, взятому за додатне.

Результуюча швидкість у момент падіння дорівнює 

У складеній системі рівнянь п'ять невідомих; нам потрібно визначити s і υ.

З рівнянь (4.4) і (4.5) знаходимо час польоту снаряда:

Підставляючи вираження для t₁ у формули (4.2) і (4.3) з урахуванням (4.5), відповідно одержуємо:

Після цього з (4.6) з урахуванням (4.1) і (4.8) знаходимо

З отриманих результатів можна зробити такі висновки.
Якщо h = 0, тобто снаряди падають на рівні вильоту, то відповідно до формули (4.7) дальність їхнього польоту буде дорівнюватиме: . Якщо при цьому кут кидання дорівнює 45° (sin2α = 1), то при заданій початковій швидкості υ₀ дальність польоту найбільша: .

Підставивши у рівняння (4.9) значення h₀, одержимо, що швидкість снаряда в момент його підльоту до рівня, з якого був зроблений постріл, дорівнює його початковій швидкості: υ = υ_0.

За відсутності опору повітря швидкість падіння тіл дорівнює їхній початковій швидкості кидання незалежно від того, під яким кутом було кинуте тіло, аби тільки точки кидання й падіння знаходилися на одному рівні. З огляду на те, що горизонтальна складова швидкості із часом не змінюється, легко встановити, що в момент падіння швидкість тіла створює із горизонтом такий самий кут, як і у момент кидання.

2. Кут падіння можна знайти, виходячи з того, що швидкість тіла в будь-якій точці траєкторії спрямована по дотичній. З рисунка 3.3 бачимо, що , звідки з урахуванням рівнянь (4.1) і (4.8) одержимо.

3. Щоб знайти рівняння траєкторії руху точки – снаряда, потрібно знайти зв'язок між її координатами х і у у довільний момент часу t. Якщо в рівняннях (4.2) і (4.4) під х та у мати на увазі зміщення снаряда по осях (з огляду на те, що ці рівняння справедливі для всього руху снаряда), а під t – час, після закінчення якого снаряд із О потрапив у дану точку траєкторії, то, виключаючи із рівнянь t, ми й одержимо шуканий зв'язок. Знайшовши з рівняння (4.2) час t і підставивши його в рівняння (4.4), одержимо. 

Рівняння вигляду у=-ах²+bx являє собою рівняння параболи, що проходить через початок координат 0 і звернено опуклістю вгору. Таким чином, тіло, кинуте під кутом α до горизонту, за відсутності опору повітря летить по параболі. Неважко помітити, що цей висновок має місце для будь-яких кутів кидання.

4. Розв’язуючи рівняння (4.2), (4.4) і (4.5) щодо початкового кута кидання α, одержимо.

Оскільки кут кидання не може бути уявним, то це рівняння має фізичний сенс лише за умови, що, звідси випливає, що максимальне переміщення снаряда по горизонтальному напрямку дорівнює.

Підставляючи вираження для s=s_maкc у формулу (4.10), одержимо рівняння для кута α, при якому дальність польоту найбільша.

Варіант 5

Камінь кинутий на схилі гори під кутом α до її поверхні (рисунок 3.3). Визначте дальність польоту каменя і його найбільшу висоту піднімання над схилом, якщо початкова швидкість каменя дорівнює , кут нахилу гори до обрію β. Опір повітря не враховувати.

Взяти α=45°, β =24°, ν₀=5м/c.

Розв’язання. Складний рух каменя по параболі потрібно уявити як результат накладання двох прямолінійних рухів: одного уздовж поверхні Землі, іншого - по нормалі до неї.

Виберемо прямокутну систему координат з початком відліку в точці кидання каменя так, щоб осі 0Х й 0Y збіглися із зазначеними напрямками, і знайдемо складові векторів початкової швидкості  і прискорення вільного падіння  по осях. Проекції цих складових на осі 0Х й 0Y дорівнюють відповідно:

Після цього складний рух можна розглядати як два більш простих: рівносповільнені рухи уздовж поверхні Землі із прискоренням g sinβ і рівносповільнений рух, перпендикулярний до схилу гори, із прискоренням g cosb.

Запишемо рівняння руху для кожного напрямку з урахуванням того, що за час t₁ усього руху переміщення каменя по нормалі до поверхні (по осі 0Y) виявилося таким, що дорівнює нулю, а уздовж поверхні (по осі 0Х) дорівнює s: 

За умовою завдання ν₀, α і β нам задані, тому в складених рівняннях є дві невідомі величини s й t₁.

З першого рівняння визначаємо час польоту каменя: 

Підставляючи цей вираз у друге рівняння, знаходимо. 

Якщо підставити сюди значення β = 0, що відповідає випадку, коли тіло кинуте під кутом α до горизонтальної поверхні, то одержимо. 

Варіант 6

Через блок радіусом Н (рисунок 3.4) перекинута нитка, на кінцях якої знаходяться два вантажі, встановлені на одному рівні. Без стороннього впливу, вантажі починають рівноприскорено рухатися і через час t один з них виявляється над іншим на висоті h. Визначте кут повороту блока, його кутову швидкість і величину повного лінійного прискорення точки А в кінці часу t. Проковзуванням нитки по блоку знехтувати.

Візьмемо R=3cм, t=7c, h=8см.

Розв’язання. 1. Проставляємо на кресленні переміщення вантажів h за час t й, взявши за початок відліку точку 0, розставляємо вектори дотичного, нормального  й повного  прискорень точки А.

Оскільки за умовою завдання нитка по блоку не проковзує, то дотичне прискорення всіх точок, що лежать на ободі, за абсолютною величиною дорівнює прискоренню вантажів: .

2. Оскільки рух вантажів рівноприскорений і за час t вони зміщуються відносно один одного на відстань h, рівняння руху для кожного вантажу буде мати вигляд, тому що прискорення в них однакове й кожен вантаж проходить відстань h/2.

3. Записуємо рівняння обертового руху блока: 

з огляду на те, що блок обертається рівноприскорено.

Кутова швидкість ω і кутове прискорення ε блока пов'язані з нормальним і дотичним прискореннями точки А формулами 

Повне прискорення точки А дорівнює:

4. За умовою завдання нам дані R, t і h, тому в записаній системі рівнянь невідомими є а_к, ω, ε, φ, а_н і а_о. Розв’язуючи рівняння спільно щодо шуканих невідомих φ, ω, а, одержимо.

Варіант 7

Розрахунок надлишкового тиску в посудині.

Визначити, який надлишковий тиск повітря встановиться в плаваючій товстостінній циліндричній посудині діаметрами D й d, висотою Н з товщиною дна δ, якщо вона, будучи повністю заповненою атмосферним повітрям (рисунок 3.5а), опустилася у воду під дією власної ваги (рисунок 3.5б), а стиснене повітря, що заповнювало її, при цьому відбувалося за ізотермічним законом. Барометрична висота дорівнює h_б. Матеріал резервуара – титановий сплав (щільність ρ_т). 

Основні формули:

Основне рівняння гідростатики:

де ρ_р – щільність рідини; р_о – заданий тиск,
g – прискорення вільного падіння; h – висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Рівняння рівноваги тіла:

де F_i – i-та сила, що діє на тіло.

Вага тіла:

де r– щільність тіла; V – об'єм тіла.

Сила гідростатичного тиску рідини на стінку посудини:

де ρ_р – щільність рідини; h_c – висота стовпа рідини над центром ваги стінки посудини; S_см – площа стінки посудини, змочена рідиною.

Рівняння ізотермічного стиску газу:

де р_г – тиск газу; V_г – об'єм газу.

Розв’язання:

Атмосферний тиск обчислюється з основного рівняння гідростатики (7.1):

Рівняння рівноваги плаваючої посудини за умови рівноваги тіла (7.2):

де G_c = ρ_тgV_c – вага посудини;

V_c = (πD²/4)δ + ((πD² - d²)/4)H – об'єм посудини;

F_p = ρ_p gh π(D² - d²)/4 - сила гідростатичного тиску (7.4) на торець стінки посудини, зануреної у воду;

F_B = р p d²/4 – тиск повітря на дно посудини зсередини;

р - шуканий надлишковий тиск повітря в посудині. Тоді рівняння рівноваги посудини після спрощення буде мати вигляд: 

Тиск у будь-якій точці рідини у стані спокою визначається за допомогою основного рівняння гідростатики (7.1). Для площини порівняння 0-0, що проходить по змоченому торцю посудини, основне рівняння гідростатики має вигляд: 

або, спростивши, одержимо 

Рівняння ізотермічного стиску повітря в посудині (7.5): 

де p₁ = р_ат – абсолютний тиск повітря до стиску;
р₂ – абсолютний тиск повітря після стиску;
V₁ = (πd²/4)H – внутрішній об'єм посудини до занурення;
V₂ = (πd²/4)(H - h) – внутрішній об'єм посудини після занурення.

Тоді після підставлення рівняння ізотермічного стиску має вигляд: 

Звідси виразимо висоту заповнення посудини при зануренні h: 

Підставимо рівняння для h у рівняння для р й одержимо: 

Звідси висота занурення посудини у воду: 

Підставимо це рівняння в спрощене рівняння рівноваги посудини: 

Звідси одержимо квадратне рівняння для знаходження надлишкового тиску р у посудині: 

Підставимо в отримане рівняння всі відомі величини й розв’яжемо його відносно р.

Варіант 8

Розрахунок сил тиску рідини на плоску стінку.

Визначити сили тиску рідини на плоску стінку АВ (рисунок 3.6). Знайти точки прикладання векторів сил. Розмір резервуара в напрямку, перпендикулярному до площини рисунка, дорівнює 2(R + 1) м. Рідина – гас.

Геометричний розмір а = 0,6 м.

Радіус сфери            R = 1,4 м.

Висота стовпа ртуті           h = 0,6 м.

Кут нахилу стінки   а = 70 °.

Щільність гасу         ρ = 800 кг/м³.

Щільність ртуті        ρ_рт = 13600 кг/м³.

Основні формули:

Сила гідростатичного тиску рідини на стінку посудини:

Fр=p_ц·S_см,                                  (8.1)

де p_ц – тиск рідини в центрі ваги стінки; S_см – площа стінки посудини, змочена рідиною.

Основне рівняння гідростатики:

p=p₀± ρ_р g_h,                                 (8.2)

де ρ_р – щільність рідини; p₀ – заданий тиск; g – прискорення вільного падіння; h – висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Рівняння рівноваги тіла:

ΣM_i=0,                                       (8.3)

де М_i – i-й момент, що діє на тіло.

