Матеріали до курсу Основи наукових досліджень, НТУУ КПІ

Національний технічний університет України"Київський політехнічний інститут"

 

Матеріали до курсу Основи наукових досліджень

для магістрів денної форми навчання

 

Київ - 2016

ЗМІСТ

1. Загальні поняття. 4

1.1. Що таке наука. 4

2. Системний підхід. 11

3. Статистичні методи. 18

3.1. Шкали вимірювань. 18

3.2. Нечіткі обчислення. 20

3.3. Характеристики випадкової величини. 23

3.4. Перевірка статистичних гіпотез. 26

3.4. Загальна схема перевірки гіпотез про центри розподілу. 30

4. Моделювання. 36

5. Оптимізація. 41

5.1. Однокритеріальна оптимізація. 41

5.1.1. Загальна постановка. 41

5.1.2. Критерії ефективності 41

5.1.3. Оптимізація при наявності ризику. 41

5.1.4. Оптимальність при наявності невизначеності 42

5.1.5. Проблеми оптимізації. 42

5.2. Багатокритеріальна оптимізація. 42

5.2.1. Методи розв’язання багатокритеріальних задач. 42

5.2.2. Введення метрики в просторі цільових функцій. 43

5.2.3. Проблема визначення вагових коефіцієнтів. 45

5.3. Інші методи оптимізації 47

5.3.1. Динамічне програмування. 47

5.3.2. Нелінійне програмування. 51

5.3.3. Стохастичне програмування. 51

5.3.4. Стійке керування. 53

Практичні заняття. 55

1. Демонстрація необхідності планування експерименту. 55

1.1. Підвищення точності оцінок. 55

1.1.1. Традиційна схема зважування трьох об’єктів приведена в табл.. 1. 55

1.1.2. Ефективна схема зважування з плануванням експерименту. 55

1.1.3. Схема повного факторного експерименту. 56

1.1.4. Схема з дублюванням експериментів. 56

1.2. Забезпечення стійкості оцінок. 57

1.3. Забезпечення правильності визначення структури. 59

2. Регресійний аналіз. 73

1.2.2. Формалізація задачі 73

1.2.3. Аналіз и структурування об’єкту дослідження. 77

2.2. Побудова математичних моделей за експериментальними даними. 80

3. Регресійний аналіз. 86

3.1. Попередній аналіз результатів експерименту. 86

3.2. Перетворення даних. 88

3.3. Побудова коефіцієнтів математичної моделі і їх статистичних характеристик  92

3.4. Аналіз якості моделі 95

1. Загальні поняття

1.1. Що таке наука

Наука – це шлях пізнання і оволодіння.

Три шляхи пізнання (оволодіння навколишнім середовищем):

- Науковий (об’єктивний);

- Мистецький (суб’єктивний);

- Містичний або релігійний (віра, інсайт, прозріння). Наполеон і Лаплас, Пелевін.

В чистому вигляді ні один не існує.

Наукові знання. Наукова істина. Розвиток і закономірності. Теоретичне знання, парадигми, теорії

Особливості наукового знання.

Наука відрізняється від звичайного знання тим, що є не просто сукупністю відомостей, а є системою знань. Ця система постійно змінюється.

Мірилом істинності наукових знань є практична діяльність. Наукові істини в основному не є абсолютними. Істина – це процес.

Процес наукового пізнання і наукові революції.

Загальна схема розвитку науки.

1. Первісне накопичення фактів.

2. Формування понять, законів.

3. Створення теорій.

4. Поява парадоксів і спроба їх пояснювати спеціально кожен.

5. Зміна парадигми, з якою зв’язані засоби опису та аналізу.

6. Формування нових теорій.

Сучасна парадигма: Світ єдиний (системний підхід) і недерміністичний (ймовірністний, хаос).

В процесі розвитку кожна наука все більше математизується і теоретизується.

Розвиток математизації (не обов’язково чисельної) та створення теорії, що пояснює і дозволяє формувати нові знання.

Теорії дають рекомендації для практики, чи для напрямку розвитку науки.

Місце математики (формалізації, моделі)

З якогось моменту створення теоретичного знання продовжується, але рекомендації для практики перестають з’являтися. Наука продовжує викладатися, створюються теоретичні знання, але вимоги практики приводять до створення на її базі нової науки. (Геометрія – геодезія, картографія; теорія ймовірностей –математична статистика – прикладна статистика).

