Методичні вказівки до лабораторної роботи 3 на тему Моделювання ризиків методом «Монте-Карло»

Мета роботи

Застосування методу імітаційного моделювання Монте-Карло для вирішення задач аналізу ризиків.

Теоретичні відомості

Аналіз ризиків з використанням методу моделювання Монте-Карло являє собою сполучення методів аналізу чутливості й аналізу сценаріїв. Це досить складна методика, що має під собою, як правило, комп'ютерну реалізацію.

Ідея методу Монте-Карло базується на заміні експериментів над реальними об’єктами експериментами над їхніми моделями. У переважній більшості випадків саме відсутність статистичних даних не дозволяє зробити аналіз і прогноз реального процесу. Метод Монте-Карло дає можливість одержати аналог таких даних, беручи їх не з життя, а з псевдореального функціонування моделі.

Основний принцип, що лежить в основі методу Монте-Карло, полягає в такому: реальні статистичні дані замінюються даними, отриманими на основі вибірки з чисел, що підкоряються тим самим законам розподілу, що й реальні.

Імітаційне моделювання за методом Монте-Карло дозволяє побудувати математичну модель для проекту з невизначеними значеннями параметрів, і, знаючи ймовірність розподілу параметрів проекту, а також зв'язок між змінами параметрів (кореляцію), одержати розподіл прибутковості проекту.

Метод імітаційного моделювання Монте-Карло створює додаткову можливість при оцінці ризику за рахунок того, що робить можливим створення випадкових сценаріїв. Застосування аналізу ризику використовує багатство інформації, будь вона у формі об'єктивних даних або оцінок експертів, для кількісного опису невизначеності, існуючої відносно основних змінних проекту, і для обґрунтованих розрахунків можливої дії невизначеності на ефективність інвестиційного проекту. Результат аналізу ризику виражається не якимсь єдиним значенням конкретного фінансового показника, а у вигляді розподілу вірогідності всіх можливих значень цього показника. Отже, потенційний інвестор, за допомогою методу Монте-Карло буде забезпечений повним набором даних, що характеризують ризик проекту. На цій основі він зможе ухвалити зважене рішення про надання засобів.

У загальному випадку імітаційне моделювання Монте-Карло - це процедура, за допомогою якої математична модель визначення якого-небудь фінансового показника піддається ряду імітаційних прогонів за допомогою комп'ютера. У ході процесу імітації будуються послідовні сценарії з використанням початкових даних, які за значенням проекту є невизначеними, і тому в процесі аналізу вважаються випадковими величинами. Процес імітації здійснюється так, щоб випадковий вибір значень з певних розподілів вірогідності не порушував існування відомих або передбачуваних відносин кореляції серед змінних. Результати імітації збираються і аналізуються статистично, з тим, щоб оцінити міру ризику.

Процес аналізу ризику може розбиватись на наступні стадії (див рис 4.1). 

Перша стадія в процесі аналізу ризику - це створення прогнозної моделі. Така модель визначає математичні відносини між числовими змінними, які відносяться до прогнозу вибраного фінансового показника. Як базова модель для аналізу інвестиційного ризику, як правило, використовується модель розрахунку конкретного фінансового показника (зазвичай NPV).

Загальна прогнозна модель імітується таким чином. ґенерується достатньо велика кількість випадкових сценаріїв, кожний з яких відповідає певним значенням грошових потоків. Сценарії, що зґенерували, збираються разом і здійснюється їх статистичне опрацювання для встановлення частки сценаріїв, які відповідають негативному значенню конкретного фінансового показника. Відношення таких сценаріїв до загальної кількості сценаріїв дає оцінку ризику інвестицій.

Розподіли вірогідності змінних моделі (грошових потоків) диктують можливість вибору величин з певних діапазонів. Такі розподіли є математичними інструментами, за допомогою яких додається вага всім можливим результатам. Цим контролюється випадковий вибір значень для кожної змінної в ході моделювання.

