Лабораторна робота №1 на тему Способи визначення множин, операції над множинами та їх властивості
« НазадЛАБОРАТОРНА РОБОТА №1ТЕМА РОБОТИ: «СПОСОБИ ВИЗНАЧЕННЯ МНОЖИН, ОПЕРАЦІЇ НАД МНОЖИНАМИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ»МЕТА РОБОТИ: набути знань та практичних навичок застосування моделей множин, виконання операцій над множинами. ХІД РОБОТИ Збережіть цей файл з ім’ям zvit_lab_1 у своїй папці на сервері. Відкрийте його для роботи. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇЗауваження. Для позначення операцій над множинами використовуйте режим вставки символів з шрифту Symbol. На письмі множини позначаються, як правило, великими літерами латинського алфавіту, іноді з нижніми індексами. Індекси позначаються малими буквами латиниці чи арабськими цифрами (Ma, Mb, N1, C12 тощо). Для деяких множин у математиці вживаються сталі позначення. Наприклад, Z - множина цілих чисел, N - множина натуральних чисел, Q - множина раціональних чисел, R - множина дійсних чисел тощо. Об’єкти, з яких складається задана множина, називаються її елементами. Кількість елементів скінченої множини A прийнято позначати через |A|. Нехай A і B деякі множини. Множина, елементами якої є всі підмножини множини М, називається булеаном множини М и позначається як Р(М) чи В(М). Приклад: М={1,2,3}, P(M)={∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}. Потужність булеана множини завжди більша, ніж потужність самої множини. 1. Об’єднанням множин A і B (позначається A∪B) називається множина тих елементів, які належать хоча б одній з множин A чи B. Символічно операція об’єднання множин записується так: A∪B = { x | x∈A або x∈B }. 2. Перетином множин A і B (позначається A∩B) називається множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множинам A і B одночасно. Тобто A∩B = { x | x∈A і x∈B }. Якщо множини не мають однакових елементів, то A∩B=∅. 3. Різницею множин A і B (записується A\B) називається множина тих елементів, які належать множині A і не належать множині B. Отже, A\B = { x | x∈A і x∉B }. 4. Симетричною різницею множин A і B (записується AΔB, A⊕B, або A÷B) називається множина, яка складається з усіх елементів множини A, які не містяться в B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A. Тобто A Δ B = { x | x∈A і x∉B або x∈B і x∉A }. 5. Якщо зафіксована універсальна множина U, то доповненням ( може позначатись ще як A¢) множини A (яке є підмножиною універсальної множини U)називають множину всіх елементів універсальної множини, які не належать множині A. Тобто А¢ = { x | x∈U і x∉A } або x∈U⇔ x∉A. Неважко помітити, що А¢ = U \ A. На рис. 1 наведена геометрична ілюстрація операцій над множинами Ma та Mb. 6. Декартів добуток множини A на себе n разів називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають An, тобто An= A×A×...×A. Прийнято вважати, що A0 = ∅ (n=0) і A1 = A (n=1). ЗАВДАННЯ 1. Уважно вивчіть розв’язання наведених нижче задач. Задача 1. Нехай . Визначити, які з наведених тверджень є правильними, а які – ні. Відповідь обґрунтувати. Розв’язання a) Твердження правильне, тому що об’єкт міститься у множині . b) Твердження також правильне, оскільки множина не містить об’єкта . c) Твердження невірне, тому що серед елементів множини немає елемента Æ. d) Твердження правильне, оскільки для елементів множини маємо: , отже. e) Твердження невірне, оскільки елемент , але . f) Твердження вірне, оскільки множина Æ не має елементів, тому умова не порушується для жодного . Задача 2.Обчислити наведені вирази при заданих множинах , , , та . a) ; b) ; c) ; d) ; e) . Розв’язання a) Оскільки лише елементи 5 та 6 є спільними для множин та , то . b) Очевидно, не існує жодного елемента, який би належав як множині , так й множині . Отже, множина не містить жодного елемента, тобто є порожньою: . c) Елементи 2, 8, 0 належать множині і одночасно не належать множині , тому . d) Оскільки , то, скориставшись рівністю , маємо . Ми отримали елементи, які належать або тільки множині , або тільки множині , але не обом множинам та одночасно. e) Оскільки , то – множина елементів, які належать універсальній множині і не належать множині . Остаточно, . Задача 3.Довести, що для будь-яких множин і . Розв’язання. Для доведення вказаної рівності достатньо показати, що та . Доведемо спочатку, що . Використовуючи визначення операцій різниці, перетину множин та операції доповнення множини, маємо: та та , отже, доведено, що , а це означає, що . Тепер покажемо, що : , отже, . Задача 4.