Спеціалізація і інтеграція.

Спеціалізація по проблемі.

Логістична крива (кількісні зміни і якісні переходи).

Методологія – це концептуальний виклад мети, змісту, методів дослідження, які забезпечують отримання максимально об’єктивної, точної систематизованої інформації про процеси та явища.

Функції методології.

1. визначення способів здобуття наукових знань;

2. визначає шлях, на якому досягається певна науково-дослідницька мета.

3. забезпечує всебічність інформації щодо явища чи процесу, що досліджується;

4. допомагає введення нової інформації до наукових фактів та теорій;

5. забезпечує уточнення, систематизацію термінів і понять.

Методика – сукупність прийомів дослідження включаючи техніку і операції х фактичним матеріалом.

Фундаментальна, або філософська методологія.

Визначає загальну стратегію принципів пізнання особливостей явищ, процесів.

Сучасна – Діалектичний метод.

Він дає змогу обґрунтувати причинно-наслідкові зв’язки, процеси диференціації та інтеграції, постійну суперечність між сутністю і явищем, змістом і формою, об’єктивність в оцінюванні дійсності. Досвід і факти є джерелом, основою пізнання дійсності, а практика – критерієм дійсності.

Функції.

1. Виявлення смислу наукової діяльності та її взаємозв’язки з іншими сферами діяльності, тобто розглядає науку стосовно практики, суспільства, культури.

2. Завдання вдосконалення і оптимізації наукової діяльності.

Загальнонаукова.

- Історичний підхід.

- Системний підхід.

- Моделювання.

- Термінологічний аналіз

Визначення основних понять.

Знання – це ідеальне (у свідомості людини) відтворення узагальнених уявлень про зв’язки об’єктивної реальності яке перевірене практикою.

Пізнання – процес руху людської думки від незнання до знання. Це взаємодія об’єкта та суб’єкта результатом якого є нове знання про світ.

Діалектика процесу пізнання в протиріччі між обмеженістю знань та нескінченною складністю об’єктивної дійсності.

Спонукальною причиною пізнання є проблема, яка ставиться практичною діяльністю.

Проблема. Це деяка невідповідність між бажаним і наявним, яке точно не визначено по цілі, структурі тощо. Формулювання проблеми фактично включає в себе шляхи розв’язку.

Наукове дослідження є цілеспрямованим пізнанням, результати якого виступають в вигляді системи понять, законів та теорій.

Наукове спостереження – цілеспрямоване та організоване сприйняття предметів та явищ навколишнього світу. Воно вимагає наявності певної ідеї та конкретизації умов спостереження.

Властивості наукового спостереження.

Інтерсуб’єктивність – результати не повинні залежати від особистості суб’єкта спостереження. Але інтерсуб’єктивність не означає об’єктивність, оскільки можливі помилки, ілюзії. Прилади теж цього не гарантують.

Об’єктивність – результати піддаються перевірці в процесі практичної діяльності.

Безпосередні та непрямі спостереження. З розвитком науки все більшу долю займають непрямі спостереження, в яких спостерігається не сам предмет, а його взаємодія з іншими предметами і явищами. В цих випадках спостереження обов’язково повинно опиратися на деяку гіпотезу чи теорію, що встановлює зв’язок між явищем, яке спостерігається і тим, що не спостерігається.

Дані в науці є результатом дослідження.

1. Вони повинні бути очищені від суб’єктивності.

2. Даними є не відчуття і сприйняття, а результат їх раціональної обробки, що є синтезом чуттєвого сприйняття та теоретичних уявлень.

3. Дані обробляються як з точки зору відповідної галузі науки, так статистичними методами, стандартизуються.

Функції наукового спостереження.

1. Забезпечення емпіричною інформацією для постановки проблем та висування гіпотез.

2. Перевірка гіпотез, які не перевіряються експериментально.

3. Співставлення результатів теоретичного дослідження, його адекватність.

Чим відрізняється експеримент від спостереження; різний зміст цього терміну в різних науках.

Функції наукового експерименту.

1. Перевірка гіпотез.

2. Уточнення при формуванні початкових допущень.

3. Отримання емпіричних залежностей.

Гіпотези з’являються як з емпірики так і з теоретичного знання.