Необхідність застосування розподілу вірогідності обумовлена спробами прогнозування майбутніх подій. При звичайному аналізі інвестицій використовується один тип розподілу вірогідності для всіх змінних, включених в модель аналізу. Такий тип називають детермінованим розподілом вірогідності, і він додає всю вірогідність одному значенню. При оцінці наявних даних аналітик обмежений вибором єдиного з безлічі можливих результатів або розрахунком зведеного показника. Потім аналітик повинен прийняти, що вибране значення обов'язково реалізується, тобто він додає вибраному найобгрунтованішим чином показнику з єдиним значенням вірогідність, рівну 1. Оскільки такий розподіл вірогідності має єдиний результат, підсумок аналітичної моделі можна визначити на підставі лише одного розрахунку (або одного прогону моделі).

В аналізі ризиків використовується інформація, що міститься в розподілі вірогідності з множинними значеннями. Саме використовування множинних значень замість детермінованих розподілів вірогідності і відрізняє імітаційне моделювання від традиційного підходу.

Визначення випадкових змінних і надання їм відповідного розподілу вірогідності є необхідною умовою проведення аналізу ризиків. Успішно завершивши ці етапи, можна перейти до стадії моделювання. Проте безпосередній перехід до моделювання буде можливий тільки в тому випадку, якщо буде встановлена кореляція в системі випадкових змінних, включених в модель. Під кореляцією розуміється випадкова залежність між змінними, яка не має строго визначеного характеру, наприклад, залежність між ціною реалізації товару і обсягом продажів.

Наявність в моделі аналізу корельованих змінних може спричинити серйозні спотворення результатів аналізу ризику, якщо ця кореляція не враховується. Фактично, наявність кореляції обмежує випадковий вибір окремих значень для корельованих змінних. Дві корельовані змінні моделюються так, що при випадковому виборі однієї з них інша вибирається не довільно, а в діапазоні значень, який керується змодельованим значенням першої змінної.

Хоча дуже рідко можна об'єктивно визначити точні характеристики кореляції випадкових змінних в моделі аналізу, на практиці є можливість встановити напрям таких зв'язків і передбачувану силу кореляції. Для цього застосовують методи регресійного аналізу. У результаті цього аналізу розраховується коефіцієнт кореляції, який може приймати значення від -1 до +1.

Стадія "прогонів моделі" є тією частиною процесу аналізу ризику, на якій всю рутинну роботу виконує комп'ютер. Після того, як всі допущення ретельно обґрунтовані, залишається тільки послідовно прораховувати модель (кожний перерахунок є одним "прогоном") доти, поки буде отримано достатньо значень для ухвалення рішення (наприклад більше 1000).

У процесі моделювання значення змінних вибираються випадково у межах заданих діапазонів і відповідно до розподілів вірогідності та умов кореляцій. Для кожного набору таких змінних обчислюється значення показника ефективності проекту. Всі отримані значення зберігаються для подальшого статистичного опрацювання.

Остаточною стадією аналізу ризиків є опрацювання та інтерпретація результатів, отриманих на стадії прогонів моделі. Кожний прогін відображає вірогідність події, рівну

p = 100/n,

де p - вірогідність одиничного прогону %;

n - розмір вибірки.

Наприклад, якщо кількість випадкових прогонів рівна 5000, то вірогідність одного прогону складає

p = 100/5000 = 0,02 %.

Як міру ризику в інвестиційному проектуванні доцільно використовувати вірогідність отримання негативного значення конкретного фінансового показника. Ця вірогідність оцінюється на основі статистичних результатів імітаційного моделювання, як добуток кількості результатів з негативним значенням і вірогідності одиничного прогону. Наприклад, якщо з 5000 прогонів негативні значення NPV опиняться в 3454 випадках, то міра ризику складе 69.1%. 

Приклад 4.1

Фірма щодня випускає на ринок 10 партій товару по 100 одиниць у кожній. Досвід роботи показує, що в кожній партії буває від 1 до 6 бракованих виробів. Використовуючи метод Монте-Карло визначити, який ризик втрат фірми за тиждень, оцінений кількістю бракованих виробів? 

