Типові приклади Елементи теорії ігор

Елементи теорії ігор

Приклад 1. Фірма виготовляє устаткування для легкої промисловості. Експертами виробничого відділу фірми розглядаються три конструкторські варіанти устаткування: А-1, А-2, А-3. Для спрощення допустимо, що за технічними характеристиками ці три типи майже ідентичні, однак залежно від зовнішнього вигляду та зручності використання кожен тип може мати три модифікації: М-1, М-2, М-3 залежно від закупленої технології виробництва. Собівартість виготовлення устаткування наведена в табл.

Собівартість виготовлення устаткування, тис. ум.од.

Конфліктна ситуація виникає в зв'язку з необхідністю вибрати той тип устаткування та його модифікації, який буде затверджений економічним відділом фірми. З погляду виробництва найкращим є найдорожчий варіант, оскільки він дає змогу виробляти  дорожчу та конкурентоспроможнішу продукцію, тоді як з погляду економічного відділу фірми найкращим є найдешевший варіант, який потребує найменшого відволікання коштів.

Завдання експертів полягає в тому, щоб запропонувати на розгляд фінансовому відділу такий тип устаткування, який забезпе­чить якщо не кращий, то в усякому разі не гірший варіант співвідношення вартості та зовнішнього вигляду. 

Розв'язання

Якщо виробничий відділ запропонує виготовлення устатку­вання типу А-1, то економічний відділ настоюватиме на прид­банні технології, що дає модифікацію М-3, оскільки цей варіант найдешевший. Якщо зупинитись на устаткуванні виду А-2, то скоріш за все затверджено буде М-2, і нарешті для типу А-3 — також М-2.

Очевидно, що з усіх можливих варіантів розвитку подій екс­пертам виробничого відділу необхідно настоювати на варіанті впровадження у виробництво устаткування типу А-2, оскільки це дає найбільше значення за реалізації найгірших умов — 7 тис. ум. од.

Наведені міркування ілюструють максимінну стратегію, отже.

Якщо учасник відхилиться від своєї оптимальної (максимінної) стратегії і вибере першу чи третю, то зможе отримати ви­граш, що дорівнює лише 5.

Розглянемо тепер ситуацію з погляду спеціалістів економічного відділу. Виходячи з витрат на виробництво устаткування, ви­бір технології, що дає змогу виготовляти модифікацію М-1, може призвести до найбільших витрат у тому разі, коли вдасться затвердити випуск устаткування типу А-1. Для технології виготовлення устаткування з модифікацією М-2 найбільші можливі витрати становлять 7 тис. ум. од. — для устаткування А-2, а з модифікацією М-3 —також для А-2. Для економістів найкращим є вибір технології, що забезпечує виготовлення устаткування модифікації другого виду, оскільки за найгірших умов вона дає найменші витрати—7 тис.ум.од.

Останні міркування відповідають мінімаксній стратегії, що визначає верхню ціну гри.

Якщо гравець відхилиться від своєї оптимальної (мінімаксної) стратегії, то це призведе до більших витрат. Якщо буде вибрано першу стратегію, то можливий програш дорівнюватиме 10,  а якщо буде вибрано третю стратегію, то можливий програш становитиме 9. Наведена гра є парною грою із сідловою точкою.

Приклад 2. Маємо гру гравців А і В, яка задана такою платіжною матрицею:

Гравець В

Гравець А

Необхідно визначити ціну гри та оптимальні стратегії гравців А і В. 

Розв'язання

Для гравця А перша стратегія є домінуючою над третьою, тому третю стратегію треба вилучити.

Для гравця В перша стратегія є домінуючою на п‘ятою, яку можна виключити як  збитковішу, а тому невигідну для гравця В. Отже маємо матрицю. 

Розглянемо стратегії гравця А.

Отже, нижня ціна гри буде дорівнювати a=5, а гравець А для максимізації мінімального виграшу має вибрати другу із трьох можливих стратегій. Ця стратегія є максимінною у даній грі.

Для гравця В.

Гравцю В доцільно вибрати також другу стратегію, яка є мінімаксною у грі. Оскільки a=b, то ця гра має сідлову точку. Ціна гри дорівнює 5. Оптимальною максимінною стратегією гравця А є друга з трьох можливих його стратегій. Для гравця В оптимальною є також друга із чотирьох можливих.