Етапи пошуку закономірностей.

1. Спостереження.

2. Класифікація та аналіз як основа гіпотези та теорії.

3. Розвиток гіпотези та теорії для прогнозу нових результатів.

4. Спостереження та експеримент для підтвердження та розвитку теорії і т.д. і т.д.

Планування експерименту взагалі і в особливості.

Анекдот з феном.

Досліди по виявленню електромагнетизму.

Едісон матеріал лампи. Менделєєв – бездимний порох.

Шкали вимірювання.

Наукова ідея – інтуїтивне пояснення явища без проміжної аргументації і без усвідомлення всієї сукупності зв’язків, на основі яких робити висновок. Базується на наявних знаннях, але повинна виявляти нові закономірності.

Гіпотеза – наукове припущення, висунуте для пояснення явищ чи процесів. Використовується для цілеспрямованого збору і групування наукових фактів. При узгодженні може перетворюватися в закон.

Поняття (термін) – абстраговане відбиття суттєвих і необхідних ознак предметів і явищ. (+упаковка смислу).

При дослідженнях, де перетинаються спеціалісти різних наук необхідно скласти список термінів з розшифруванням.

Термінологія (згортка понять, встановлення відповідності що терміни означають приклади котли, меблі)

Розкриття змісту поняття є його визначенням. Визначення поняття повинно:

- вказувати на найближче родове поняття;

- вказувати чим відрізняється дане поняття від інших.

Закон – внутрішній суттєвий зв’язок явищ.

Початкові закони і узагальнення отримують за допомогою індуктивної логіки.

Такі абстракції, як поняття і закони, відображають окремі сторони явищ, але не дають цілісної картини.

Теорія

Для побудови теорій використовують дво основних способи.

1. Гіпотетико-дедуктивний. Це ієрархія гіпотез, логічна сила і узагальненість яких збільшується по мірі віддалення від емпіричного базису. Він приводить в єдину систему існуючі знання і встановлює логічні зв’язки між ними.

2. Аксіоматичний. Встановлюється системи аксіом. З неї отримують всі інші результати. Згідно з другою теоремою Геделя неможливо створити одночасно несуперечливу і повну систему аксіом.

Наука (конкретна) є сукупністю теорій.

Теорія – система ідей, поглядів, положень, законів, що описують явище чи процес. Це форма синтетичного знання. В його межах окремі поняття, гіпотези втрачають свою самостійність і перетворюються на елементи цілісної системи.

Вона (теорія) повинна:

- Бути адекватною описуваному явищу (процесу);

- Бути повним описом явища (процесу);

- Давати можливість замінювати експериментальні результати теоретичними;

- Пояснювати взаємозв’язки між компонентами;

- Бути внутрішньо несуперечливою.

Теорію створюють, використовуючи:

- Наукові факти;

- Логічний аналіз;

- Математичні засоби.

Теорія повинна не тільки пояснювати існуючі факти, а й дозволяти прогнозувати нові результати. Теорії виникають тільки на певному етапі розвитку науки. Спочатку в результаті наукових досліджень отримують наукові факти, поняття, закони.

Носій знань. Науковий обмін. Науковий колектив.

Носій знань – вчений. Форми обміну та їх ефективність. Невидимий колектив.

2. Системний підхід

Компьютерная техника развивает определенную разновидность определенную разновидность мировосприятия – кругозор человека в туннеле, у которого вместо мысли одни статистические показатели, собранная информация, цифры. У специалистов такого рода недоразвита способность к мало-мальски стоящим оценочным суждениям и сверхразвита способность думать цифрами. Чтобы дать обобщающую оценку, нужно обладать видением системы в целом, уметь последовательно развивать мысль и вникать в глубинную суть явлений. Цифровые оценки достигаются куда проще и, даже если они ошибочны, все равно впечатляют, поскольку предстают как результат работы, проделанной с применением сложного современного оборудования.

Питер Лоуренс Дж. Принцип Питера

Світ єдиний і недерміністичний.

Системою називається сукупність елементів з позитивною енергією зв`язку і/або позитивною кореляцією руху.