Розв’язання

Замість того, щоб перевіряти щодня кожну партію товару і підраховувати втрати, організуємо модель цієї перевірки. Для цього зробимо припущення, що поява будь-якого з чисел від 1 до 6 бракованих виробів рівноймовірна. Отже, в принципі, все одно, чи вибирати браковані вироби в кожній партії і підраховувати їх кількість, чи просто скористатися ґенератором випадкових чисел від 1 до 6. Адже закон розподілу їх імовірностей, за припущенням, той самий.

Найпростішим і найвідомішим методом отримання випадкових чисел є гральна кістка. Спосіб одержання випадкових чисел полягає в киданні кістки і фіксуванні чисел, що випадають. Здійснимо сім серій таких кидань (кожна серія відповідатиме певному дню тижня). Випадкові числа, які випадають будуть моделювати число бракованих виробів у кожній партії. Це, звичайно, примітивний метод. Всі сучасні комп’ютери мають ґенератори випадкових чисел, на основі яких ми можемо отримати подібні вибірки. Отже:

1-й день: 4,5,6,1,3,2,6,1,3,4;   сума=35;

2-й день: 6,3,1,5,4,4,3,1,5,2;   сума=34;

3-й день: 2,5,6,5,1,3,3,5,4,2;   сума=36;

4-й день: 6,3,4,1,5,6,1,2,3,6;   сума=32;

5-й день: 1,5,3,6,2,2,5,4,3,4;   сума=35;

6-й день: 3,1,4,2,6,5,4,1,2,5;   сума=33;

7-й день: 5,6,5,4,6,3,5,1,2,4;   сума=41.

Змодельована кількість бракованих виробів за тиждень становить 246. Проводячи експеримент багато разів і визначаючи середні значення у вибірках, можна одержати достатнє значення най ймовірнішого значення бракованих виробів за тиждень. До речі, точніше, ніж реальний підрахунок їх за тиждень. Але це у випадку, якщо реальне число бракованих виробів дійсно підлягає припущеному закону розподілу.

Для цього випадку неважко одержати й аналітичне розв’язання задачі шляхом знаходження математичного очікування числа бракованих виробів із ймовірністю 1/6.

Математичне очікування числа бракованих виробів у кожній партії:   , тобто в десяти партіях буде відповідно 3,5×10=35 бракованих виробів, а за тиждень – 35×7=245 таких виробів.

Як видно, дані, отримані шляхом «експерименту», практично збігаються з даними, одержаними шляхом точних розрахунків. 

Експеримент з моделлю має багато переваг, основні з яких такі:

- експеримент можна здійснювати практично необмежену кількість разів;

- у процесі експерименту можна по різному змінювати параметри самої моделі, навіть змінювати  її структуру, і спостерігати, як зміняться результуючі параметри її функціонування;

- модельний експеримент не вимагає якихось перетворень і змін у реальній системі;

- схема методу Монте-Карло добре реалізується на комп’ютері.

Основним недоліком методу є те, що він цілком визначається якістю та коректністю самої моделі. 

Завдання на виконання

Завдання №1

Взуттєве підприємство щодня постачає на ринок M партій взуття. Фахівець зі збуту знає, що щодня підприємству повертають від k1 до k2 пар бракованого взуття. Оцінити, яку кількість пар бракованого взуття підприємство постачає на ринок протягом місяця в припущенні, що поява кожного з чисел від 1 до 10 рівноймовірна. Який ризик втрат фірми за T днів, оцінений кількістю бракованих пар взуття, постачених на ринок? Скласти програму для обчислення ризику. 

Завдання №2

На підприємстві сфери обслуговування, в якому 10 осіб штатних працівників, зайнятість персоналу залежить від кількості заявок на роботи, що надійшли протягом дня.

Шляхом вивчення попиту на роботи за 100 днів було встановлено, що попит на роботи коливається згідно з даними таблиці 1.