Розв’язання:

Сила тиску рідини на плоску стінку визначається за формулою (8.1), у якій тиск визначається з основного рівняння гідростатики (8.2):

Р_АВ = p_ц = (р_о + ρgh_ц)S,

де р_ц – гідростатичний тиск у центрі ваги стінки; ρ – щільність гасу; р_о – гідростатичний тиск на вільній поверхні рідини; h_ц – глибина занурення центра ваги змоченої поверхні стінки; S – площа стінки.

Виберемо площину порівняння 0 – 0 і запишемо основне рівняння гідростатики:

р_о + ρg(a/2 + 2R)= ρ_pтgh.

Тоді надлишковий тиск на вільній поверхні рідини:

р_о = ρ_рт gh - ρg(a/2+2R).

Глибина занурення центра ваги змоченої поверхні стінки з рис. 3.6:

h_ц = R + а/2.

Площа змоченої поверхні стінки:

S = 2(R+l)[(a + 2R)/sinα].

Тоді знаходимо силу надлишкового тиску на змочену поверхню стінки АВ:

Р_AB1 = (р_о + ρgh_ц)S.

Сила Р_АВ1 спрямована перпендикулярно до стінки АВ і прикладена в центрі тиску, що знаходиться нижче центра ваги змоченої поверхні стінки на відстані

Δz = I_ц /S z_ц,

де I_ц = 2(R + 1)(а + 2R)³/12 – центральний момент інерції;

S = 2(R + 1)(а + 2R) – площа змоченої поверхні стінки;

z_ц= (а + 2R)/2 – ордината центра ваги площі S.

Тоді ордината центра тиску:

z_д = z_ц + Δz.

Відстань від вільної поверхні рідини до лінії дії сили Р_АВ1

h_д = z_д/sinα.

Також на стінку АВ діє надлишковий тиск повітря р_о, сила тиску якого дорівнює:

Р_AB2 = po₁,

де S₁ = 2(R + l)a/sinα - площа незмоченої поверхні стінки АВ.

Дана сила спрямована перпендикулярно до стінки й розміщення від вільної поверхні рідини на відстані

h₂ = а/2 sinα.

Тоді повна сила тиску на стінку АВ дорівнює:

Р_AB = Р_AB1 + Р_AB2.

Точку прикладання сили Р_AB - Д знайдемо з умови рівноваги стінки (8.3):

ΣМ_Д = Р_AB1·х - Р_AB2·(h_д + h₂ - х) = 0.

Шукана відстань від точки дії сили Р_AB1 до точки дії повної сили Р_AB х:

х = Р_AB2(h_д + h₂)/Р_AB.

Варіант 9

Розрахунок сил тиску рідини на криволінійну поверхню.

Визначити сили тиску рідини на криволінійну поверхню резервуара (рисунок 3.7). Знайти точки прикладання векторів сил. Розмір резервуара в напрямку, перпендикулярному до площини рисунка, дорівнює 2(R + 1) м. Рідина – гас.

Геометричний розмір          а = 0,6 м.

Радіус сфери                         R = 1,4 м.

Висота стовпа ртуті             h = 0,6 м.

Щільність гасу                     ρ = 800 кг/м³.

Щільність ртуті                    ρ_pт = 13600 кг/м³.

Основні формули:

Сила тиску рідини на криволінійну стінку обчислюється з рівняння

де F_г = p_c S_B – горизонтальна складова сили тиску;

р_с – гідростатичний тиск у центрі ваги вертикальної проекції стінки;

S_B – вертикальна проекція стінки;

F_B = ρ_рgV_тд – вертикальна складова сили тиску;

Ρ_р – щільність рідини;

V_тд – об'єм тіла тиску.

Основне рівняння гідростатики:

p=p₀±ρ_рgh,                                         (9.2)

де ρ_р – щільність рідини; р_о - заданий тиск; g – прискорення вільного падіння; h – висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Рівняння рівноваги тіла:

ΣM_i=0,                                                           (9.3)

де ΣM_i – i-й момент, що діє на тіло.

Розв’язання:

Виберемо площину порівняння 0 - 0 і запишемо основне рівняння гідростатики:

р_о + ρg(a/2 + 2R)= ρ_p gh.

Тоді надлишковий тиск на вільній поверхні рідини

р_о = ρ_ртgh - ρg(a/2 + 2R).

Сила тиску рідини на криволінійну стінку обчислюється з рівняння (9.1):

де F_г = р_сS_B – горизонтальна складова сили тиску;

р₀ – гідростатичний тиск на вільній поверхні рідини;

h_c = R – глибина занурення центра ваги вертикальної проекції змоченої поверхні стінки;

S_B = πR² - вертикальна проекція стінки;

F_B = ρgV_тд – вертикальна складова сили тиску;

V_тд – об'єм тіла тиску.

Тиск у центрі ваги вертикальної проекції стінки знайдемо з основного рівняння гідростатики (9.2):

р_с=p₀ + ρgh_c,

де р₀ – гідростатичний тиск на вільній поверхні рідини; h_c=R – глибина занурення центра ваги вертикальної проекції змоченої поверхні стінки.

Сила F_г прикладена на відстані h від вільної поверхні рідини:

h = h_c + I_c/S_Bh_c,

де I_c = πR⁴/4 – центральний момент інерції;

S_B=πR² – вертикальна проекція криволінійної стінки;

h_c=R – глибина занурення центра ваги площі S_B.

Тоді центр тиску розміщений від вільної поверхні рідини на відстані

h = R + πR⁴/4 πR² R = 5R/4 = 5 ×1,4/4 = 1,75 (м).

З рисунка 3.7 бачимо, що об'єм тіла тиску дорівнює

V_тд = (V_тд1 - V_тд2) =2πR³/3.

Знаходимо горизонтальну складову сили тиску:

F_г = (р₀ + ρgh_c)S_B.

Знаходимо вертикальну складову сили тиску:

F_B = ρg2πR³/3.

Знаходимо величину повної сили тиску на криволінійну

Варіант 10

Розрахунок витрати води з бака.

Рідина з бака по трубопроводу випливає в атмосферу (рисунок 3.8). Визначити витрати води за заданих умов. Труба-сталева, зварена, помірно заржавлена. Рідина-нафта, легка.

Манометричний тиск                                 Р_м = 0,33 МПа.

Висота рідини в баку                                  h₁ = 2,5 м.

Висота виходу із трубопроводу                h₂ = 1,5 м.

Довжина першої ділянки трубопроводу  l₁ = 15 м.

Довжина другої ділянки трубопроводу    l₂ = 5,8 м.

Діаметр першої ділянки трубопроводу     d₁ = 0,15 м.

Діаметр другої ділянки трубопроводу      d₂ = 0,12 м.

Коефіцієнт опору вентиля                          ξ_вт = 2,1.

Коефіцієнт опору коліна                             ζ_ок = 0,3.

Щільність нафти                                          ρ = 880 кг/м³.

Кінематична в'язкість нафти                      n= 2,5× 10^-5м²/с.

Шорсткість труб                                          Δ = 0,6 мм.

Основні формули:

Рівняння Бернуллі:

де z₁ і z₂ – геометрична висота перетинів 1-1 і 2-2;

p₁ і р₂ – абсолютний тиск повітря над перетинами
1-1 і 2-2;

ν₁ і ν₂ – швидкість руху рідини в перетинах 1-1 і 2-2;

h_n = h_тp + h_мc – втрати напору в трубопроводі.

Швидкість рідини в трубі:

де Q - витрата рідини в трубі; d - діаметр труби.

Число Рейнольдса :

де ν - кінематичний коефіцієнт в'язкості.

Коефіцієнт λ знаходимо за формулою А. Д. Альтшуля

Розв’язання:

Запишемо рівняння Бернуллі для перетинів 1-1 і 2-2 щодо площини порівняння 0-0, що проходить по дну резервуара: 

де z₁ = h₁ – відстань від вільної поверхні рідини в резервуарі до дна посудини;

p₁ = р_м – надлишковий тиск повітря над перетином 1-1;

ρ – щільність нафти;

v₁=0 м/с – швидкість руху рідини в перетині 1-1;

z₂ = h₂ – відстань від перетину 2-2 до площини порівняння 0-0;

р₂ = 0 Па – надлишковий тиск повітря над перетином 2-2;

v₂ – швидкість руху рідини в перетині 2-2;

α₁, α₂ – коефіцієнти нерівномірності розподілу швидкості по живому перетину потоку для турбулентної течії α = 1, для ламінарної α = 2;

h_n=h_тр+h_мс=(V₂²_/2g)[λ₁l₁d₂⁴/d₁⁵+λ₂l₂/d₂+ξ_вхd₂²/d₁²+ξ_вт+2ξ_k+ξ_{р. зв.}],

де α₁ – коефіцієнт втрат на тертя;

ξ_вх = 0,5 – коефіцієнт місцевого опору при вході в трубу;

ξ_вт – коефіцієнт місцевого опору вентиля;

ξ_k – коефіцієнт місцевого опору;

ξ_{р. зв.} = 0,5×(1-d₂²/d₁²) – коефіцієнт місцевого опору при раптовому звуженні трубопроводу.

Напір мережі знаходимо за формулою

H=(8Q²/p² d₂⁴g)[a₂+λ₁l₁d₂⁴/d₁⁵+λ₂l₂/d₂+ξ_вхd₂²/d₁²+ξ_вт+2ξ_k+ξ_{р. зв.}].

Для значень витрати Q = 0; 0,001; 0,002; 0,003 м³/с.

Обчислимо швидкість течії рідини в 1-му трубопроводі:

V₁ = 4Q/(πd₁²);

число Рейнольдса : Re₁ = V₁ d₁/ν ;

коефіцієнт λ знаходимо за формулою А.Д. Альтшуля (10.4): 

швидкість течії рідини в 2-му трубопроводі:

V₂ = 4Q/(πd²); число Рейнольдса :

Re₂ = V₂ d₂/ν; коефіцієнт λ знаходимо за формулою
А.Д. Альтшуля (10.4): 

напір мережі при даній витраті Н:

H=(8Q²/p² d₂⁴g)[a₂+λ₁l₁d₂⁴/d₁⁵+λ₂l₂/d₂+ξ_вхd₂²/d₁²+ξ_вт+2ξ_k+ξ_{р. зв.}]. 

