Лабораторна робота №1 на тему Способи визначення множин, операції над множинами та їх властивості

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №1

ТЕМА РОБОТИ: «СПОСОБИ ВИЗНАЧЕННЯ МНОЖИН, ОПЕРАЦІЇ НАД МНОЖИНАМИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ»

МЕТА РОБОТИ: набути знань  та практичних навичок застосування моделей множин, виконання операцій над множинами.

ХІД РОБОТИ

Збережіть цей файл з ім’ям  zvit_lab_1 у своїй папці на сервері.

Відкрийте його для роботи.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Зауваження. Для позначення операцій над множинами використовуйте режим вставки символів з шрифту  Symbol.

На письмі множини позначаються, як правило, великими літерами латинського алфавіту, іноді з нижніми індексами. Індекси позначаються малими буквами латиниці чи арабськими цифрами (Ma, M_b, N₁, C₁₂ тощо).   Для деяких множин у математиці вживаються сталі позначення. Наприклад, Z - множина цілих чисел, N - множина натуральних чисел, Q - множина раціональних чисел, R - множина дійсних чисел тощо.

Об’єкти, з яких складається задана множина, називаються її елементами.

Кількість елементів скінченої множини A прийнято позначати через |A|.

Нехай A і B деякі множини.

Приклад: М={1,2,3}, P(M)={∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

Потужність булеана множини завжди більша, ніж потужність самої множини.

1. Об’єднанням множин A і B (позначається A∪B) називається множина тих елементів, які належать хоча б одній з множин A чи B. Символічно операція об’єднання множин записується так:

A∪B = { x | x∈A або x∈B }.

2. Перетином множин A і B (позначається A∩B) називається множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множинам A і B одночасно. Тобто

A∩B = { x | x∈A і x∈B }.

Якщо множини не мають однакових елементів, то A∩B=∅.

3. Різницею множин A і B (записується A\B) називається множина тих елементів, які належать множині A і не належать множині B. Отже,

A\B = { x | x∈A і x∉B }.

4. Симетричною різницею множин A і B (записується AΔB, A⊕B, або A÷B) називається множина, яка складається з усіх елементів множини A, які не містяться в B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A. Тобто

A Δ B = { x | x∈A і x∉B або x∈B і x∉A }.

5. Якщо зафіксована універсальна множина U, то доповненням  ( може позначатись ще як A¢) множини A (яке є підмножиною універсальної множини U)називають множину всіх елементів універсальної множини, які не належать множині A.

Тобто А¢ = { x | x∈U і x∉A } або x∈U⇔ x∉A.

Неважко помітити, що А¢ = U \ A.

На рис. 1 наведена геометрична ілюстрація операцій над множинами M_a та M_b.

6. Декартів добуток множини A на себе n разів  називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають Aⁿ, тобто

Aⁿ₌ A×A×...×A.

Прийнято вважати, що A⁰ = ∅ (n=0) і A¹ = A (n=1).

ЗАВДАННЯ 1. Уважно вивчіть розв’язання наведених нижче задач.

Задача 1. Нехай . Визначити, які з наведених тверджень є правильними, а які – ні. Відповідь обґрунтувати.

Розв’язання

a) Твердження  правильне, тому що об’єкт  міститься у множині .

b) Твердження  також правильне, оскільки множина  не містить об’єкта .

c) Твердження невірне, тому що серед елементів множини  немає елемента Æ.

d) Твердження правильне, оскільки для елементів множини  маємо: , отже.

e) Твердження  невірне, оскільки елемент , але .

f) Твердження вірне, оскільки множина Æ не має елементів, тому умова  не порушується для жодного .

Задача 2.Обчислити наведені вирази при заданих множинах , , ,  та .

a) ;      b) ;     c) ;       d) ;        e) .

Розв’язання

a) Оскільки лише елементи 5 та 6 є спільними для множин  та , то .

b) Очевидно, не існує жодного елемента, який би належав як множині , так й множині . Отже, множина  не містить жодного елемента, тобто є порожньою: .

c) Елементи 2, 8, 0 належать множині  і одночасно не належать множині , тому .

d) Оскільки , то, скориставшись рівністю    , маємо . Ми отримали елементи, які належать або тільки множині , або тільки множині , але не обом множинам  та  одночасно.

e) Оскільки , то  – множина елементів, які належать універсальній множині  і не належать множині . Остаточно, .

Задача 3.Довести, що  для будь-яких множин  і .

Розв’язання. Для доведення вказаної рівності достатньо показати, що  та . Доведемо спочатку, що . Використовуючи визначення операцій різниці, перетину множин та операції доповнення множини, маємо:  та  та , отже, доведено, що , а це означає, що . Тепер покажемо, що : , отже, .

Задача 4.Довести, що з  випливає  для будь-яких множин .

Розв’язання. Потрібно показати, що  за умови . Іншими словами, при доведенні включення  можна користуватися не лише загальними відомостями про множини (такими, наприклад, як означення підмножини та операцій над множинами), але й тим, що . Отже, нехай . Тоді, згідно з означенням операції перетину множин, маємо:  та . Оскільки , то з того, що , випливає . Отже, з того, що  та , випливає , тобто .

Задача 5.Довести, що  для будь-яких множин .