Формальними ознаками системи є:

- наявність певної множини взаємозв`язаних елементів;

- вказана множина є єдиним цілим;

- дана множина має мету, яка характерна саме для цієї множини елементів, а не для якої-небудь іншої їх комбінації.(пасажири літака чи десантники в літаку)

Системи розділяють на відкриті, в яких є обмін енергією, речовиною чи інформацією з навколишнім середовищем та закриті, в яких такого обміну немає.

Практично, закриті системи є деякою абстракцією, чи штучно створені. Будь-яка система існує і взаємодіє з певним навколишнім середовищем. Це середовище іноді називають надсистемою. Фактори дії середовища на систему називають вхідними або екзогенними. Фактори дії системи на середовище – вихідні, або ендогенні.

Основними властивостями системи є:

- цілісність –всі частини системи служать загальній меті, вилучення підмножини елементів приводить до втрати цілісності і знищення системи:

- емерджентніть – система має властивості, яких немає в жодного з елементів, що її складають.

Висновки з властивостей системи.

- При вивченні система повинна розглядатися як єдине ціле.

- Неможливо вивчити системи, вивчивши окремо її складові частини.

Система – це не сума елементів, що її складають. Взаємодії створюють нові властивості.

Бінарні гази, взаємодія фармпрепаратів, сліпці, що вивчали слона, колектив.

Мета системи (енергокатастрофи США, Великобританія, Італія; Система охорони здоров’я Франція. Системні кризи в суспільстві.)

Системний підхід – це вивчення системи як одного цілого.

При вивченні:

1. Цілі системи.

2. Функції.

3. Структура.

Діаграма Ісікава для побудови системи цілей.

Мета системи – це “бажаний” стан виходів (чи множина станів виходів).

Функція системи – це дії системи, які приводять до зміни її стану. Виконання системою своїх функцій називається функціонуванням. Функціонування – це еволюційний перехід системи із одного стану в інший.

Так, наприклад, функцією виробничої системи є виготовлення певної продукції шляхом перетворенні вхідних матеріальних та енергетичних потоків.

Для кожної системи характерним є наявність певної структури – сукупності зв`язків та відношень між її елементами.

Структура – це внутрішня впорядкованість, погодженість взаємодії окремих елементів системи. При цьому існує певна динамічна стійкість просторово-часових зв’язків елементів структури системи. Елемент системи – це частина системи, яка виходячи з функції та цілей даної системи вважається неподільною.

Зміна системою своєї структури називається біфуркацією. Поблизу точки біфуркації малі впливи можуть привести до великих змін стану системи та її динаміки.

Складністю системи називають розмірність простору структури.

Складна система характеризується множиною неоднорідних структур і множиною зв’язків між ними. Число її станів велике і опис викликає труднощі.

- примітивні, для яких єдиними біфуркаціями є народження і смерть;

- аналітичні, які проходять в своєму існування скінчений рід біфуркацій;

- хаотичні, в котрих в кожен момент змінюється хоча б один структурний фактор.

Системи відкриті, нелінійні, нестійкі.

Фазовий простір– це простір, утворений множиною показників, які повністю характеризиють стан системи в будь-який момент її існування.

Ат трактор – траєкторія руху системи в фазовому просторі.

В процесі еволюції однієї і тієї ж системи (чи з різних точок зору) поведінка системи може описуватися детерміністично, статистично, теорією хаосу.

Саморегуляція внутрішні перетворення структури, які направлені на збереження працездатності процесів.

Цілісність системи обумовлена взаємозв’язком процесів, що в ній відбуваються.

При взаємодії елементів можливі наступні процеси.

1. Перетворення (зміна складу, структури і властивостей) речовини;

2. Перетворення (взаємопереходи, трансформація) енергії;

3. Перетворення (обробка, перетворення форми представлення) інформації;

4. Зберігання (затримка по доступу в часі) речовини.

5. Акумуляція (накопичення) енергії.

6. Зберігання (запамятовування ) інформації;

7. Транспортування (переміщення) речовини.

8. Передача енергії;

9. Передача (обмін) інформацією.

Більш ефективними та життєздатними є ті системи, в яких розширення функціональних можливостей елементів випереджає зростання складності системи. (Демократія – монархія в різних суспільствах).

При створенні:

1. Дерево цілей системи..

2. Дерево функцій системи.

3. Дерево протиріч системи.

4. Структури системи на основі функціональних модулів.

5. Структури системи на основі конструктивних модулів.