Величина статичного напору:

H_ст = P_м/(rg)+h₁-h₂.

Шукану витрату визначаємо із графіка H = f(Q), коли
Н = Н_ст.

Варіант 11

Розрахунок висоти занурення посудини у воду.

Заповнений атмосферним повітрям тонкостінний резервуар із квадратною основою а х а, висотою Н з товщиною дна δ (рисунок 3.9а) опустився в морську воду під дією власної ваги (рисунок 3.9б). При цьому стискання повітря, що заповнило його, відбувалося за ізотермічним законом. Барометрична висота дорівнює h_б. Матеріал резервуара – титановий сплав. Обчисліть висоту занурення посудини у воду під дією власної ваги.

Ширина основи посудини             а = 0,7 м.

Висота посудини                             Н = 0,7 м.

Товщина дна                                    δ = 0,04 м.

Барометрична висота                      h_б = 730 мм рт. ст.

Щільність титану                             ρ_т = 4460 кг/м³.

Щільність ртуті                                ρ_рт = 13600 кг/м³.

Основні формули:

Основне рівняння гідростатики:

p=p₀±ρ_рgh,                                                    (11.1)

де ρ_р – щільність рідини;

р₀ – заданий тиск;

g - прискорення вільного падіння;

h - висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Рівняння рівноваги тіла:

де F_i – i-та сила, що діє на тіло.

Вага тіла:

G =r×g×V,                                          (11.3)

де ρ - щільність тіла; V - об'єм тіла.

Сила гідростатичного тиску рідини на стінку посудини:

F_p= r_p×g×h_c×S_см,                                   (11.4)

де – ρ_р щільність рідини; h_c – висота стовпа рідини над центром ваги стінки посудини; S_см – площа стінки посудини, змочена рідиною.

Рівняння ізотермічного стиснення газу:

р_гV_г = const,                                                  (11.5)

де р_г – тиск газу; V_г – об'єм газу. 

Розв’язання:

Атмосферний тиск можна знайти з основного рівняння гідростатики (11.1):

р_ат = ρ_pт gh₆,

де ρ_pт – щільність ртуті;

h₆= 730 мм = 0,73 м – барометричний тиск.

Рівняння рівноваги плаваючої посудини за умовою рівноваги тіла (11.2):

G_c = F_B,

де G_c = ρ_тgVc – вага посудини;

V_c = (a²)δ – об'єм посудини;

 ρ_т – щільність титану;

F_B = ра² – тиск повітря на дно посудини зсередини;

р – шуканий надлишковий тиск повітря в посудині.

Тоді рівняння рівноваги посудини буде мати вигляд

ρ_тg(a²)δ = pa².

Спростимо дане рівняння й одержимо

р = ρ_т gδ.

Тиск у будь-якій точці рідини у стані спокою визначається за допомогою основного рівняння гідростатики (11.1). Для площини порівняння 0-0, що проходить по змоченому краю посудини, основне рівняння гідростатики має вигляд

р_ат + ρ_рgh = р_ат + р + ρ_рgh_в

або, спростивши, одержимо

р = ρ_рgh (h - h_в).

Рівняння ізотермічного стиску повітря в посудині:

р₁V₁ = p₂V₂,                           (11.5)

де p₁ = р_ат – абсолютний тиск повітря до стиснення;

р₂ = р_ат + р – абсолютний тиск повітря після стиснення;

V₁ = (а²)Н – внутрішній об'єм посудини до занурення;

 V₂ = (а²)(Н - h_в) – внутрішній об'єм посудини після занурення.

Тоді після підставлення рівняння ізотермічного стиску має вигляд

р_ат (а²)Н = р₂ (а²)(Н - h_в).

Звідси виразимо висоту заповнення посудини при зануренні h_в :

h_в = рН / (р_ат+ р).

Підставимо рівняння для h_в у рівняння для р й одержимо:

р = ρ_рg(h - рН / (р_ат+ р)).

Звідси висота занурення посудини у воду

h = p/ ρ_рg + рН / (р_ат+ р).

Варіант 12

Розрахунок сили тиску рідини на плоску стінку й надлишковий тиск на поверхні рідини.

Визначити сили тиску рідини на плоску стінку АВ (рисунок 3.9) і надлишковий тиск на поверхні рідини. Знайти точки прикладання векторів сил. Розмір резервуара в напрямку, перпендикулярному до площини рисунка, дорівнює (R + 1) м. Рідина – вода.

Висота стінки                                              Н = 4 м.

Радіус криволінійної стінки                       R = 0,8 м.

Манометричний тиск                     р_м = 0,06 МПа.

Кут нахилу стінки                           α = 75 °.

Щільність води                                ρ = 1010 кг/м³.

Основні формули:

Сила гідростатичного тиску рідини на стінку посудини:

F_р=p_ц·S_см,                                                      (12.1)

де p_ц – тиск рідини в центрі ваги стінки;

S_см – площа стінки посудини, змочена рідиною.

Основне рівняння гідростатики:

p=p₀±ρ_рgh,                                                    (12.2)

де ρ_р – щільність рідини;

р₀ – заданий тиск;

g – прискорення вільного падіння;

h – висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Розв’язання:

Сила тиску рідини на плоску стінку визначається за формулою (12.1), у якій тиск визначається з основного рівняння гідростатики (12.2):

Р_АВ = p_цS ,

де р_ц – гідростатичний тиск у центрі ваги стінки;

S – площа стінки.

З рівняння гідростатики (12.2) гідростатичний тиск у центрі ваги стінки знайдемо за формулою

р_ц = р_м - ρgh_ц,

де р_ц – висота рідини від центра ваги змоченої поверхні стінки до манометра.

Висота рідини від центра ваги змоченої поверхні стінки з рисунка 3.10:

h_ц = Н/2 .

Знаходимо гідростатичний тиск у центрі ваги стінки:

р_ц = р_м - ρg/2 .

Площа змоченої поверхні стінки:

S = (R+l)H/sina.

Тоді знаходимо силу надлишкового тиску на поверхню стінки АВ:

Р_AB = (р_м - ρg/2)S .

Сила Р_АВ спрямована перпендикулярно до стінки АВ і прикладена в центрі тиску, що знаходиться нижче центра ваги змоченої поверхні стінки на відстані

Δz = I_ц /S z_ц,

де I_ц = (R + 1)(Н³) /12 – центральний момент інерції;

S=(R+1)Н – площа змоченої поверхні стінки;

z_ц=Н/2 – ордината центра ваги площі S.

Тоді ордината центра тиску

z_д = z_ц + Δz.

Відстань від вільної поверхні рідини до лінії дії сили Р_АВ:

h_д = z_д / sinα .

Виберемо площину порівняння 0 - 0 і запишемо основне рівняння гідростатики:

р₀ + ρg(H + R)= p_м.

Тоді надлишковий тиск на вільній поверхні рідини:

p₀ = p_м - ρg(H+R).

Варіант 13

Котушка з намотаною на неї ниткою лежить на горизонтальній поверхні стола (рисунок 3.11) і може котитися по ній без ковзання. З якою швидкістю буде переміщуватися вісь котушки, якщо кінець нитки тягти в горизонтальному напрямку зі швидкістю . Радіус внутрішньої частини котушки r, зовнішньої – R. Які будуть швидкість і прискорення точки A?

Візьмемо и=2,5м/с, r=1см, R=4cм.

Розв’язання 1. 1 Кочення котушки по столу можна уявити як результат накладання двох одночасних незалежних рухів: переносного поступального руху всіх точок котушки з однаковими швидкостями υ₀, рівними швидкості осі котушки і відносного обертання навколо її осі з певною кутовою швидкістю ω_0. Абсолютна (результуюча) швидкість  довільної точки котушки, вилученої від її осі на відстань р, дорівнює векторній сумі швидкостей цієї точки в переносному й відносному рухах, тобто

де v = ω₀ρ – лінійна швидкість точки при круговому відносному русі.

Кутову швидкість ω₀ можна визначити з умови, що тіло котиться по поверхні без ковзання. Точка З котушки в момент зіткнення з поверхнею стола не рухається щодо стола, її абсолютна швидкість u_в = 0. Для цієї точки ρ = R й, отже, відносна швидкість руху ω₀R, спрямована вліво, дорівнює переносній швидкості v₀, спрямованої вправо, тобто

У завданні дана абсолютна швидкість точки В, и_В, що дорівнює швидкості и кінця нитки, і треба знайти переносну швидкість v₀ (абсолютну швидкість осі котушки) і швидкість и_А точки А.

Відповідно до виразів (13.1) і (13.2) з урахуванням напрямку відносних швидкостей точок У і А й того, що ρ_в = r,
 ρ_А = R, одержимо для u й и_А відповідно:

2 Переносний рух усіх точок котушки є поступальним.

Оскільки переносний рух котушки рівномірний, то для всіх точок а_п=0 й їхнє повне прискорення дорівнює відносному прискоренню а=а₀. Відносне прискорення є нормальним прискоренням у процесі рівномірного обертання котушки навколо її осі, тому. 

Розв’язання 2. 1 Рух котушки по столу є плоскопаралельним рухом твердого тіла без проковзання, тому що швидкість точки С у даний момент часу дорівнює нулю. Якщо взяти вісь, що проходить через точку С перпендикулярно до площини креслення, за миттєву вісь обертання, то кочення котушки можна уявити як безперервний ряд миттєвих поворотів навколо лінії опори з деякою кутовою швидкістю ω_с і знайти зв'язок між абсолютною швидкістю й будь-якою точкою котушки й ω_c, якщо відомо відстань х від точки до миттєвої осі обертання (і = ω_cх). З огляду на те, що для крапок В, О і А х_B=Rr, x₀=R, x_A = 2R і що абсолютна швидкість точки В дорівнює швидкості кінця нитки (и_В = и), одержимо для цих точок: 

За умовою завдання нам відомі u, R й r, тому в складених рівняннях невідомими є ω_c, υ₀ й и_А. Розв’язуючи систему щодо шуканих невідомих – швидкості переміщення осі котушки υ₀ й абсолютної швидкості и_А точки А, одержимо.

3 Незважаючи на те, що ми знайшли швидкість точки А, її прискорення не можна відразу визначити за формулою нормального прискорення, тому що нам невідомий радіус кривизни траєкторії. Варто звернути увагу, що він не дорівнює 2R, як це може показатися, а дорівнює 4R, тому для знаходження а_А потрібно діяти так само, як і в першому випадку.