Довести, що з випливає для будь-яких множин . Розв’язання. Потрібно показати, що за умови . Іншими словами, при доведенні включення можна користуватися не лише загальними відомостями про множини (такими, наприклад, як означення підмножини та операцій над множинами), але й тим, що . Отже, нехай . Тоді, згідно з означенням операції перетину множин, маємо: та . Оскільки , то з того, що , випливає . Отже, з того, що та , випливає , тобто . Задача 5.Довести, що для будь-яких множин . Розв’язання. Для доведення цієї еквівалентності потрібно показати, що та . Доведемо спочатку, перше з цих тверджень. Для цього доведемо включення за умови, що . Отже, нехай . Звідси випливає, що та (тобто ). Оскільки , то , отже, або . Але відомо, що , тобто залишається тільки можливість . Таким чином, показано, що , а це означає, що . Доведемо друге твердження: . Потрібно показати, що за умови . Нехай . Для довільної множини або , або . Розглянемо окремо кожен з цих випадків. Нехай . Тоді з означення операції об’єднання множин випливає, що є елементом множини, яка є об’єднанням множини з будь-якою множиною. Отже, . Розглянемо тепер другий випадок, тобто . Тоді , а оскільки , то . Але відомо, що , а це означає, що , тобто . Доведення можна записати таким чином. Задача 6.Використовуючи основні теореми та аксіоми алгебри множин, довести, що . Розв’язання. Для спрощення виразу в лівій частині рівності послідовно застосуємо закон де Моргана, тотожність , закон асоціативності та закон ідемпотентності. Задача 7.Спростити вираз . Розв’язання. Маємо. При спрощенні даного виразу послідовно застосовувалися закон дистрибутивності (до виразу ), тотожності та . При перетвореннях також використовувались закони асоціативності та комутативності. Задача 8.Нехай . Побудувати та . Розв’язання. Декартовим добутком множин та є множина. Третім декартовим степенем множини є множина. Задача 9.Довести, що . Розв’язання. Доведемо спочатку, що . Множина є декартовим добутком двох множин та , отже, елементи цієї множини – це впорядковані пари. Таким чином, маємо: або та або та або . Це і означає, що . Тепер покажемо, що . Аналогічно попередньому випадку або та або та . Розглянемо випадок та . Маємо: та . Якщо та , то маємо: та . Отже, у кожному випадку доведено, що . Таким чином, рівність виконується. ЗАВДАННЯ 2. Розв’яжіть задачі. Порядок розв’язання та відповіді надрукуйте.
1. Які з наведених співвідношень є правильними? a) {1,2,3} = {1,2,2,3}; b) {1,2,3} = {1,3,2}; c) {1,2,3} = {1,{2},3}; d) {1,2,3} = {{1,2},{2,3}}. Відповідь: 2. Визначити всі можливі співвідношення (рівності, нерівності, включення, строгого включення) між такими множинами геометричних фігур: A - множина всіх ромбів; B - множина всіх ромбів, усі кути яких прямі; C - множина всіх квадратів; D - множина прямокутників, усі сторони яких рівні; E - множина всіх прямокутників; F - множина чотирикутників, усі кути яких прямі. Відповідь:
3. Які з наведених співвідношень є правильними? a) ∅ = {0}; b) {1, ∅} = {1}; c) |{∅}| = 1; d) ∅ = { }; e) |∅| = 0; f) |{{∅}}| = 2; g) ∅ = {{ }}; h) |{∅}| = 0; i) |{∅, {∅}}| = 2. Відповідь:
4. Розглянемо такі множини, що складаються з цілих чисел: A = {2k+1| k∈Z}, B = {2n+3| n∈Z}, C = {2p-1| p∈Z}, D = {3m+2| m∈Z}, E = {3l-1| l∈Z}, F = {3t+1| t∈Z}. Які з наведених тверджень є правильними? a) A⊆B; b) A⊆D; c) D⊆F; d) A = B; e) D⊆A; f) E = F; g) B = C; h) D = F; i) D = E. Відповідь:
5. Які з наведених співвідношень є правильними? a) 1∈{1,2,3}; b) {1,2}∈{1,2}; c) 1∈{{1,2,3}}; d) {1,2}∈{{1,2}}; e) 1∈{{1},{2},{3}}; f) {1,2}∈{{1},{2},{3}}; g) {1}∈{1,2,3}; h) {1,2}∈{{1},{1,2},{1,2,3}}; i) {1}∈{{1},{2},{3}}; j) a∈{a}; k) {1,2}∈{1,2,3}; l) a∈{{a}}. Відповідь:
6. Які з наведених співвідношень є правильними? a) 0∈∅; b) {∅}∈{∅,{1}}; c) {∅}∈{∅}; d) ∅∈{∅}; e) {{∅}}∈{{{∅}}}; f) ∅∈{{∅}}; g) ∅∈∅; h) ∅∈{∅, {∅}}; i) ∅∈{1}; j) {∅}∈{∅, {∅}} Відповідь:
7. Які з наведених співвідношень є правильними? a) {a}⊆{a,b}; b) {a}⊆{{a},{b}}. c) 1⊆{1,2,3}; d) {1,2}⊆{{1},1,2,3}; e) 1⊆{{1,2,3}}; f) {1}⊆{1,2,3}; g) ∅⊆{1,2,3}; h) {1,2,3}⊆{1,2,3}; i) {1,2}⊆{{1},{2},{3}}; j) {1}⊆{{1},{2,3}}; Відповідь: 8.Нехай Обчислити a) ; b) ; c) 9. Знайти множини та , якщо Відповідь:
10. Довести тотожності шляхом рівносильних перетворень. а) ; b) ; c) d) ; e) . Доведення:
11. Побудувати , якщо , , . Відповідь:
12. Побудувати А2 , А3, якщо А={1, a, 3}. Відповідь:
13. Множина A має 127 власних підмножин. Чому дорівнює |A|? Відповідь:
ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ
З повагою ІЦ “KURSOVIKS”! |