Аналіз, синтез, “чорний ящик”

Принципи ускладнення поведінки систем

1. матеріально-енергетичного балансу (на основе законів збереження);

2. гомеостазиса (на основі зворотніх звязків);

3. вибору розв’язку (на основі індуктивної поведінки;

4. перспективної активності або потрібного майбутнього (преадаптація, випереджуюча реакція);

5. рефлексії (випереджуюче відображення).

Стійкість.

Прості системи мають пасивні форми стійкості: міцність, збалансованість, гомеостази (повернення в стан рівноваги при виведенні з нього)

Для складних – активні: надійність (збереження структури системи незважаючи на загибель окремих елементів за допомогою заміни чи дублювання) і живучість (активне подавлення шкідливих факторів).

Принципи побудови систем

1. Цілісність.

2. Структурність (можливість опису системи через встановлення її структури).

3. Ієрархічність (кожен елемент системи може розглядатись як с самостійна система, а досліджувана система як елемент іншої системи).

4. Взаємозв’язок елементів всередині системи, а також системи та навколишнього середовища.

5. Множинність опису системи (для дослідження системи необхідно будувати множину різних моделей, кожна з яких описує тільки окремий її аспект).

Катастрофа.

Зміна характеру зв’язків і поведінки системи називається біфуркацією.

Рис. 1 - Біфуркація і катастрофи типу складки

Ознаки катастрофи.

1. Аномальна дисперсія (збільшення розмаху коливань величин, що характеризують систему).

2. Можливість існування більш ніж однієї траєкторії стійкого розвитку чи рівноваги; стрибкоподібна зміна значень характеристик; великі зміни характеристик при малих вхідних діях; проява гістерезисна (труднощі при поверненні системи до характеристик попереднього стану).

3. Різниця в реакції на одні і ті ж вхідні дії при однакових умовах; сповільнення затухання коливань характеристик; збільшення частоти коливань.

Приклад катастрофи на психологічних тестах (рис.). Якщо розглядати малюнки по горизонталі, то кожен з них відрізняється від свого сусіда незначними деталями. В деякій зоні малюнки можуть бути інтерпретовані двояко: і як чоловіче обличчя і як сидяча дівчина (біфуркація). Але при послідовному пред’явлені їх спостерігачу в деякий момент він ідентифікує їх однозначно (катастрофа: обличчя–дівчина). Конкретний малюнок переходу залежить від того з якого боку починається показ. Зона невизначеності відмічена “дзьобом”.

Рис. 2 - Приклад катастрофи на психологічних тестах

3. Статистичні методи

1. Що таке статистичні методи. Види (математична, прикладна, непараметрична, робастна, аналіз даних).

2. Шкали вимірювань.

3. Класи статистичних задач.

4. Перевірка гіпотез. Загальні поняття та вибір методів.

5. Гіпотези про параметри положення та розсіяння.

6. Визначення наявності залежності між змінними.

7. Методи класифікації.

8. Зниження розмірності.

9. Побудова моделей за емпіричними даними (чорний ящик, планування експерименту, регресійний аналіз).

10. Моделі марківських ланцюгів.

3.1. Шкали вимірювань

Измеряй все доступное измерению и делай недоступное измерению доступным.

Галілео Галілей

Обробка статистичними методами можлива лише для тієї інформації, яку можна виміряти. В зв’язку з цим розглянемо, які можливі шкали вимірювань. В залежності від шкали, в якій вимірюються наші дані, можливе використання різних статистичних методів для розв`язання однієї і тієї ж задачі. Існують наступні шкали вимірювань:

- шкала класифікації (найменувань);

- шкала порядку;

- шкала інтервалів;

- шкала відношень.

Розглянемо особливості цих шкал.

Шкала класифікації (найменувань, номінальна). Неможливі ніякі операції по порівнянню даних, окрім “дорівнює” та “не дорівнює”. Нумерація чи найменування служить тільки для ідентифікації об`єкту — номер будинку, номер на майці спортсмена тощо.

Шкала порядку. Можливе порівняння об`єктів по величині (більше, менше, дорівнює). Інші операції неможливі. Прикладом може слугувати шкала твердості мінералів, в якій є ряд еталонних мінералів, сформований таким чином, що кожен наступний мінерал в ряду твердіший за попередній.

