Роздрукувати сторінку
Главная \ Методичні вказівки \ Методичні вказівки \ 1108 Лабораторна робота №2 на тему Відповідності, функції та відображення

Лабораторна робота №2 на тему Відповідності, функції та відображення

« Назад

1108 Лабораторна робота №2 на тему Відповідності, функції та відображення

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2

ТЕМА РОБОТИ: «ВІДПОВІДНОСТІ, ФУНКЦІЇ ТА  ВІДОБРАЖЕННЯ»

МЕТА РОБОТИ: набути знань  та практичних навичок застосування моделей множин, виконання операцій над множинами.

ХІД РОБОТИ

Збережіть цей файл з ім’ям  zvit_lab_2 у своїй папці на сервері.

Відкрийте його для роботи.

Зауваження. Для позначення операцій над множинами використовуйте режим вставки символів з  шрифту Symbol.

ЗАВДАННЯ 1. Уважно вивчіть теоретичні відомості та приклади розв’язання задач

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Відповідності, функції та  відображення

Відповідністю між множинами A і B називається будь-яка підмножина C ⊆ A×B. Якщо (a,b)∈C, то кажуть, що елемент b відповідає елементу aпри відповідності C.

Оскільки відповідності є множинами, то для їхнього задання використовують ті самі методи, що й для довільних множин.

Крім того, відповідність можна задавати (ілюструвати) за допомогою так званого графіка відповідності. Нехай А={1,2,3,4,5} і B={a,b,c,d}, а C={(1,a),(1,d),(2,с),(2,d),(3,b),(5,а),(5,b)} - відповідність між A і B. Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a,b,c,d - горизонтальні прямі на координатній площині (рис.1.1а). Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності.

Зручним методом задання невеликих скінченних відповідностей є діаграма або граф відповідності. В одній колонці розташовують точки, позначені елементами множини A, у колонці праворуч - точки, позначені елементами множини B. З точки a першої колонки проводимо стрілку в точку b другої колонки тоді і тільки тоді, коли пара (a,b) належить заданій відповідності. На рис.1.1б зображено діаграму відповідності C із попереднього абзацу.

Нехай C - деяка відповідність. Множина Pr1C називається областю визначення, а множина Pr2С - областю значень відповідності C.

Образом елемента a∈Pr1C при відповідності C називається множина всіх елементів b∈Pr2C, які відповідають елементу a; позначається C(a).

Прообразом елемента b∈Pr2C при відповідності C називається множина всіх тих елементів a∈Pr1C, яким відповідає елемент b; і позначається C -1(b).

Якщо D⊆Pr1C, то образом множини D при відповідності C називається об’єднання образів усіх елементів із D; позначається C(D).

Аналогічно означається прообраз деякої множини G ⊆ Pr2C; позначається C -1(G).

Оскільки відповідності є множинами, то до довільних відповідностей можуть бути застосовані всі відомі теоретико-множинні операції: об’єднання, перетин, різниця тощо.

Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції. Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B, називається відповідність D між множинами B і A така, що D={ (b,a) | (a,b)∈C }. Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C -1.

Якщо задано відповідності C⊆A×B і D⊆B×F, то композицією (суперпозицією, добутком) відповідностей C і D (позначається C°D) називається відповідність H між множинами A і F така, що

H={(a,b) | існує елемент c∈B, для якого (a,c)∈C і (c,b)∈D }.

Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей C між множинами A і B.

Якщо Pr1C=A, то відповідність C називається всюди або скрізь визначеною. У противному разі відповідність називається частковою.

Відповідність F ⊆ A×B називається функціональною відповідністю, або функцією з A в B, якщо кожному елементові a∈Pr1F відповідає тільки один елемент з Pr2F, тобто образом кожного елемента a∈Pr1F є єдиний елемент b з Pr2F.

Якщо F - функція з A в B, то кажуть, що функція має тип A→B і позначають F : A→B або AB →F.

Всюди визначена функціональна відповідність F⊆A×B називається відображенням з A в B і записується як і функція F:A→B або AB→F.

Відображення називають також усюди або скрізь визначеними функціями.

Відображення типу A→A називають перетвореннями множини A.

Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин тощо. Зокрема, для функції F елементи множини Pr1F називають аргументами функції, образ F(a) елемента a∈Pr1Fназивають значенням функції F.

Відповідність C називається сюр’єктивною (сюр’єкцією), або відповідністю на множину B, якщо Pr2C =B.

Відповідність C називається ін’єктивною (ін’єкцією), або різнозначною відповідністю, якщо для кожного елемента b∈Pr2C його прообраз C -1(b) складається тільки з одного елемента.

Іншими словами, різним елементам множини A відповідають різні елементи множини B. Іноді ін’єкцію називають 1-1 відповідністю.

Відображення, яке є одночасно сюр’єктивним та ін’єктивним, називається бієктивним, або бієкцією.

Бієктивні відображення називають часто також взаємно однозначними відображеннями або взаємно однозначними відповідностями між множинами A і B. 

Таким чином, відповідність є взаємно однозначною тоді і лише тоді, коли вона функціональна, всюди визначена, сюр’єктивна та ін’єктивна.

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

Задача 1. З’ясувати, чи будуть сюр’єктивними відображення , , та , , де  та .

Розв’язання. Для кожного елемента  з множини  обчислимо повний прообраз : , , . Таким чином, Ø для кожного , отже,  є сюр’єктивним відображенням (відображенням  на). В той же час для відображення  маємо Ø, тому  не є сюр’єктивним.

Задача 2. З’ясувати, чи будуть ін’єктивними відображення.

Розв’язання. Відображення  є ін’єктивним, оскільки різні елементи з області визначення мають різні образи. В той же час у відображенні  різні елементи  та  мають однаковий образ 2, тому  не є ін’єктивним.

Задача 3. З’ясувати, чи будуть бієктивними (взаємно однозначними) відображення.

Розв’язання. Відображення  є сюр’єктивним, оскільки кожен елемент множини  має прообраз; крім того, різні елементи множини  мають різні образи, отже,  є ін’єктивним. Таким чином,  є бієкцією. Відображення не є ін’єктивним, хоча є сюр’єктивним. Отже,  не є бієктивним.

ЗАВДАННЯ 2. Розв’яжіть задачі

ЗАДАЧА 1.Нехай задано множини A = {a,b,c,d} і B = {1,2,3,4,5} та відповідності між A і B

C1 = { (a,1),(a,3),(a,5),(b,1),(b,3),(d,3),(d,4),(d,5)},

C2 = { (a,4),(a,5),(b,2),(b,3),(c,1),(d,2),(d,3)},

C3 = { (b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(d,1),(d,5)}.

Визначити

1) PrjCi, j=1,2, i=1,2,3

Відповідь:

2) C1∪C2, C1∪C3, C2∪C3

Відповідь:

3) C1∩C2, C2∩C3, C2∩(C1∪C3)
Відповідь:

4) C1 \ C2, C2 \ C1, C3 \(C1∩C3)

Відповідь:

5) C1 Δ C3, C2 Δ C3

Відповідь:

6) Ci-1, i=1,2,3.

Відповідь:

Побудувати у зошиті графіки і діаграми відповідностей C1, C2, C3 та відповідностей з пунктів 1) – 6).

ЗАДАЧА 2. На множинах  і  задано відповідності.

Які з них:  a) всюди визначені;  b) функціональні;  c) ін’єктивні;       d)  сюр’єктивні;   e)  бієктивні (взаємно однозначні)?

Відповідь: 

 

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Що є відповідність?

2. Які способи задання відповідності існують?

3. Які операції діють над відповідностями?

4. Що є областю визначення відповідності?

5. Що є областю значень відповідності?

6. Що називають образом елемента?

7. Що називають прообразом елемента?

8. Яку відповідність називають оберненою до заданої відповідності?

9. Яку відповідність називають функціональною відповідністю?

10. Яку відповідність називають всюди визначеною відповідністю?

11. Яку відповідність називають відображенням?

12. Яку відповідність називають сюр’єктивною?

13. Яку відповідність називають ін’єктивною?

14. Яку відповідність називають бієктивною?

15. Яку відповідність називають взаємнооднозначною?

З повагою ІЦ “KURSOVIKS”!