При відхиленні нитки від горизонтального положення вгору – збільшенні кута між ниткою й площиною стола – кутова швидкість обертання котушки навколо миттєвої осі буде зменшуватися (оскільки зменшується відстань х при незмінній швидкості и). У тому випадку, коли нитка складе з горизонтом такий кут α₀, при якому продовження нитки становитиме через точку С (радіус х = 0), котушка буде обертатися на місці. При кутах α>α₀ котушка почне рухатися вліво.

Варіант 14

На кінцях нитки, перекинутої через блок, висять на однаковій висоті дві гирки масою m₁ = 96 м кожна. Якщо на одну з гирок покласти переважок, вся система почне рухатися і через t = 3 с відстань між гирьками стане дорівнювати h = 1,8 м. Визначте прискорення тіл, масу m₂ переважок, силу натягу нитки Т, силу тиску N переважок на гирку під час руху й силу тиску N_l на вісь блока. Нитку можна вважати невагомою й нерозтяжною, масою блока знехтувати, тертя в блоці не враховувати.

Розв’язання. У завданні треба визначити всі внутрішні сили, що діють між окремими тілами системи. Систему треба уявно «розрізати» на частині в тих місцях, де потрібно знайти ці сили, замінити дію зв'язків силами й розглянути рух кожного тіла окремо. У результаті завдання зведеться до завдання динаміки матеріальної точки.

Майже у всіх завданнях про рух вантажів на блоках робиться ряд припущень, що спрощують і набагато полегшують розв’язання. У них, якщо навіть немає на те спеціальних застережень, передбачається, що нитка, що зв'язує тягарці, невагома, нерозтяжна, й тертя на блоці відсутнє.

Нехтуючи масою нитки порівняно з масою тягарців, можна припустити (з великим ступенем точності), що їх рух рівноприскорений. Якщо не враховувати розтягання нитки, можна вважати, що в кожен момент часу тягарці на її кінцях мають однакові за величиною прискорення.

Умова про відсутність тертя на блоці дозволяє вважати дорівнюватии сили натягу нитки в будь-якому її перетині (звичайно, за умови, що її маса мізерно мала).

1. Виконуємо схематичне креслення (рисунок 3.12).

2. Рисуємо кожне тіло окремо, й розставляємо прикладені до нього сили.

На ліву гирку з боку Землі діє сила ваги , з боку нитки – сила натягу . За умовою завдання гирка піднімається прискорено, отже, Т > P₁.

Рівнодіюча прикладених сил дорівнює різниці Т – Р₁. Ця сила спрямована вертикально вгору й надає гирці прискорення . Основне рівняння динаміки в проекціях на вісь, що збігається із прискоренням лівої гирки, має вигляд 

T - m₁g = m₁a.                        (14.1) 

На переважок діє з боку Землі сила ваги  й з боку нижньої гирки – нормальна реакція опори . Переважок рухається прискорено вниз, отже, P₂>N. Рівнодіюча прикладених сил дорівнює різниці Р₂ – N. Ця сила спрямована вертикально вниз і надає переважку прискорення . Складемо основне рівняння динаміки в проекціях на вісь, що збігається із прискоренням переважка:

m₂g – N = m₂a.                (14.2)

На праву гирку діють: сила ваги , сила натягу нитки , сила нормального тиску  переважка, чисельно дорівнює силі, що діє з боку гирі на переважок. Тут часто припускаються помилки, вважаючи, що зверху на гирю діє не сила нормального тиску , а сила ваги переважка .

Рівнодіюча цих сил дорівнює P₁+N – T, вона спрямована вертикально вниз і надає тягарцю прискорення .

Основне рівняння динаміки в цьому випадку має вигляд

m₁g + N – T = m₁a.                           (14.3)

На блок діють сили натягу нитки Т униз і нормальна реакція опори  з боку осі (вгору). Під дією цих сил блок знаходиться в рівновазі, його прискорення дорівнює нулю
(а = 0), отже,

2×Т - N₁ = 0.                                       (14.4)

Нарешті, використовуючи задані характеристики руху, становимо кінематичне рівняння для одного з тягарців, з огляду на те, що за зазначений час кожен вантаж проходить відстань, удвічі меншу, ніж h:

Система рівнянь (14.1) -(14.5) містить п'ять невідомих: а, m₂, Т, N й N₁ які потрібно обчислити.

Розв’язуючи рівняння (14.1)-(14.5) спільно щодо цих величин та підставляючи числові значення, одержимо:

Варіант 15

Розрахунок обертання рідини в посудині.

Половина кулі радіусом R з горизонтальними краями наповнена доверху рідиною й обертається навколо вертикальної осі, що проходить через центр, зі швидкістю Ω. Яка кількість рідини переллється через край? При якому значенні Ω' вільна поверхня торкнеться дна половини кулі? Скільки рідини при цьому залишиться в резервуарі?

R=0,2 м,

Ω= 1000 об/хв.

Основні формули:

Об'єм параболоїда дорівнює:

де S_осн – площа основи параболоїда;

Н_пар – висота параболоїда.

Висота параболоїда:

де ω - кутова швидкість обертання.

Кутова швидкість обертання:

Розв’язання:

1 Об'єм рідини в резервуарі дорівнює об'єму півкулі за умовою 

При обертанні резервуара вільна поверхня рідини в ньому набере форми параболоїда обертання.

Об'єм параболоїда за формулою (15.1).

Оскільки рідина торкається країв резервуара, то площа основи параболоїда дорівнює площі верхнього перетину резервуара:

S_осн=π·R².

Висота параболоїда може бути визначена згідно із законом розподілу тиску в рідині й обчислюється за формулою (15.2): 

Тоді ми можемо обчислити об'єм параболоїда обертання, дорівнює об'єму рідини, що витекла:

V_{вит.рід.}=V_пар . 

2 Коли вільна поверхня рідини торкнеться дна посудини, висота параболоїда буде дорівнювати висоті посудини - радіусу півкулі: 

З формули (15.2), що зв'язує висоту параболоїда й частоту обертання посудини, можемо визначити шукану кутову частоту обертання: 

3 При торканні вільної поверхні рідини дна посудини, об'єм параболоїда з формули (15.1) буде дорівнювати: 

Тоді об'єм рідини, що залишилася, дорівнюватиме: 

Варіант 16

Розрахунок реакцій опор.

Кубічний бак поділений на дві рівні частини внутрішньою перегородкою. Обидві частини бака заповнені водою до рівня H₁=0,7 м і Н₂=1 м. Визначити реакції опор А і Б і силу, що діє на дно бака. Дано: показання манометра р=30 кПа, h_рт=73,5 мм, ρ_рт=13600 кг/м³, а=1,2 м, в=10 див. Вагою бака й вимірювальних приладів знехтувати.

Основні формули:

Вага тіла:

G =ρg,                                                                       (16.1)

де ρ - щільність тіла; V - об'єм тіла.

Основне рівняння гідростатики:

р = ро ± ρ_р gh,                                                          (16.2)

де ρ_р – щільність рідини;

р₀ – заданий тиск;

g - прискорення вільного падіння;

h - висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Рівняння рівноваги тіла:

ΣM_i = 0,                                                                     (16.3)

де М_i – i-й момент, що діє на тіло.

Розв’язання:

1 Сила, що діє на дно бака, має дві складові:

де P₁ – сила тиску води на ліву половину бака; P₂ – сила тиску води на праву половину бака.

Сила тиску на дно визначається за формулою

де S₁=S₂=a²/2 – площі основи відповідно лівої й правої половин бака; р₁, р₂ – надлишкові тиски на дно відповідно лівої й правої половин бака. Тиск на дно лівої половини бака складається з манометричного тиску й тиску рідини:

p₁ =p+ρ·g·Н₁,

де ρ=1000 кг/м³ – щільність води.

Тиск на дно правої половини бака складається з вакуумметричного тиску й тиску рідини:

p₂=p_вак + ρ·g·Н₁,

де р_вак – вакуумметричний тиск на вільній поверхні води: 

p_вак=-ρ_рт·g·h_рт . 

2 При розрахунку реакцій опор необхідно враховувати вагу води, що знаходиться в баці. Вага води в лівій і правій половинах бака відповідно визначається за формулами: 

де V₁ й V₂ – об'єми рідини в лівій і правій половинах бака відповідно, тоді

V₁=H₁·S₁, V₂=H₂·S₂.

Сили ваги води прикладені в центрах половин бака. Складемо схему дії сил на балку АБ і знайдемо реакції опор.

Умовами рівноваги балки є рівність нулю моментів зовнішніх сил, прикладених до балки, щодо будь-якої точки балки й рівність нулю результуючої сили, що діє на балку: 

Сума моментів сил щодо точки А: 

Сума моментів сил щодо точки Б: 

Звідси реакції опор знаходимо за формулами: 

Перевіримо отримані результати з умови рівності нулю результуючої зовнішньої сили: 

Варіант 17

Розрахунок обертання рідини в посудині.

Циліндрична посудина діаметром D і висотою Н, що має заглибину діаметром d, рівномірно обертається навколо вертикальної осі із частотою п (рисунок 3.13). Яка кількість рідини переллється через край, якщо він попередньо був заповнений до країв? При якому значенні п' вільна поверхня торкнеться дна посудини?

Зовнішній діаметр посудини                     D = 0,35 м.

Внутрішній діаметр отвору                                   d = 0,1 м.

Висота посудини                                        Н = 0,3 м.

Частота обертання                                       п = 250 об/хв.

Основні формули:

Об'єм параболоїда дорівнює:

де S_осн – площа основи параболоїда; Н_пар – висота параболоїда.

Висота параболоїда:

де ω - кутова швидкість обертання.

Кутова швидкість обертання:

Розв’язання:

1 Об'єм рідини в резервуарі за умовою дорівнює об'єму циліндра: 

При обертанні резервуара вільна поверхня рідини в ньому набере форми параболоїда обертання. Об'єм параболоїда за формулою (17.1): 

Оскільки рідина торкається країв отвору в резервуарі, то площа основи параболоїда дорівнює площі верхнього перетину резервуара:

Висота параболоїда може бути обчислена згідно із законом розподілу тиску в рідині й визначена за формулою (17.2): 

Тоді ми можемо обчислити об'єм параболоїда обертання, він дорівнює об'єму рідини, що витекла:

2 Коли вільна поверхня рідини торкнеться дна посудини, висота параболоїда буде дорівнювати висоті посудини: 

З формули (17.2), що зв'язує висоту параболоїда й частоту обертання посудини, можемо визначити шукану кутову частоту обертання: 

З формули (17.3) легко визначити шукану частоту обертання.

