Лабораторна робота 6 на тему Базові поняття теорії ймовірності

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №6_СППР

Тема: БАЗОВІ  ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ: ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА ТА ЇЇ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Мета роботи: усвідомити зміст, навчитися обчислювати і застосовувати характеристики випадкових величин, що мають конкретний економічний зміст.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Випадкова величина – змінна, що в результаті іспитів  залежно від випадку набуває одне з можливої множини своїх значень (яке саме, заздалегідь не відомо).

Дискретна випадкова величина – випадкова величина, можливі значення якої є окремі ізольовані числа (такі, що між двома сусідніми можливими значеннями немає інших можливих значень), які ця величина приймає з визначеними ймовірностями.

Законом розподілу випадкової величини називають будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями  випадкової величини і відповідними їм ймовірностями.

Математичне сподівання дискретної випадкової величини М(X) – сума добутків усіх її значень на відповідні їм імовірності.

Приклад 1.1. Відомі закони розподілу випадкових величин X і Y – числа балів, що вибиваються 1-м та 2-м стрільцями.

Таблиця 1.1

Ряд випадкової величини

Обчисліть математичне сподівання величин X і Y.

Розв’язання.

М (X) = 0*0,15+1*0,11+2*0,04+.. .+9*0,12+10*0,20 = 5,36;

М (У) = 0*0,01+1*0,03+2*0,05+...+9*0,04+10*0,02 = 5,36.

Дисперсія D(Х) дискретної випадкової величини X – математичне сподівання квадрата  її відхилення від математичного сподівання

Середньоквадратичне відхилення  (стандартне  відхилення або стандарт) випадкової величини X – арифметичне значення кореня квадратного з її дисперсії:

Приклад 1.2. Знайти значення дисперсії і середньоквадратичне відхилення числа вибитих очок для кожного стрільця у попередній задачі (приклад 1.1).

Розв’язання. З прикладу 1.1 М(Х) = 5,36 та М(У) = 5,36. Знайдемо значення дисперсії за формулою (1.2):

D(X)=(0-5,36)²*0,15+(l-5,36)²*0,ll+...+(10-5,36)²*0,20=13,16;

D(y)=(0-5,36)²*0,01+(l-5,36)²*0,03+...+(10-5,36)²*0,02 = 4,17.

Знайдемо значення середньоквадратичного відхилення за формулою (1.3).

РОЗВ’ЯЗАННЯ НАВЕДЕНИХ РИКЛАДІВ У СЕРЕДОВИЩІ ЕЛЕКТРОННИХ ТАБЛИЦЬ

Заповнення області вводу. Таблицю зі значеннями числа вибитих балів та відповідних ймовірностей розмістимо у діапазоні клітинок A2:L7 (рис. 1.1). Найпростіше заповнити діапазони B3:L3 та B6:L6 використовуючи для цього маркер заповнення. Для цього вводимо у клітинку В3 перше значення 0, в клітинку С3 – 1, виділяємо обидві клітинки, та протягуємо маркер заповнення до клітинки L3. Аналогічно заповнюємо область B6:L6. У рядки нижче цих діапазонів вносимо значення ймовірностей.

Заповнення області розрахунків. У діапазоні А10:Е12 формуємо таблицю, що містить формули для обчислювання математичного сподівання, дисперсії та середньоквадратичного відхилення випадкових величин X та Y – числа балів вибитих відповідно першим та другим стрільцем.

Під час формування таблиці розрахунків використовуємо формули теоретичного матеріалу та посилання на відповідні клітинки області вводу:

- наприклад, у клітинку С11 вносимо формулу для обчислення математичного сподівання величини Х (1.1), враховуючи, що значення величини містяться у діапазоні B3:L3, а значення ймовірностей у діапазоні B4:L4;

- клітинка С12 – формула для обчислення математичного сподівання величини Y;

- D11, D12 – формула для обчислення дисперсії випадкових величин X та Y (1.2);

- Е11, Е12 – формула для обчислення середньоквадратичного відхилення випадкових величин X та Y (1.3).

Для обчислення середньоквадратичного відхилення треба знайти значення кореня квадратного дисперсії. Це можна зробити або піднесенням значення дисперсії у дрібну ступінь, або використавши функцію SQRT() категорії Математичні.

Для перевірки правильності розв’язання задачі порівняйте отримані дані із даними на рис. 1.1.

Функція розподілу випадкової величини X– функція F(X), що виражає для кожного х імовірність того, що випадкова величина X набуде значення, менше х:

Приклад 1.3 Функція розподілу випадкової величини X має вигляд

Знайти імовірність того, що випадкова величина набуде значення в інтервалі [1, 3).

Розв’язання. За формулою (1.4)

Випадкова величина X називається неперервною, якщо її функція розподілу неперервна у будь-якій точці і є такою, що диференціюється всюди, крім, можливо. окремих точок.

Щільністю імовірності (щільністю розподілу або просто щільністю) неперервної випадкової величини X називається, похідна її функції розподілу:

Зауважимо, що математичне сподівання неперервної випадкової величини знаходиться за формулою, а дисперсія неперервної випадкової величини за формулою.

Модою Мо(Х) випадкової величини X називається її найбільш імовірне значення, для якого імовірність або щільність імовірності сягає максимуму.

Медіаною Ме(Х) неперервної випадкової величини X називається таке її значення, для якого.

Центральним моментом k-го порядку випадкової величини X називається математичне сподівання k-го ступеня відхилення випадкової величини X від її математичного сподівання:

1.4 Завдання для самостійного розв’язання

Задача 1. Розглядаються два проекти А та В щодо інвестування. Відомі оцінки прогнозованих значень доходу від кожного з цих проектів та відповідні значення ймовірностей. Цифрові дані наведені в таблиці:

Треба визначити математичне сподівання прибутку, дисперсію та середньоквадратичне відхилення.

Розв’язання задачі реалізувати за допомогою електронних таблиць.

Задача 2. Надаючи банківські кредити комерційним фірмам, здійснюють прогноз можливих значень збитків та відповідних ймовірностей. Числові дані наведені в таблиці:

Треба визначити математичне сподівання збитків, дисперсію та середньоквадратичне відхилення.

Розв’язання задачі реалізувати за допомогою електронних таблиць.

Перелік питань до захисту лабораторної роботи

1. Наведіть визначення наступних понять:

• випадкова величина,
• закон розподілу випадкової величини,
• математичне очікування, дисперсія,
• функції розподілу випадкової величини,
• мода,
• медіана,
• центральний момент.

2. Наведіть приклади дискретної та неперервної випадкової величини.

3. Наведіть загальні властивості функції розподілу.

4. Яку властивість має функція розподілу неперервної випадкової величини?

5. Що називають щільністю імовірності неперервної випадкової величини?

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!