Шкала інтервалів. В цій шкалі можливе не тільки порівняння по величині, але також і визначення наскільки більше (тобто можливі операції додавання та віднімання). Прикладом можуть бути шкали вимірювань температури (Цельсія, Кельвіна, Фаренгейта, Реомюра).

Шкала відношень. В цій шкалі можливі всі операції (порівняння, додавання, віднімання, множення та ділення), тобто можливо поставити питання у скільки разів. Приклади — вага, довжина тощо. В цих випадках існує природна точка відліку (початок координат, нуль).

Потрібно відмітити, що в процесі розвитку відповідних наук та засобів вимірювань можливий перехід від однієї шкали до іншої, більш досконалої. Так, наприклад, перші термометри вимірювали температуру в шкалі порядку (помірно, тепло, гаряче і т.д.).

Іноді кажуть також про дискретні та неперервні шкали вимірювань. В загальному випадку до дискретних відносіть шкали класифікації та порядку. В цих шкалах не існує проміжних значень (наприклад – номер будинку 53,4 або твердість 2,5)

Таблиця 1. Можливі операції в різних шкалах вимірювань

Назва шкали	Вид	Можливі операції
Класифікації	Дискретна	= ¹
Порядку	Дискретна	= ¹ > <
Інтервалів	Неперервна	= ¹ > < + -
Відношень	Неперервна	= ¹ > < + – / x

3.2. Нечіткі обчислення

Нечітка логіка стала розвитком можливих шкал вимірювання. Вона дає можливість працювати з так званими лінгвістичними змінними. Ними називають вислови, які використовуються для оцінок деяких характеристик. Наприклад, молодий, старий або великий, дуже великий, маленький тощо. Використанні апарата нечіткої логіки дозволяє обробляти такі вимірювання, що розширює можливості аналізу даних і дозволяє більш повно та точно враховувати інформацію, що надається експертами.

Розглянемо приклад для отримання числового опису поняття “висока температура” в медицині. Ми згодні, що 37 це ще не висока температура, а 38 – вже висока. В такому разі у відповідність 37^о ставимо 0, що означає ” 37^о точно не висока температура”, а у відповідність 38^о ставимо 1, що означає “38^о – висока температура”. Побудуємо функцію приналежності значення температура множині “висока температура” (див. рис.1). Із нього видно, що для температури менше 37^о значення цієї функції дорівнює 0, а для температури більше 38^о – 1. В інтервалі температур (37^о, 38^о) ступінь приналежності до множини “висока температура” визначається відповідним значенням У. Так, для 37,5^о – це 0,5. Лінія, що описує характеристичну функцію зовсім не обов’язково має бути прямою лінією, вона може бути любою гладкою функцією.

Нечіткі обчислення використовуються в тому випадку, коли необхідно обробити (представити в математичній формі) експертні знання, які сформульовані в вигляді словесних (лінгвістичних) виразів.

Рис. 3 - Характеристична функція визначення «висока температура»

Для роботи з такими даними використовуються модифікації логічних операцій, наприклад логічного множення і логічного додавання. Вони дозволяють обчислити результат виразу, який об’єднує вирази за допомогою операцій “І”, “АБО”. Наприклад, “результатом технологічного процесу буде брак, якщо температура буде висока, або час витримки великий”.

Таблиця 2 - Виконання деяких операцій нечіткої логіки

3.3. Характеристики випадкової величини

Богу всегда середина любезна, и меру чтит божество.

Эсхілл. “Эвменіди”

Средний человек в обществе то же, что центр тяжести в физическом теле; имея в виду эту центральную точку, мы приходим к пониманию всех явлений равновесия и движения.

Адольф Кетле

В статистиці при аналізі даних завжди існують наступні проблеми:

1. Скільки даних необхідно вибрати і як їх відбирати.

2. Правомочність поширення висновків, зроблених на основі вибіркових даних на всю генеральну сукупність.

3. Вибір оптимальних способів оцінювання.

4. Вибір способів узагальнення, класифікації та представлення даних.

Кожним зі вказаних питань займаються різні розділи статистики і, відповідно, і різні люди. Дослідник же завжди повинен пам`ятати про ці проблеми, оскільки він відповідає за результати досліджень та зроблені висновки, що в багатьох випадках може впливати на матеріальне становище, здоров`я та навіть життя багатьох людей.