Варіант 18

Відносний рух рідини.

Посудина із квадратною підставкою l х l, що має масу m₁, наповнена водою до висоти h і ковзає по горизонтальній площині під дією тягарцю масою m₂ (рис. 3.14). Знайти висоту Н посудини, необхідну для збереження в ньому всієї води під час руху, якщо задано коефіцієнт тертя f посудини по площині ковзання.

Ширина основи посудини             l = 0,8 м.

Висота води в посудині                  h = 0,95 м.

Маса посудини                                m₁ = 0,5 кг.

Маса тягарцю                                   m₂ = 2,15 кг.

Щільність води                                р = 1000 кг/м3.

Коефіцієнт тертя                              l=0,25.

Основні формули:

Рівняння рівноваги тіла:

ΣF_i=0,                                    (18.1)

де F_i – i-тa сила, що діє на тіло.

Кут нахилу поверхні до горизонту при поступальному русі посудини з рідиною:

де a– прискорення посудини; α – кут нахилу до горизонту вектора прискорення a; g – прискорення вільного падіння.

Вага тіла:

G=mg,                                               (18.3)

де m - маса рідини;

g – прискорення вільного падіння.

Розв’язання:

З умови незмінності об'єму води в посудині необхідно, щоб вільна поверхня повернулася навколо осі а, розташованої на середині довжини посудини й нормальної до площини руху (рисунок 3.13). Необхідна висота посудини:

H = h + Δh,

де Δh - збільшення висоти рівня води в посудині, 

де β - кут нахилу поверхні рідини в посудині до горизонту.

При горизонтальному русі посудина із прискоренням а вільною поверхнею рідини нахилиться до горизонту під кутом β, обумовленим з умови (18.2): 

Прискорення посудини визначимо з рівняння руху системи посудина – вантаж (18.1) (тертям у ролику знехтуємо): 

(m₁+m_p+m₂)a=G₂-(G₁+G_p)f, 

де G₁ – вага посудини;

G₂ – вага тягарцю;

G_p – вага рідини.

Вагу визначаємо за рівнянням (18.3).

Маса рідини:

m_p = ρgh.

Прискорення посудини з рівняння руху системи посудина - вантаж:

Варіант 19

На столі лежить кубик вагою Р. До кубика прикріплений ідеально гладкий ланцюжок, що звисає зі стола. До вільного кінця ланцюжка підвішений тягарець вагою 4Р. Діючи самостійно, система починає рухатися. Визначте натяг у середині ланцюжка у той момент, коли із блока звисає 2/3 її довжини. Коефіцієнт тертя між кубиком і поверхнею стола дорівнює f, вага ланцюжка Q.

Візьмемо P=20Н, f=0,5; Q=12H.

Розв’язання.За умовою завдання потрібно визначити внутрішню силу, що діє при русі між половинками ланцюжка, тому систему можна «розрізати» у середині ланцюжка й розглянути рух кожної із частин, що утворилися, окремо.

1. Виконуємо схематичне креслення (рисунок 3.15), визначимо на ньому вектор прискорення  в той момент, коли із блока спускається 2/3 довжини ланцюжка. Рух системи буде нерівномірно прискореним зі зростаючим прискоренням, тому що за рахунок переміщення ланцюжка сила тяжіння в напрямку руху зростає.

2. Рисуємо обидві частини системи окремо, й розставляємо прикладені до них зовнішні сили; на кубик і верхню половину ланцюжка діють:  – сила ваги кубика;  – сила ваги горизонтальної частини ланцюжка;  – сила ваги звисаючої частини ланцюжка; F_тр – сила тертя;  і  – реакції стола;  – сила натягу (з боку нижньої половини ланцюжка). Під дією цих сил кубик і половина ланцюжка мають у розглянутий момент часу прискорення, спрямоване убік руху.

Відповідно до другого закону динаміки для цієї частини системи будемо мати. 

Якщо задано коефіцієнт тертя (або його треба знайти), то силу тертя необхідно уявити у вигляді F_тp = f₁ = f (оскільки в цьому випадку N₁=Р) і переписати основне рівняння більш докладно:

До тягарцю й другої половини ланцюжка прикладені: сили ваг  й і сила натягу , що діє з боку верхньої половини ланцюжка. Рівняння динаміки для цієї частини системи записується так:

Система рівнянь (19.1) - (19.2) містить дві невідомі величини а й T. Розв’язуючи їх спільно щодо шуканого невідомого - сили натягу, що діє в середині ланцюжка, одержуємо:

Варіант 20

На похилій площині, що становить із горизонтом кут α – 30°, знаходиться вантаж масою m₂ – 2 кг (рисунок 3.16). До тягарцю прив'язаний легкий шнур, перекинутий через блок, укріплений на вершині похилої площини. До іншого кінця шнура підвішена гиря масою m₂=20 кг. Діючи самостійно, система починає рухатися рівноприскорено. Визначте прискорення тягарців і силу тиску на вісь блока за умови, що коефіцієнт тертя між вантажем і площиною дорівнює f = 0,1. Масу блоку не враховувати.

Розв’язання. У завданнях про рух тіл по похилій площині рекомендується насамперед установити напрямок руху. Для цього необхідно розставити всі зовнішні сили, що діють на систему тягарців у цілому, і, розклавши їх по лінії швидкості й перпендикуляру до неї, визначити напрямок рівнодіючої. Можна легко довести, що в даному прикладі гиря буде опускатися, а вантаж підніматися по похилій площині.

1 Розглянемо рух кожного тіла окремо. На гирю діють сила ваги  й сила натягу шнура , оскільки гиря опускається прискорено, то

m₁g – T = m₁a.                                   (20.1)

2 На вантаж діють сила ваги , сила натягу шнура , сила тертя F_тр і нормальна реакція опори .

Щоб установити, які сили змінюють величину швидкості, а які – напрямок, розкладемо сили, що діють на вантаж, по дотичній і нормалі до траєкторії руху (уздовж похилої площини й перпендикуляра до неї). У цьому випадку треба розкласти тільки силу ваги , її складові за цими напрямками дорівнюють й. Під дією прикладених сил вантаж маси m₂ прискорено піднімається по похилій площині, отже,

T - m₂g sina - F_тр = m₂a

або

T - m₂g sina - fN = m₂a.                    (20.2)

У напрямку, перпендикулярному до похилої площини, швидкість тягарцю не змінюється, тому

N – m₂g cosa = 0.                              (20.3)

При складанні рівняння динаміки для тягарцю, що знаходиться на похилій площині, силу можна й не розкладати, а діяти так. Знаючи, що прискорення тягарцю, а отже, і рівнодіюча прикладених сил спрямовані вгору, але похилої площини, можна було б знайти суму сил  їх попарним додаванням і прирівняти її добутку. Іншими словами, ми могли б уявити основне рівняння динаміки у векторному вигляді і шукати вираження для модуля суми, що стоїть в лівій частині рівності. Одержали такий самий результат, що й при розкладанні сил. Однак цей спосіб вимагає більшого часу, оскільки в цьому випадку на вантаж діє порівняно багато сил.

Оскільки за умовою завдання маса блока не враховується, то можна вважати, що на нього діють тільки дві сили натягу  з боку шнура й нормальна реакція опори  з боку осі. Відповідно до третього закону Ньютона блок діє на вісь із такою самою силою , але спрямованої в протилежний бік.

Цю силу нам потрібно визначити.

Під дією прикладених сил блок знаходиться в рівновазі: його прискорення дорівнює нулю. Відповідно до другого закону динаміки повинно бути. 

Тут, як і раніше, ми могли б розкласти сили по певних двох осях і записати за ними рівняння динаміки з урахуванням того, що а=0. Однак у цьому випадку умову рівноваги простіше уявити у векторному вигляді й відразу перейти від нього до скалярного запису, додавши попередньо сили натягу за правилом паралелограма. Як бачимо із креслення, діагональ паралелограма дорівнює

або з огляду на напрямок векторів

Система рівнянь (20.1) -(20.4) містить чотири невідомі величини; Т, а, N й N₁. Розв’язуючи систему відносно а й N₁ знайдемо:

N₁ = 202 H.

Варіант 21 

До кінців легкої нитки, перекинутої через блок, укріпленої на динамометрі, підвішені два тягарці масою m₁=0,1 кг і m₂=0,2 кг. Визначте прискорення тягарців, натяг нитки й показання динамометра за умови, що блок разом з вантажами піднімається на динамометрі вгору із прискоренням а=1,2 м/сек². Масою блока й динамометра знехтувати.

Розв’язання. Розв’язання завдань динаміки, у яких тіла одночасно беруть участь у двох прискорених рухах - відносному й переносному, принципово нічим не відрізняється від тільки що розглянутих. Особливу увагу тут потрібно звернути на те, що в основному рівнянні динаміки точки під а завжди мається на увазі повне (абсолютне) прискорення щодо нерухомого тіла відліку - Землі і його доводиться уявити як суму відносного й переносного прискорень.

Якщо в складному русі беруть участь не одне, а кілька тіл (як, наприклад, у даному завданні), то незалежно від того, потрібно чи ні визначати внутрішні сили системи, рух кожного тіла необхідно розглядати окремо, оскільки вони мають різні абсолютні прискорення.

1 У даному завданні тягарці переміщаються щодо блока (відносний рух) і одночасно із цим піднімаються вгору разом із блоком (переносний рух). Виконуємо схематичне креслення (рисунок 3.17), де насамперед проставляємо вектори відносного прискорення  й переносного .

2 На лівий вантаж діють сила ваги  й сила натягу нитки . Під дією цих сил вантаж рухається вертикально вгору з деяким прискоренням  щодо нерухомого тіла відліку – Землі, тому

Модуль прискорення  пов'язаний з модулем відносного  й переносного прискорень співвідношенням

оскільки обоє ці прискорення спрямовані вгору.

На правий вантаж також діють дві сили  й , однак відразу встановити, яка з них більше, яка менше, і визначити тим самим напрямок повного прискорення  цього тягарцю не можна. Залежно від величин Р₁ і Р₂ при заданому а більший вантаж може мати відносно Землі прискорення або спрямоване вгору (при Т>Р₂), або вниз (якщо Т<P₂), або навіть знаходитися в стані спокою (при Т = Р₂).