Таблиця 1

Попит встановлений у кількості працівників, необхідних для виконання замовлених робіт, частота – у кількості днів, протягом яких зафіксований цей попит.

Якщо попит на роботи перевищує наявну кількість співробітників, то підприємство додатково наймає тимчасових працівників з оплатою 50 г.о.(грошових одиниць) людині в день. Стільки ж одержують штатні співробітники.

Якщо ж трапляється зрив роботи через відсутність працівника, підприємство зазнає збитку у 300 г.о. за кожну невиконану роботу. Керівництво фірми бажає знати, якою має бути кількість штатних співробітників, щоб витрати на організацію обслуговування клієнтів були мінімальні.

З цією метою були опрацьовані статистичні дані щодо пропозиції робочої сили у будні та неділі (фірма працює 7 днів на тиждень). Інформацію, зібрану за 100 будніх днів та 50 неділь наведено у таблиці 2.

Таблиця 2.

Потрібно визначити оптимальну кількість штатних співробітників фірми за критерієм мінімізації собівартості робіт. Скласти програму для обчислення цієї кількості.

Числові дані для індивідуальних завдань

Завдання №1

Завдання №2

Контрольні запитання

1. Основна ідея та принцип покладені в основу методу Монте-Карло.

2. Для яких систем і в яких випадках застосовують метод Монте-Карло.

3. Алгоритм методу Монте-Карло.

4.. Переваги та недоліки методу Монте-Карло.

Список рекомендованої літератури 

1. Вітлінський В.В., Верченко П.І. Аналіз, моделювання та управління економічним ризиком: Навчальний посібник. –К.: КНЕУ, 2000, 292с.

2. Волков И.М. Грачова М.В. Проектный анализ. Учебник. М.: ЮНИТИ, 1998.

3. Вісник НУ”ЛП” ”Інформаційні системи та мережі”. №489,519: 2004-2005.

4. Грабовый П.Г., Петрова С.Н., Полтавцев С.И., Романова К.Г., Хрусталёв Б.Б., Яровенко С.М. Риски в современном бизнесе –М.: Изд-во «Аланс». 1994. –200с.  

5. Грачова М.В. Аналіз проектних ризиків. Пос. Сел. М.: Финастатинформ, 1999.

6. Дубров А.М., Лагоша  Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб пособие. –М.: Финансы и статистика, 2000. –224с.

7. Катренко А.В. Системний аналіз об’єктів та процесів комп’ютеризації. – Львів: „Новий світ – 2000”, 2003.

8. Качалов Р.М. Управление хозяйственным риском. –М.: Наука, 2002. –192с.

9. Кігель В.Р. Методи і моделі підтримки прийняття рішень у ринковій економіці: Монографія. К.:ЦУЛ,2003.-202с.

10. Кобиляцький Л.С. Управління проектами: Навчальний посібник. –К.: МАУП, 2002 –200с.

11. Липаев В.В. Анализ и сокращение рисков проектов программных средств. Jet Info №1(140)/2005

12. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. –М.: Логос, 2000.

13. Машина Н.І. Економічний ризик і методи його вимірювання: Навч.посібник. –К.: ЦНЛ, 2003, 188с.

14. Открытые системы. №№1-12: 2001-2005. – Москва: вид-во „Открытые системы”.

15. Управление проектами. Справочник для профессионалов. Под ред. И. И. Мазура и В. Д. Шапиро, 2001.

16. Фридмен М., Сэвидж Л. Дж. Анализ полезности при выборе среди альтернатив, предполагающих риск //Вехи экономической мысли: В 3-х т. / Сост. и ред. В.М.Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 1999.

17. Хиршлейфер Д. Инвестиционные решения при неопределенности: подходы с точки зрения теории выбора //Вехи экономической мысли. Теория потребительского поведения и спроса. Т.3. Под ред. В.М.Гальперина. –СПб.: Экономическая школа. 1999, c.225-261

18. Эрроу К.Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности М., ГУ ВШЭ, 2004, 204c.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!