Властивості оцінок параметрів

Оцінки параметрів повинні відповідати наступним вимогам[1]:

Незміщеність — означає, що при проведенні дуже великої кількості дослідів з вибірками однакового розміру середнє значення кожної вибірки наближається до істинного значення генеральної сукупності. Зміщеність зазвичай обумовлена наявністю систематичної похибки.

Обґрунтованість — з ростом розміру вибірки оцінка повинна наближатися з ймовірністю, що прямує до 1, до значення відповідного параметра генеральної сукупності.

Ефективність — вибрана оцінка для вибірок рівного обсягу повинна мати мінімальну дисперсію.

При розробці оцінок, як правило, висувають деякі припущення. В зв`язку з цим оцінки відповідають приведеним вимогам (мають відповідні властивості) тільки при виконанні припущень. Про це необхідно пам`ятати при використанні оцінок.

Для оцінювання параметрів використовуються різноманітні методи, особливе місце серед яких займає метод максимальної правдоподібності. Він використовується в тих випадках, коли відомий закон розподілу. Ідея його – оцінки мають бути рівні значенням, при яких вибірка має максимальну ймовірність появи.

До характеристик одновимірного розподілу відносяться:

1. Міри положення (середнє, медіана, мода тощо).

2. Міри розсіяння (розмах, коефіцієнт варіації, дисперсія, середньоквадратичне відхилення).

3. Міри форми (асиметрія, ексцес, моменти третього та четвертого порядку).

Властивості середнього (вибіркового)

- Сума відхилень від середнього дорівнює 0.

- Якщо всі значення вибірки збільшити чи зменшити, помножити чи поділити на одне і теж число, то середнє значення зміниться аналогічно.

- Зі збільшенням числа вимірювань точність оцінки збільшується і вона наближається до відповідного значення генеральної сукупності, але тільки в тому випадку, якщо немає систематичних похибок і виміри незалежні.

- Середнє суми двох вибірок дорівнює сумі їх середніх, якщо вибірки однакових розмірів (аналогічно для різниці) .

- Якщо ряд спостережень складається з К груп, то середнє арифметичне всього ряду дорівнює виваженій груповій середній, ваговими коефіцієнтами при цьому виступають обсяги груп[2] .

Декілька несподіваних зауважень

Середнє зовсім не є типовим. Наприклад, середній прибуток ні в якому разі не є типовим для більшості країн.

Середнє не співпадає з математичним сподіванням. За винятком випадку нормального розподілу арифметичне середнє навіть не є незміщеною оцінкою математичного сподівання з найменшою дисперсією. Більш того, навіть для нормального розподілу можна вказати оцінку, яка буде ближче до математичного сподівання, правда без деяких корисних властивостей середнього.

Властивості медіани

- Сума абсолютних величин відхилень варіантів від медіани, помножених на відповідні частоти є мінімальна, тобто менше, ніж від будь якої іншої величини[3]

x – Me m_x x – a m_x.^"x"x

На значення медіани не впливають зміни крайніх значень варіаційного ряду, якщо тільки менше медіани залишається меншим, а більше продовжує залишаться більшим[4].

Медіана є більш стійкою оцінкою міри положення у випадку наявності “викидів”.

Властивості дисперсії

- Дисперсія постійної величини дорівнює 0.

- Якщо всі результати збільшити або зменшити на одне і то ж число, то дисперсія не зміниться.

- Дисперсія суми і різниці випадкових величин дорівнює сумі дисперсій.

- Якщо всі результати змінити в К разів то дисперсія зміниться в К² раз[5].

- .

Корінь квадратний з дисперсії це середньоквадратичне відхилення — S. В англомовній літературі цей термін прийнято називати стандартною помилкою.

Фактичний довірчий інтервал при одночасній оцінці кількох параметрів, буде менше, ніж задається загальноприйнятими формулами.

3.4. Перевірка статистичних гіпотез

Гипотеза может быть проверена, но никогда не может быть доказана.

Л.Закс “Статистическое оценивание”

Нулевая гипотеза – это род рассуждения, называемого reducio ad absurdum[6] и состоящего в опровержении выдвинутого утверждения путем показа его невероятности.