Припустимо, що напрямок повного прискорення  збігається з напрямком відносного руху, тобто P₂>Т і вектор  спрямований униз (вантаж опускається, наближаючись до землі). Тоді рівняння руху цього тягарцю буде мати вигляд

При нашій домовленості про напрямок  відносне прискорення повинне бути більше переносного (а₀ > а) і, отже,

а₂ = а₀ - а.                                          (21.4)

Блок взаємодіє із трьома тілами: Землею, динамометром і ниткою. Основне рівняння динаміки (за умови, що маса блока дуже мала) запишеться так: 

N - 2Т=0.                               (21.5)

Розв’язуючи рівняння (21.1) -(21.5) спільно щодо шуканих невідомих (а₁, а₂, Т і N), знаходимо:

Варіант 22

Тягарці вагою Р=98 н й 2Р зв'язані легкою ниткою, перекинутою через блок, укріплений на краю горизонтальної площини (рисунок 3.17). Система знаходиться в рівновазі на межі ковзання. Якими будуть прискорення більшого тягарцю й натяг нитки, якщо площина почне рухатися в горизонтальному напрямку із прискоренням а = 3 м/с².

Розв’язання.Перш ніж приступити до безпосереднього розв’язання завдання, необхідно з'ясувати, що буде відбуватися з вантажами при прискореному русі площини.

Оскільки взаємодія тягарцю із площиною в горизонтальному напрямку здійснюється тільки за рахунок тертя, сама більша сила, з якої площина може діяти на вантаж уздовж поверхні зіткнення, дорівнює максимальній силі тертя у стані спокою f. Саме із цією силою площина й діє на вантаж A у бік, протилежний напрямку його можливого руху, тобто вправо, коли вантаж знаходиться на межі ковзання. Якщо до площини прикласти деяку силу й надати їй вправо прискорення  , то площина не зможе захопити за собою вантаж А з прискоренням , оскільки сила взаємодії між ними вже мала максимальне значення, дорівнює f і при незмінних f й N збільшитися не може. У результаті вантаж A почне перемішатися щодо площини з певним прискоренням , спрямованим протилежно . Як тільки вантаж А почне в рухатися щодо площини, вантаж У стане опускатися.

Щодо нерухомої системи відліку (наприклад, поверхні Землі) кожен вантаж буде брати участь у складному русі, яке можна уявити як результат двох рівноприскорених переміщень – руху разом із площиною відносно Землі із прискоренням  (переносний рух) і руху щодо самої площини із прискоренням  (відносний рух).

Повне прискорення кожного тягарцю стосовно Землі буде дорівнювати векторній сумі прискорень  й .

Виконуємо схематичне креслення для двох станів системи: коли вона знаходиться на межі ковзання (рисунок 3.18а) і коли їй надано перекісного прискорення (рисунок 3.18б). Проставляємо вектори переносного  й відносного  прискорень і розставляємо діючі сили. У першому випадку систему розглянемо повністю, у другому – «розріжемо» на частини, оскільки потрібно визначити внутрішню силу (силу натягу) і, крім того, повні прискорення тягарців неоднакові.

У першому випадку прискорення системи дорівнює нулю, і основне рівняння динаміки для неї таке:

P - F_тр = 0,

або з огляду на те, що F_TР = f, a N = 2Р, одержимо

Р - 2f = 0,

звідси f= 0,5.

Умова про знаходження тягарцю на межі ковзання є допоміжною; вона дозволяє визначити коефіцієнт тертя ковзання, що надалі буде потрібним.

Розглянемо другий випадок. На вантаж А діє сила ваги, сила натягу нитки , сила тертя ковзання `F_тр  й нормальна реакція. Припустимо, що Т > F_тр і вектор повного прискорення цього тягарцю  спрямований до блока. Тоді основне рівняння динаміки для тягарцю А буде мати вигляд:

T - F_тр = 2ma_1, або T – f = 2ma₁.

У напрямку нормалі прискорення немає, отже,

T - f2P = 2ma₁.                              (22.1)

Оскільки ми вважаємо, що вектор  спрямований до блока, то відносне прискорення повинне бути більшим переносного, тобто

a₁ = a₀ - a.                              (22.2)

На вантаж В діють сила ваги  й сила натягу нитки , спрямована під певним кутом а до вертикалі. Під дією прикладених сил вантаж одночасно бере участь у двох рівноприскорених рухах: переносному (разом з усією системою) та відносному (уздовж напрямку нитки). Прискорення в цих рухах дорівнюють відповідно  й . Щоб виявити причини появи прискорень, необхідно розкласти діючі сили по горизонтальним напрямком й уздовж нитки. У цьому випадку потрібно розкласти тільки силу , її складові за цими напрямками дорівнюють  й .

Відповідно до другого закону динаміки рівняння руху для цих напрямків будуть мати вигляд

Р tgα = та                             (22.3)

З рівняння (22.3) випливає, що tgα = a/g, тобто кут нахилу нитки до вертикалі при прискореному русі точки підвісу визначається лише горизонтальним прискоренням а системи (у нас a=a_П). Цей результат має загальний характер і його корисно запам'ятати.

Виключаючи з рівнянь (22.1) -(22.4) tgα, cosα, а₀ і розв’язуючи їх щодо шуканих невідомих a₁ і Т, маємо:

Варіант 23 

Важке тіло знаходиться на вершині похилої площини на межі ковзання (рисунок 3.19). За який час тіло спуститься з похилої площини, якщо вона стане рухатися в горизонтальному напрямку із прискоренням а=0,5 м/с²? Довжина похилої площини l=1м, кут нахилу її до горизонту дорівнює а=30°.

Розв’язання. У завданні розглядаються два стани тіла: перше, коли воно знаходиться на межі ковзання, друге - у рівноприскореному русі.

Умова про знаходження тіла на межі ковзання має допоміжне значення. Вона дозволяє визначити коефіцієнт тертя ковзання між тілом і площиною.

1 Для визначення f (це самостійне завдання) потрібно скласти основне рівняння динаміки з урахуванням того, що прискорення тіла дорівнює нулю.

На тіло, що знаходиться на похилій площині, діють сила ваги , реакція опори  й сила тертя  (рисунок 3.18а). Розклавши сили, що діють на тіло, за напрямком можливого переміщення (уздовж похилої площини) і напрямку, перпендикулярного до його (по нормалі до площини), можна записати:

P sinα – F_тр = 0; N – Pcosα = 0,

причому F_TР = f, оскільки тіло знаходиться на межі ковзання.

Розв’язуючи рівняння спільно щодо коефіцієнта тертя, знаходимо

f = tgα.

Отримана формула для коефіцієнта тертя ковзання має місце лише для випадку, коли тіло рівномірно ковзає по похилій площині або знаходиться на межі ковзання. Якщо кут нахилу площини більше або менше граничного, користуватися цією формулою для визначення f (або α) не можна.

2 Надаючи горизонтального прискорення похилій площині, ми тим самим як би виймаємо її з-під тягарцю й зменшуємо силу тиску площини на вантаж у напрямку нормалі. У результаті сила нормального тиску , а отже, і сила тертя, що перешкоджає ковзанню тягарцю по площині, зменшується: складова  стане більшою , й вантаж почне переміщатися щодо площини з деяким прискоренням .

Рух тягарцю щодо нерухомого тіла відліку (наприклад, Землі) буде складним, але воно складається із двох прямолінійних рухів – переносного із прискоренням  (разом з похилою площиною) і відносного із прискоренням  уздовж похилої площини.

На вантаж, що знаходиться в прискореному русі, діють ті самі сили, що й при його рівновазі:  (рисунок 3.18б).

Щоб складний криволінійний рух вантажу уявити як два прямолінійних, розкладемо сили й кінематичні характеристики руху за певними двома взаємно перпендикулярними напрямками. Ці напрямки зручно вибрати уздовж похилої площини й по нормалі до неї. При такому виборі напрямків треба розкласти силу  на складові  й  і вектор переносного прискорення  на складові  й .

Під дією прикладених сил тіло прискорено опускається по похилій площині, маючи уздовж її деяке прискорення , яке відраховується відносно нерухомого тіла відліку – Землі. Це прискорення надає тілу всіх результуючих сил, що діють уздовж похилої площини. Вище зазначалося, що Р sinα > f, тому 

m g sinα - f = m a₁.                            (23.1)

Переміщення тіла із прискоренням а₁, можна розглядати як таке, що складається із двох рухів: руху щодо похилої площини із прискоренням  і руху в протилежний бік разом із площиною із прискоренням . Тому

a₁ = a₀ - a cosα.                                  (23.2)

У напрямку нормалі до похилої площини остання має прискорення . Таке саме прискорення у цьому напрямку має й тіло, тому що за змістом завдання воно увесь час перебуває на площині, не відриваючись від її.

Нормальне прискорення  виникає у вантажу внаслідок того, що при прискореному русі площини реакція  стає менше за складову силу ваги . За другим законом Ньютона

m g cosα - N=m a sinα.                      (23.3)

На завершення залишається записати кінематичне рівняння, звернувши увагу на те, що тіло щодо похилої площини рухається із прискоренням а₀:

Рівняння (23.1) -(23.4) містять чотири невідомі величини: a_l, а₀, N й t. Розв’язуючи їх спільно для часу спускання тіла з похилої площини, одержимо. 

Варіант 24

Розрахунок надлишкового тиску в посудині.

Заповнений атмосферним повітрям тонкостінний резервуар із квадратною основою а ´ а, висотою Н з товщиною дна δ (рис. 3.20а) опустився в морську воду під дією власної ваги (рисунок 3.20). Стиснення повітря в посудині при цьому відбувалося за ізотермічним законом. Знайти глибину заповнення посудини водою h. Барометрична висота дорівнює h_б. Матеріал резервуара – титановий сплав (щільність ρ_т).

Ширина основи посудини             а = 0,65 м.

Висота посудини                             Н = 0,5 м.

Товщина дна                                    δ = 0,03 м.

Барометрична висота                      h_б = 730 мм рт. ст.

Щільність титану                             ρ_т = 4460 кг/м³.

Щільність ртуті                                r_рт = 13600 кг/м³.

Основні формули:

Основне рівняння гідростатики:

p = p₀ ± ρ_рgh,                         (24.1)

де ρ_р – щільність рідини;

р₀ – заданий тиск;

g – прискорення вільного падіння;

h – висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Рівняння рівноваги тіла:

де F_i – i-та сила, що діє на тіло.

Вага тіла:

де ρ – щільність тіла; V – об'єм тіла.