Розв’язання. Для доведення цієї еквівалентності потрібно показати, що  та .

Доведемо спочатку, перше з цих тверджень. Для цього доведемо включення  за умови, що . Отже, нехай . Звідси випливає, що  та  (тобто ). Оскільки , то , отже,  або . Але відомо, що , тобто залишається тільки можливість . Таким чином, показано, що , а це означає, що .

Доведемо друге твердження: . Потрібно показати, що  за умови . Нехай . Для довільної множини  або , або . Розглянемо окремо кожен з цих випадків. Нехай . Тоді з означення операції об’єднання множин випливає, що  є елементом множини, яка є об’єднанням множини  з будь-якою множиною. Отже, . Розглянемо тепер другий випадок, тобто . Тоді , а оскільки , то . Але відомо, що , а це означає, що , тобто .

Доведення можна записати таким чином.

Задача 6.Використовуючи основні теореми та аксіоми алгебри множин, довести, що .

Розв’язання. Для спрощення виразу в лівій частині рівності послідовно застосуємо закон де Моргана, тотожність , закон асоціативності та закон ідемпотентності.

Задача 7.Спростити вираз .

Розв’язання. Маємо.

При спрощенні даного виразу послідовно застосовувалися закон дистрибутивності (до виразу ), тотожності  та . При перетвореннях також використовувались закони асоціативності та комутативності.

Задача 8.Нехай . Побудувати  та .

Розв’язання. Декартовим добутком множин  та  є множина.

Третім декартовим степенем множини  є множина.

Задача 9.Довести, що .

Розв’язання. Доведемо спочатку, що . Множина  є декартовим добутком двох множин  та , отже, елементи цієї множини – це впорядковані пари. Таким чином, маємо:  або  та  або  та   або . Це і означає, що .

Тепер покажемо, що . Аналогічно попередньому випадку  або   та  або  та .

Розглянемо випадок  та . Маємо:  та   . Якщо  та , то маємо:  та . Отже, у кожному випадку доведено, що . Таким чином, рівність виконується.

ЗАВДАННЯ 2. Розв’яжіть задачі. Порядок розв’язання та відповіді надрукуйте.

1. Які з наведених співвідношень є правильними?

a) {1,2,3} = {1,2,2,3};

b) {1,2,3} = {1,3,2};

c) {1,2,3} = {1,{2},3};

d) {1,2,3} = {{1,2},{2,3}}.

Відповідь:

2. Визначити всі можливі співвідношення (рівності, нерівності, включення, строгого включення) між такими множинами геометричних фігур:

A - множина всіх ромбів;

B - множина всіх ромбів, усі кути яких прямі;

C - множина всіх квадратів;

D - множина прямокутників, усі сторони яких рівні;

E - множина всіх прямокутників;

F - множина чотирикутників, усі кути яких прямі.

Відповідь:

3. Які з наведених співвідношень є правильними?

a) ∅ = {0};

b) {1, ∅} = {1};

c) |{∅}| = 1;

d) ∅ = { };

e) |∅| = 0;

f) |{{∅}}| = 2;

g) ∅ = {{ }};

h) |{∅}| = 0;

i) |{∅, {∅}}| = 2.

Відповідь:

4. Розглянемо такі множини, що складаються з цілих чисел:

A = {2k+1| k∈Z}, B = {2n+3| n∈Z}, C = {2p-1| p∈Z},

D = {3m+2| m∈Z}, E = {3l-1| l∈Z}, F = {3t+1| t∈Z}.

Які з наведених тверджень є правильними?

a) A⊆B;

b) A⊆D;

c) D⊆F;

d) A = B;

e) D⊆A;

f) E = F;

g) B = C;

h) D = F;

i) D = E.

Відповідь:

5. Які з наведених співвідношень є правильними?

a) 1∈{1,2,3};

b) {1,2}∈{1,2};

c) 1∈{{1,2,3}};

d) {1,2}∈{{1,2}};

e) 1∈{{1},{2},{3}};

f) {1,2}∈{{1},{2},{3}};

g) {1}∈{1,2,3};

h) {1,2}∈{{1},{1,2},{1,2,3}};

i)  {1}∈{{1},{2},{3}};

j) a∈{a};

k) {1,2}∈{1,2,3};

l) a∈{{a}}.

Відповідь:

6. Які з наведених співвідношень є правильними?

a) 0∈∅;

b) {∅}∈{∅,{1}};

c) {∅}∈{∅};

d) ∅∈{∅};

e) {{∅}}∈{{{∅}}};

f) ∅∈{{∅}};

g) ∅∈∅;

h) ∅∈{∅, {∅}};

i) ∅∈{1};

j) {∅}∈{∅, {∅}}

Відповідь:

7. Які з наведених співвідношень є правильними?

a) {a}⊆{a,b};

b) {a}⊆{{a},{b}}.

c) 1⊆{1,2,3};

d) {1,2}⊆{{1},1,2,3};

e) 1⊆{{1,2,3}};

f) {1}⊆{1,2,3};

g) ∅⊆{1,2,3};

h) {1,2,3}⊆{1,2,3};

i) {1,2}⊆{{1},{2},{3}};

j) {1}⊆{{1},{2,3}};