Лабораторна робота №3, Побудова та аналіз функції множинної лінійної регресії з використанням засобів MS EXCEL

Мета роботи: набуття навичок побудови моделі множинної лінійної регресії з урахуванням лише неколінеарних факторів, оцінка якості моделі.

На основі рішення зібраних раніше даних побудувати та дослідити рівняння множинної лінійної регресії:

1. На основі статистичних даних показника Y та незалежних факторів знайти оцінки параметрів множинної регресії, використовуючи метод найменших квадратів.

2. Визначити часткові коефіцієнти кореляції та оцінити їх значимість.

3. Визначити множинні коефіцієнти кореляції та детермінації. Порівняти загальний коефіцієнт множинної детермінації зі скоригованим.

4. За допомогою F-критерію Фішера оцінити статистичну значимість зв’язку між факторами.

5. Оцінити статистичну значимість параметрів регресії з використання t-критерію Ст’юдента для рівня значимості α = 0,05.

6. Знайти довірчі інтервали для коефіцієнтів регресії для рівня значимості α = 0,05.

7. Зробити точковий прогноз залежної змінної при значенні пояснюючої змінної Х₁, що рівне максимальному спостереженню, збільшеному на 10 %, та значенні змінної Х₂, що дорівнює мінімальному значенню, збільшеному на 15 %.

Завдання 2

Проводиться специфікація моделі у вигляді лінійної функції Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + u. Звідси випливає, що система нормальних рівнянь для моделі буде мати вигляд:

Таблиця 2.2

Допоміжні розрахунки

Для рішення системи рівнянь використовується метод визначників.

де  – визначник системи;

 – часткові визначники, що отримані шляхом заміни відповідного стовпця матриці визначника системи даними лівої частини системи.

Тоді

Рівняння регресії має вигляд: .

Інший вид рівняння множинної регресії – рівняння регресії в стан­дартизованому масштабі: . Коефіцієнти стандартизованого рівняння регресії можна розрахувати так:

.

Рівняння регресії в стандартизованому вигляді: . Тобто зі збільшенням рівня механізації на одну сигму при незмінному середньому віці робітників продуктивність праці збільшується в середньому на 0,937 сігми. Оскільки 0,937 > 0,086, то вплив рівня механізації на продуктивність праці більший, ніж середній вік робітників.

Коефіцієнти парної кореляції показують на тісний зв’язок фактора Х₁ з результатом, фактор Х₂ має помірну силу зв’язку. Міжфакторна залежність є помірною, тобто фактори Х₁ та Х₂ не є колінеарними.

Часткові коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв’язку між результатом і відповідним фактором при виключенні впливу інших факторів, включених у рівняння регресії:

Як бачимо, зв’язок рівня механізації з продуктивністю праці при виключенні впливу середнього віку робітників тісний, на відміну від зв’язку останнього з продуктивністю праці.

Коефіцієнт детермінації для даної залежності:

.

Коефіцієнт детермінації показує, що продуктивність праці на 94,5 % описується вибраним набором факторів.

Скоригований коефіцієнт детермінації розраховується за формулою:

.

Скоригований коефіцієнт детермінації визначає тісноту зв’язку з врахуванням ступенів свободи загальної і залишкової дисперсії. Він дає таку оцінку зв’язку, яка не залежить від числа факторів і тому може порівнюватися за різними моделями і різним числом факторів. Обидва коефіцієнти вказують на досить високу (більшу 90 %) детермінованість результату Y в моделі факторами X₁ і X₂.

Для характеристики тісноти зв’язку в множинній лінійній регресії використовують множинний коефіцієнт кореляції:

.

Розраховане значення коефіцієнта множинної кореляції свідчить про достатньо тісний зв’язок факторів з результатом.

Оцінку надійності рівняння регресії в цілому і показника тісноти зв’язку R_YX1X2 показує F-критерій Фішера:

.

Отже,  (при n = 14), тобто ймовірність випадково отримати таке значення F-критерію не перевищує допустимий рівень значимості (5 %).

Для визначення статистичної значимості оцінок параметрів рівняння регресії необхідно скористатися формулою для розрахунку t-критерію Ст’юдента:

,

де а_j – параметри рівняння регресії;

с_jj – діагональний елемент матриці ;

 – залишкова дисперсія.

Для розрахунку за даною формулою виконуються допоміжні розрахунки.

Матриця Х для даної моделі буде такою:

Одиниця в матриці незалежних змінних Х дописується тоді, коли економетрична модель має вільний член а₀.

Тоді Х^Т:

Звідси :

Табличне значення критерію Ст’юдента при рівні значимості α = 0,05 та числі ступенів свободи (n – m – 1) = (14 – 3) = 11 вибрати t_табл = 2,201.

Тоді , тобто статистично значимим параметром рівняння регресії є лише а₁.

На основі критеріїв Ст’юдента та стандартної помилки можуть бути визначені довірчі інтервали для параметрів моделі:

Аналіз верхньої та нижньої межі довірчих інтервалів зумовлює висновок про те, що з ймовірністю p = 1 – α = 0,95 параметри а₀ і а₂, знаходячись у вказаних межах, приймають нульові значення, тобто є статистично незначимими. Параметр а₁ є статистично значимий.

Якщо прогнозоване значення рівня механізації складе X_1p = max(X_1i) * 1,1 = 76 * 1,1 = 83,6 %, а середній вік робітників X_2p = min(X_2i) * 1,15 = 31 * 1,15 = 35,65, то прогнозоване значення продуктивності праці становить: Y_p = 1,736 + 83,6 * 0,526 + 35,65 * 0,159 = 51,38 т/год.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!