Сила гідростатичного тиску рідини на стінку посудини:

де ρ_р – щільність рідини;

h_c – висота стовпа рідини над центром ваги стінки посудини;

S_cm – площа стінки посудини, змочена рідиною.

Рівняння ізотермічного стиснення газу:

р_гV_г = const,                                      (24.5)

де р_г – тиск газу; V_г – об'єм газу.

Розв’язання:

Атмосферний тиск знаходиться з основного рівняння гідростатики (24.1): 

Рівняння рівноваги плаваючої посудини за умовою рівноваги тіла (24.2):

G_с = F_в,

де G_c = ρ_тgV_c – вага посудини;

V_c = а²δ - об'єм матеріалу посудини;

F_в = ра² – тиск повітря на дно посудини зсередини;

р - надлишковий тиск повітря в посудині. Тоді рівняння рівноваги посудини після спрощення буде мати вигляд:

ρ_т g δ = р.

Тиск у будь-якій точці рідини у стані спокою визначається за допомогою основного рівняння гідростатики (24.1). Для площини порівняння 0-0, що проходить по змоченому торцю посудини, основне рівняння гідростатики має вигляд 

або, спростивши, одержимо 

Рівняння ізотермічного стиснення повітря в посудині (24.5): 

p₁V₁ = p₂V_2, 

де p₁ = р_ат – абсолютний тиск повітря до стиснення;

р₂ = р + р_ат – абсолютний тиск повітря після стиснення;

V₁ = а²Н – внутрішній об'єм посудини до занурення;

V₂ = а²(Н - h_в) – внутрішній об'єм посудини після занурення.

Тоді після підстановки рівняння ізотермічного стиснення має вигляд 

Звідси виразимо висоту заповнення посудини при зануренні h_в:

h_в = рН/(р_ат+р).

Підставимо рівняння для h_в у рівняння для р й одержимо 

Варіант 25

Розрахунок надлишкового тиску в посудині.

Заповнений атмосферним повітрям тонкостінний резервуар із квадратною основою а´ а, висотою Н, з товщиною дна δ (рис. 3.21а) опустився в морську воду під дією власної ваги на глибину h = H (рисунок 3.21б). Стиснення повітря в посудині при цьому відбувалося за ізотермічним законом. Знайти величину додаткової ваги G, необхідної для занурення на глибину h = H, і сталого при цьому надлишкового тиску. Барометрична висота дорівнює h_б. Матеріал резервуара – титановий сплав (щільність ρ_т).

а = 0,55 м;

Н = 0,45 м;

d = 0,05 м;

h_б = 745 мм рт. ст.;

ρ_т = 4460 кг/м³;

ρ_рт = 13600 кг/м³;

ρ_р =1300 кг/м³.

Основні формули:

Основне рівняння гідростатики:

p = p₀ ± p_рgh,                         (25.1)

де ρ_р – щільність рідини;

р₀ – заданий тиск;

g - прискорення вільного падіння;

h - висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Рівняння рівноваги тіла:

ΣF_i=0,                                    (25.2)

де F_i – i-та сила, що діє на тіло.

Вага тіла:

G=ρgV           ,                                   (25.3)

де r - щільність тіла; V - об'єм тіла.

Сила гідростатичного тиску рідини на стінку посудини:

де ρ_р – щільність рідини;

h_c – висота стовпа рідини над центром ваги стінки посудини;

S_cm – площа стінки посудини, змочена рідиною.

Рівняння ізотермічного стиснення газу:

р_гV_г = const,                          (25.5)

де p_г – тиск газу; V_г – об'єм газу.

Розв’язання:

Атмосферний тиск обчислюється з основного рівняння гідростатики (25.1):

р_ат = р_рт gh_б.

Рівняння рівноваги плаваючої посудини за умовою рівноваги тіла (25.2):

G_с+G = F_в,

де G_c=ρ_тgV_c – вага посудини;

V_c=а²δ - об'єм матеріалу посудини;

F_в = ра² – тиск повітря на дно посудини зсередини;

р - надлишковий тиск повітря в посудині.

Тоді рівняння рівноваги посудини після спрощення буде мати вигляд

G = а²(р - ρ_тgδ).

Тиск у будь-якій точці рідини в стані спокою визначається за допомогою основного рівняння гідростатики (25.1). Для площини порівняння 0-0, що проходить по змоченому торцю посудини, основне рівняння гідростатики має вигляд 

або, спростивши, одержимо 

Рівняння ізотермічного стиснення повітря в посудині (25.5):

P₁V₁ = p₂V₂,

де p₁ = р_ат – абсолютний тиск повітря до стиснення;

р₂=р+ р_ат – абсолютний тиск повітря після стиснення;

V₁= а²Н – внутрішній об'єм посудини до занурення;

V₂ = а² (Н - h) – внутрішній об'єм посудини після занурення.

Тоді після підстановки рівняння ізотермічного стиснення має вигляд

Звідси виразимо висоту заповнення посудини при зануренні h_в:

h_в = рН/(р_ат+р).

Підставимо рівняння для h у рівняння для р й одержимо

Звідси надлишковий тиск повітря в посудині 

Перетворимо це вираження й одержимо квадратне рівняння для надлишкового тиску повітря в посудині: 

Варіант 26 

Розрахунок надлишкового тиску в посудині.

Заповнений атмосферним повітрям тонкостінний резервуар із квадратною основою а ´ а, висотою Н, з товщиною дна d (рисунок 3.22а) опустився у воду під дією власної й додаткової ваги на глибину h = H (рисунок 3.22б). Стиснення повітря в посудині при цьому відбувалося за ізотермічним законом. Знайти величину додаткової ваги G і висоту заповнення посудини при зануренні h_в. Барометрична висота дорівнює h_б. Матеріал резервуара – титановий сплав (щільність ρ_т).

а = 0,6 м;

Н = 0,55 м;

d = 0,04 м;

h_g = 740 мм рт. ст.;

ρ_т = 4460 кг/м³;

ρ_рт = 13600 кг/м³;

ρ_ж = 1000 кг/м³.

Основні формули:

Основне рівняння гідростатики:

p = p₀ ± ρ_рgh                                      (26.1)

де ρ_р – щільність рідини;

р₀ – заданий тиск;

g – прискорення вільного падіння;

h – висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Рівняння рівноваги тіла:

ΣF_i = 0                                                           (26.2)

де F_i – i-та сила, що діє на тіло.

Вага тіла:

G = ρg V,                                           (26.3)

де ρ - щільність тіла; V - об'єм тіла.

Сила гідростатичного тиску рідини на стінку посудини:

де ρ_р – щільність рідини;

h_c – висота стовпа рідини над центром ваги стінки посудини;

S_cm – площа стінки посудини, змочена рідиною.

Рівняння ізотермічного стиснення газу:

р_гV_г = const,                                      (26.5)

де p_г – тиск газу; V_г – об'єм газу.

Розв’язання:

Атмосферний тиск визначається з основного рівняння гідростатики (26.1):

р_ат = ρ_ртgh_б.

Рівняння рівноваги плаваючої посудини за умовою рівноваги тіла (2):

G_с+G = F_в,

де G_c = ρ_тgV_c – вага посудини;

V_c = а²δ - об'єм матеріалу посудини;

F_в = ра² – тиск повітря на дно посудини зсередини;

р - надлишковий тиск повітря в посудині.

Тоді рівняння рівноваги посудини після спрощення буде мати вигляд

G = а²(р - ρ_тgδ).

Тиск у будь-якій точці рідини у стані спокою визначається за допомогою основного рівняння гідростатики (26.1). Для площини порівняння 0-0, що проходить по змоченому торцю посудини, основне рівняння гідростатики має вигляд 

або, спростивши, одержимо 

Рівняння ізотермічного стиснення повітря в посудині (26.5):

р₁V₁ = p₂V₂,

де p₁ = р_ат – абсолютний тиск повітря до стиснення;

р₂=р+ р_ат – абсолютний тиск повітря після стиснення;

V₁ = а²Н – внутрішній об'єм посудини до занурення;

V₂ = а²(Н - h_в) – внутрішній об'єм посудини після занурення.

Тоді після підстановки рівняння ізотермічного стиснення має вигляд 

Звідси виразимо висоту заповнення посудини при зануренні h_в:

h_в = рН/(р_ат+р).

Підставимо рівняння для h_в у рівняння для р й одержимо 

Звідси надлишковий тиск повітря в посудині: 

Перетворимо це вираження й одержимо квадратне рівняння для надлишкового тиску повітря в посудині:

Варіант 27

Розрахунок сил тиску рідини на плоску стінку.

Визначити сили тиску рідини на плоску стінку АВ (рисунок 3.23). Знайти точки прикладання векторів сил. Розмір резервуара в напрямку, перпендикулярного до площини рисунка, дорівнює 2(R + 1) м. Рідина - гас.

Радіус сфери                                     R = 0,5 м.

Висота стінки                                              Н = 1 м.

Кут нахилу стінки                           α = 90 °.

Щільність гасу                                 ρ = 800 кг/м³.

Манометричний тиск                     Р_м = 0,02 МПа.

Основні формули:

Сила гідростатичного тиску рідини на стінку посудини:

F_р=p_цS_cm,                                            (27.1)

де р_ц – тиск рідини в центрі ваги стінки; S_cm – площа стінки посудини, змочена рідиною.

Основне рівняння гідростатики:

p = p₀ ± ρ_рgh,                                     (27.2)

де ρ_р – щільність рідини;

р_о – заданий тиск;

g – прискорення вільного падіння;

h – висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Рівняння рівноваги тіла:

ΣM₁ = 0,                                             (27.3)

де M_i – i-й момент, що діє на тіло.

Розв’язання:

Сила тиску рідини на плоску стінку визначається за формулою (27.1)

P_AB=p_ц,

де р_ц = р₀ + ρgh_ц – гідростатичний тиск у центрі ваги стінки, визначається з основного рівняння гідростатики (27.2);

r - щільність гасу;

р₀ – гідростатичний тиск на вільній поверхні рідини;

h_ц – глибина занурення центра ваги змоченої поверхні стінки;

S - площа стінки.

Запишемо основне рівняння гідростатики: 

Тоді надлишковий тиск на вільній поверхні рідини: 

Глибина занурення центра ваги змоченої поверхні стінки з рисунка 3.23: 

Площа змоченої поверхні стінки: 

Тоді знаходимо силу надлишкового тиску на змочену поверхню стінки АВ: 

Сила Р_AB спрямована перпендикулярно до стінки АВ і прикладена в центрі тиску, що знахордиться нижче центра ваги змоченої поверхні стінки на відстані 

де I_ц = 2(R + 1)Н³/12 – центральний момент інерції;

S = 2(R + 1)Н - площа змоченої поверхні стінки;

z_ц = Н/2 – ордината центра ваги площі S.

