Практичне заняття № 5 Асиметрія та ексцес у відносній оцінці трансформаційного ризику

Практичне заняття  № 5 Асиметрія та ексцес у відносній оцінці трансформаційного ризику

Асиметрія

Якщо при аналізі ризику трансформаційних процесів використання основних показників ризику дає майже однакові очікувані значення, то у цьому випадку слід аналізувати як показник ризику таку числову характеристику випадкової величини, як коефіцієнт асиметрії. Його обчислю­ють за формулою:

As(X) =,

де As(X) −коефіцієнт асиметрії.

У випадку, коли в наявності є статистична інформація щодо показника ефективності Х, зібрана протягом T періодів, коефіцієнт асиметрії обчислюють за формулою:

As(X) = .

Дамо геометричну інтерпретацію коефіцієнту асиметрії. Якщо As(X) = 0, то графік функції щільності ймовірності для випадкової величини Х є симетричним відносно М(Х). Якщо розподіл ймовірностей є асиметричним, причому його «довга частина» («хвіст») розміщена праворуч від моди випадкової величини Мо(Х) (див. рис. 1а), то As(X) > 0. Аналогічно отримуємо, що As(X) < 0 у випадку, коли функція щільності має лівосторонній скіс (рис. 1б) і «хвіст» розподілу виступає ліворуч.

Якщо Х = Х⁺, то за решти рівних умов серед m різних альтернативних об’єктів (проектів, стратегій) меншим ризиком обтяжений той об’єкт (), для якого виконується умова:

тобто As(X⁺) = As⁺(X⁺). Це пояснюється тим, що несприятливі відхилення від сподіваного значення з відносно великою ймовірністю розташовані для обраного об’єкта  ліворуч найближче до сподіваного значення (менше відхиляються від нього в несприятливий бік) порівняно з іншими, а сприятливі значення значно віддалені від сподіваної величини (ці значення −«хвіст» − розташовані праворуч).
у випадках додатного (а) та від’ємного (б) коефіцієнтів асиметрії

У зв’язку з цим можна вважати, що критерій максимальної асиметрії є критерієм, який забезпечує мінімальний ризик по відношенню до несприятливих відхилень від сподіваного результату (для задач максимізації показників ефективності).

Як міру ризику можна використовувати також величину:

Очевидно, що оцінка  має негативний інгредієнт, а тому перевага надається тому об’єкту (проекту), для якого вона є мінімальною:

Для відносного вираження ризику з урахуванням As⁺(X⁺) можна використовувати коефіцієнт варіації асиметрії:

Очевидно, що CVAs(X⁺) = CVAs^–(X⁺), тобто перевага надається тому об’єкту (проекту), для якого CVAs(X⁺) приймає найменше значення:

Використання коефіцієнта асиметрії можливе і тоді, коли показники ефективності об’єкта (проекту) містять негативний інгредієнт, тобто (сподівані збитки, затрати). У цьому випадку більш ефективним рішенням будуть відповідати менші значення коефіцієнта асиметрії, а тому серед m альтернативних рішень оптимальним буде те, для якого

(у цій ситуації As(X^–) = As^–(X^–)).

Можна скористатись також критеріями:

Зауваження. Під час прийняття рішень критерії, які базуються на оцінках As(X) та As(X), слід використовувати тоді, коли M(X_i) = M(X_j); i, j = 1, ..., m або ж M(X_i) » M(X_j). Оцінки CVAs(X) використовуються тоді, коли M(X_i) ¹ M(X_j), i, j = 1, ..., m.

Ексцес

У ситуації, коли аналіз певних показників ефективності об’єкта (проекту) показує, що ці показники мають майже однакові сподівані значення, приблизно рівні їхні середньоквадратичні відхилення , а також є рівними значення коефіцієнтів асиметрії, то для порівняння ризиковості цих проектів можна скористатись коефіцієнтом ексцесу. Його обчислюють за формулою:

де Ех(Х) − коефіцієнт ексцесу. Статистичну оцінку коефіцієнта ексцесу можна здійснити за формулою:

де Т − кількість періодів.

Чим більше значення коефіцієнта ексцесу, тим більш «гостровершинним» (функція f₂(x) на рис. 2) є графік функції щільності ймовірності для випадкової величини, що характеризує об’єкт (проект). Ця властивість коефіцієнта ексцесу вказує на більш високу «концентрацію» значень показника ефективності в околі його сподіваного значення.

Зменшення значення Ех(Х) приводить до того, що графік функції щільності ймовірності випадкової величини Х стає менш «гостровершинним» (функція f₁(x) на рис. 2), тобто більш «згладженим». Ця ситуація вказує на те, що розміри інтервалу, на який «найчастіше» потрапляють значення показника ефективності, збільшилися.
від коефіцієнта ексцесу (Ex₁(X) < Ex₂(X))

Очевидно, що серед m різних альтернативних об’єктів (проектів, стратегій) найменш ризиковий той, для якого «концентрація» значень показника ефективності в околі його сподіваного значення є вищою, тобто той (Х_k0), для якого виконується:

тобто Ех(Х) = Ех⁺(Х).

За міру ризику можна використовувати також величину:

або ж коефіцієнт варіації ексцесу

Очевидно, що величини Ex(X) та CVEx(X) мають негативні інгредієнти. А тому серед m альтернативних об’єктів Х_k, k = 1, ..., m, перевага надається тому (Х_k0), для якого виконується умова:

або ж у випадку, коли здійснюється відносне оцінювання ризику, умова:

Завдання для практичного заняття

1. Розв’язати задані за умовою задачі.

2. Використати генератори випадкових чисел СЛЧИС() та СЛУМЕЖДУ() процесора Excel  для генерації випадкових початкових даних задачі. Відповідь при цьому повинна отримуватися автоматично при кожній зміні початкових даних.

Задача 1.Результати спостережень за нормами прибутків портфелів цінних паперів А і В подано в табл. 1.

Таблиця 1

Інвестор має можливість придбати лише один з цих портфелів цінних паперів. Для аналізу ризикованості проектів оцінити коефіцієнти асиметрії для норм прибутку портфелів цінних паперів і прийняти оптимальне рішення щодо інвестування.

Задача 2. Використовуючи в якості міри ризику коефіцієнт варіації асиметрії, вибрати портфель цінних паперів, що обтяжений мінімальним ризиком.

Таблиця 2

Задача 3.

Норми прибутків портфеля цінних паперів А і В, що спостерігались за останні 10 періодів, подано в табл.3.

Таблиця 3

Який з цих портфелів є менш ризикованим щодо інвестицій? У разі неможливості порівняння проектів за величиною коефіцієнта асиметрії використати для порівняння коефіцієнт ексцесу.

Задача 4.  

Норми прибутків портфелів цінних паперів виду А і В, що спостерігались за останні 10 періодів, подано в табл.4.

Таблиця 4

Який з цих портфелів є менш ризикованим? Для порівняння портфелів інвестицій використати величини:

1) коефіцієнт варіації;

2) коефіцієнт асиметрії;

3) коефіцієнт варіації ексцесу.

З повагою ІЦ “KURSOVIKS”!