Приклад 3. Фірма розробила шість бізнес-планів  для їх здійснення у наступному році. Залежно від зовнішніх умов (погодного стану, ринку тощо) виділено п'ять ситуацій . Для кожного варіанта бізнес-плану та зовнішньої ситуації обчислені прибутки, які наведені у табл.

Необхідно вибрати найкращий варіант бізнес-плану або комбінацію із розроблених планів. Розв‘язати приклад за допомогою програм Excel і Mathcad, зведенням матричної гри до задачі лінійного програмування.

Розв 'язання

Маємо гру, платіжною матрицею якої є відповідні елементи вищенаведеної таблиці. Легко переконуємося, що домінуючих стратегій у цій грі немає.

Потім визначаємо:

α = max {min(l,0; 1,5; 2; 2,7; 3,2); min(l,2; 1,4; 2,5; 2,9; 3,l); min(l,3; 1,6; 2,4; 2,8; 2,l); min (2,1; 2,4; 3; 2,7; 1,8); min(2,4; 2,9; 3,4; 1,9; 1,5);min(2,6; 2,7; 3,1; 2,3; 2)} = max{l,0; 1,2; 1,3; 1,8; 1,5; 2} = 2,

a також

β = min (max(1,0; 1,2; 1,3; 2,1; 2,4; 2,6); max(l,5; 1,4; 1,6; 2,4; 2,9; 2,7); max(2;2,5;2,4;3;3,4;3,l); max(2,7;2,9;2,8;2,7;l,9;2,3);max(3,2;3,l;2,l;l,8;l,5;2)}= min{2,6;2,9;3,4;2,9;3,2} = 2,6.

Отже, a¹b, тобто немає сідлової точки, а це означає, що необхідно застосувати метод зведення гри до задачі лінійного про­грамування.

1) Знайдемо розв‘язок за допомогою програми  Excel .

Виділимо комірки А1:А6 під значення t₁,t₂,t₃,t₄,t₅,t₆ . У комірку В1 вводимо формулу цільової функції у вигляді =А1+А2+А3+А4+А5+А6, а у комірки С1:С5—ліві частини обмежень у вигляді

=A1+1,2*A2+1,3*A3+2,1*A4+2,4*A5+2,6*A6

=1,5*A1+1,4*A2+1,6*A3+2,4*A4+2,9*A5+2,7*A6

=2*A1+2,5*A2+2,4*A3+3*A4+3,4*A5+3,1*A6

=2,7*A1+2,9*A2+2,8*A3+2,7*A4+1,9*A5+2,3*A6

=3,2*A1+3,1*A2+2,1*A3+1,8*A4+1,5*A5+2*A6

Встановлюємо курсор у комірку В1. Обираємо команду Сервіс. Відкриваємо діалогове вікно “Поиск решения” і задаємо сценарій.

Натиснути Выполнить і отримати результати. У комірку D1 записати формулу =A1/$B$1і скопіювати її у комірки D2:D6 (щоб ввести позначки долару $B$1, треба  після введення В1 натиснути клавішу F4). Одержимо у комірках D2:D6 оптимальні значення частот. Щоб знайти ціну гри, треба у комірку В2 ввести формулу =1/B1.Одержимо результати у вигляді таблиці. 

Оптимальний розв'язок задачі: t₂=0,11; t₆= 0,34 . Звідси отримаємо оптимальний розв'язок для початкової задачі: ; . Ціна гри υ= 2,264.

2).Знайдемо розв‘язок за допомогою програми  Matlab.

Розв‘яжемо задачу у матричному вигляді.

1. Дана матриця гри. Знайти нижню і верхню ціну гри і мінімаксні стратегії сторін.

2. Спростити гру.

3. Підприємство може випускати три види продукції (А,Б,В), одержує при цьому прибуток, що залежить від попиту. Попит може приймати одне з чотирьох станів (I,II,III,IV). Задана матриця прибутку:

Визначити оптимальні пропорції випуску продукції.

Розв‘язати приклад за допомогою програм Excel і Matlab, зведенням матричної гри до задачі лінійного програмування.

4. Розв‘язати матричну гру з платіжною матрицею:

(К—номер студента у журналі).

5. Розв‘язати графічно ігри.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!