Тоді ордината центра тиску:

z_д – z_ц + Δz.

Відстань від вільної поверхні рідини до лінії дії сили Р_AB:

Варіант 28

Розрахунок сил тиску рідини на криволінійну поверхню.

Визначити сили тиску рідини на криволінійну поверхню резервуара (рисунок 3.24). Знайти точки прикладання векторів сил. Розмір резервуара в напрямку, перпендикулярного до площини рисунка, дорівнює 2(R + 1) м. Рідина - гас.

Радіус сфери                         R = 0,5 м.

Висота стінки                                  Н = 1 м.

Кут нахилу стінки               α = 90 °.

Щільність гасу                     ρ = 800 кг/м³.

Манометричний тиск          Р_м = 0,02 МПа.

Рисунок 3.24 – Розрахункова схема

Основні формули:

Сила тиску рідини на криволінійну стінку обчислюється з рівняння

де F_г = p_cS_B – горизонтальна складова сили тиску;

р_с – гідростатичний тиск у центрі ваги вертикальної проекції стінки;

S_B – вертикальна проекція стінки;

F_B = ρ_рgV_тд – вертикальна складова сили тиску;

Ρ_р – щільність рідини;

V_тд – об'єм тіла тиску.

Основне рівняння гідростатики:

p = p₀ ± ρ_рgh,                         (28.2)

де ρ_р – щільність рідини;

р₀ – заданий тиск;

g - прискорення вільного падіння;

h - висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Рівняння рівноваги тіла:

ΣM_i=0,                                               (28.3)

де M_i – і-й момент, що діє на тіло.

Розв’язання:

Запишемо основне рівняння гідростатики: 

Тоді надлишковий тиск на вільній поверхні рідини: 

Сила тиску рідини на криволінійну стінку обчислюється з рівняння (28.1): 

де F_г = p_cS_B – горизонтальна складова сили тиску;

р_с – гідростатичний тиск на рівні центра ваги вертикальної проекції змоченої поверхні стінки;

h_c=R/2 – глибина занурення центра ваги вертикальної проекції змоченої поверхні стінки;

S_B = R(2R+1) – вертикальна проекція стінки;

F_B = ρgV_тд – вертикальна складова сили тиску;

V_тд – об'єм тіла тиску.

Тиск у центрі ваги вертикальної проекції стінки знайдемо з основного рівняння гідростатики (28.2): 

Сила F_г прикладена на відстані h від вільної поверхні рідини: 

де I_c = (2R+1)R³/12 – центральний момент інерції.

З рис.3.34 бачимо, що об'єм тіла тиску дорівнює:

Варіант 29

Розрахунок сил тиску рідини на плоску стінку.

Визначити сили тиску рідини на плоску стінку АВ (рисунок 3.25). Знайти точки прикладання векторів сил. Розмір резервуара в напрямку, перпендикулярного до площини рисунка, дорівнює 2(R + 1) м. Рідина - гас.

Радіус сфери                                     R = 0,25 м.

Висота стінки                                              Н = 1 м.

Кут нахилу стінки                           α = 90 °.

Щільність гасу                                 ρ = 800 кг/м³.

Манометричний тиск                     Р_м = 0,01 МПа.

Основні формули:

Сила гідростатичного тиску рідини на стінку посудини:

F_р=p_цS_cm,                                (29.1)

де р_ц - тиск рідини в центрі ваги стінки;

S_см - площа стінки посудини, змочена рідиною.

Основне рівняння гідростатики:

p = p₀ ± ρ_рgh,                         (29.2)

де ρ_р – щільність рідини;

р_о – заданий тиск;

g – прискорення вільного падіння;

h – висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Рівняння рівноваги тіла:

ΣM_i = 0,                                 (29.3)

де Mi – i-й момент, що діє на тіло.

Розв’язання:

Сила тиску рідини на плоску стінку визначається за формулою (29.1), у якій тиск визначається з основного рівняння гідростатики (29.2): 

де р_ц – гідростатичний тиск у центрі ваги стінки;

ρ - щільність гасу;

h_ц – глибина занурення центра ваги змоченої поверхні стінки;

S - площа стінки.

Глибина занурення центра ваги змоченої поверхні стінки з рисунка 3.25:

h_ц = Н/2 .

Площа змоченої поверхні стінки: 

Сила Р_AB спрямована перпендикулярно до стінки АВ і прикладена в центрі тиску, що знаходиться нижче центра ваги змоченої поверхні стінки на відстані 

де I_ц = 2(R + 1)Н³/12 – центральний момент інерції;

S = 2(R + 1)Н - площа змоченої поверхні стінки;

z_ц = Н/2 – ордината центра ваги площі S.

Тоді ордината центра тиску

z_д = z_ц + Δz.

Відстань від вільної поверхні рідини до лінії дії сили Рдв:

Варіант 30

Розрахунок сил тиску рідини на криволінійну поверхню.

Визначити сили тиску рідини на криволінійну поверхню резервуара (рисунок 3.26). Знайти точки прикладання векторів сил. Розмір резервуара в напрямку, перпендикулярного до площини рисунка, дорівнює 2(R + 1) м. Рідина – гас.

Геометричний розмір                      а = 0,6 м.

Радіус сфери                                     R = 1,4 м.

Висота стовпа ртуті                        h = 0,6 м.

Щільність гасу                                 ρ = 800 кг/м³.

Щільність ртуті                                ρ_рт = 13600 кг/м³.

Основні формули:

Сила тиску рідини на криволінійну стінку обчислюється з рівняння:

де F_г = p_cS_B – горизонтальна складова сили тиску;

р_с - гідростатичний тиск у центрі ваги вертикальної проекції стінки;

S_B – вертикальна проекція стінки;

F_B =ρ_рgV_тд – вертикальна складова сили тиску;

ρ_р – щільність рідини;

V_тд – об'єм тіла тиску.

Основне рівняння гідростатики:

p = p₀ ± ρ_рgh,                         (30.2)

де ρ_р – щільність рідини;

р₀ – заданий тиск;

g – прискорення вільного падіння;

h – висота стовпа рідини від площини, де заданий тиск.

Рівняння рівноваги тіла:

ΣM_i=0,                                               (30.3)

де M_i – i-й момент, що діє на тіло.

Розв’язання:

Сила тиску рідини на криволінійну стінку обчислюється з рівняння (1) 

де F_г = p_cS_B – горизонтальна складова сили тиску;

р_с – гідростатичний тиск на рівні центра ваги вертикальної проекції змоченої поверхні стінки;

h_c=Н+4R/(3π) – глибина занурення центра ваги вертикальної проекції змоченої поверхні стінки;

S_B = πR²/2 – вертикальна проекція стінки;

F_B = ρgV_тд – вертикальна складова сили тиску;

V_тд – об'єм тіла тиску.

Тиск у центрі ваги вертикальної проекції стінки знайдемо з основного рівняння гідростатики (30.2): 

Сила F_г прикладена на відстані h від вільної поверхні рідини. 

де I_c = (9π²-64)R⁴/(72 π) – центральний момент інерції.

З рис.3.26 бачимо, що об'єм тіла тиску дорівнює. 

4. ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ

4.1 Приклад виконання розрахунків

Завдання. Велосипедист їхав з одного міста в інше. Половину шляху він проїхав зі швидкістю v₁ = 12 км/год. Далі половину часу, що залишився, він їхав зі швидкістю
v₂ = км/год, а потім до кінця шляху йшов пішки зі швидкістю
v₃ = 4 км/год. Визначите середню швидкість велосипедиста на всьому шляху.

4.1.1 Приклад розрахунку засобами Excel

У комірки А2:А4 вводимо назви початкових даних (фізичних величин) та їх спрощені назви. У комірки В2:В4 заносимо значення початкових величин, далі у комірках С2:С4 зазначаємо їх розмірність (рисунок 4.1).

У комірки А9:А14 вводимо назву основних формул, в комірки В9:В14 – їх математичний вираз, комірки С9:С14 заповнюємо розмінностями основних величин (рисунок 4.2).

Застосовуючи формулу знаходження середньої швидкості та початкові дані, розрахуємо середню швидкість. Для цього в комірку А18 введемо назву фізичної величини. У комірку В18 вводимо знак рівності для того, щоб ввести формулу розрахунку середньої швидкості. Посилаючись на введені значення початкових величин, заданих у таблиці 1, розрахуємо середню швидкість у комірці В18 (рисунок 4.3).

4.1.2 Приклад розрахунку засобами MathCAD

Вводимо початкові дані (рисунок 4.4). 

Примітка. Фізичним величинам їх значення та розмірність задаємо спочатку за допомогою оператора := та команди MathCad «Вставить единицы измерения» відповідно до рисунка 4.5.

На наступному етапі вводимо основні розрахункові формули (рисунок 4.6). 

Наступним кроком є введення результуючих формул. Для цього введіть назву шуканої величини, знак присвоєння (:=), далі наберіть величини, які використовуються у формулі (ті, які раніше були описані). 

Примітка. Для введення формул користуйтеся панелями інструментів програми MathCAD “Арифметика” . Для введення літер грецького алфавіту користуйтеся панеллю інструментів «Греческий алфавит» . Якщо даних панелів інструментів немає на робочому просторі вікна програми MathCAD, їх можна викликати за допомогою команди меню Вид\Панели инструментов. 

Для виведення результату на екран введіть шукану величину та натисніть знак рівності. Для зазначення необхідної розмірності скористайтеся командою MathCad «Вставить единицы измерения». Для цього поставте курсор після результуючого числа, введіть розмірність та натисніть клавішу F9. Маємо результат (рисунок 4.7).

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Лященко М. Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник.—К.: Либідь, 1996. - 288 с.

2. Інформатика. Комп'ютерна техніка. Комп'ютерні технології: Підручник .-К.:Каравела, 2003 .-464 с.

3. Кирьянов Д. Самоучитель Mathcad 11.- С.-Пб.:БХВ, 2003.-561 с.

4. Глущенко Л.О., Тиркусова Н.В. Робота з електронними таблицями та базами даних: Навчальний посібник. - Суми, Вид-во СумДУ, 2006. - 101с.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!