Соломон Дайменд “Мир вероятности. Статистика в науке”

Це гіпотези, які відносяться до виду чи значення окремих параметрів розподілу випадкової величини. Нехай f(X, — закон розподілу випадкової величини Х з деяким параметром. Тоді:

H₀ (нульова гіпотеза):

H₁ (альтернативна або конкуруюча гіпотеза).

Помилка першого роду: — H₀ відкидається, коли вона істинна.

Помилка другого роду: — H₀ приймається, коли істинна H₁.

Будь-які гіпотези перевіряють, висуваючи спочатку комплекс певних допущень про закон розподілу випадкової величини. Невиконання цих допущень робить висновки із перевірок по гіпотезі некоректними.

Нульова гіпотеза відхиляється в тому випадку, коли ймовірність того, шо вона вірна виявляється нижче деякого рівня, який називається рівнем значущості.

Таблица 3. Можливі ситуації при перевірці статистичних гіпотез

		Фактична ситуація
		Н0 –вірна	Н0 – невірна
Дії перевіряючого	Відкинути гіпотезу Н0	a	1–b
	Прийняти гіпотезу Н0	1–a	b

Тут a – ймовірність помилки першого роду або рівень значущості; (1–a) – довірча ймовірність; b – ймовірність помилки другого роду; (1–b) – потужність критерію.

В технічних дослідженнях, як правило потужність критерію не розраховують. Можливе його значення враховують при виборі критерію. Це зв’язано з значними складностями при визначенні потужності в реальних дослідженнях. На його значення впливає велика кількість факторів і їх необхідно надати певні значення. Ситуація ускладнюється тим, що частина факторів залежить одна від одного.

На величину потужності впливають a, b, кількість експериментів, варіабельність, виконання передумов та допущень критерію (відповідність прийнятої гіпотези реальному стану справ), фактичне значення параметру, який перевіряється..

Таблиця 4. Характер залежності потужності від інших показників (при умові, що інші не міняються)

Збільшення параметру при незмінності всіх інших	Напрямок зміни потужності
a (ймовірність помилки першого роду)	Збільшення
b (ймовірність помилки другого роду)	Зменшення
Розмір вибірки	Збільшення
Варіабельність	Зменшення

Рис. 4 - Взаємозв’язок помилок 1-го и 2-го роду

Нехай ліва крива відповідає статистиці нульової гіпотези, а права – альтернативної. Тоді площа під першою кривою зліва від вертикальної лінії відповідає ймовірності помилки першого роду, а площа під другою кривою зліва від вертикальної лінії – ймовірності помилки другого роду. Пересуваючи вертикальну лінію вправо для того, щоб зменшити помилку першого роду, ми тим самим збільшуємо помилку другого роду і зменшуємо потужність.

На рис. Видно залежність потужності від числа дослідів і фактичного значення параметру, який перевіряється. Добре видно, що потужність збільшується зі зростанням розміру вибірки. Це можна інтерпретувати таким чином, що при малій різниці між параметрами, що порівнюються необхідно більше експериментів для впевненого прийняття рішення про наявність різниці між ними. З того ж малюнка видно, що в тому випадку, коли фактичне значення параметру, який перевіряється відрізняється від прийнятого в нульовій гіпотезі (Н_о: р ¹ 0,5), це приводить до збільшення помилки другого роду і зменшенню потужності.

Крім того, залежність потужності від виконання деяких передумов може мати дискретний характер. Так відомо, що при використанні непараметричних критеріїв до даних, які мають нормальний закон розподілі непараметричні критерії мають меншу потужність, ніж відповідні параметричні.

Рис. 5 - Крива потужності для перевірки біноміальної гіпотези р=0,5 для різного числа дослідів

Односторонні та двосторонні критерії

В тому випадку, коли нульова гіпотеза сформульована в формі, використовується двосторонній критерій.

Рис. 6 - Приклад критичної області для двохстороннього критерію

Якщо ж ми формулюємо нульову гіпотезу Если в виді або), то в цьому випадку використовується односторонній критерій.

Рис. 7 - Пример критической области для одностороннего критерия

Односторонній критерій при інших однакових умовах має більшу потужність, ніж двохсторонній. Якщо нас цікавить тільки абсолютне значення деякого параметру, то використовується односторонній критерій, якщо і знак, то двосторонній.

Розраховане р-значння

Виходячи з вищевказаного зрозуміло, що саме розраховане р-значення в тому випадку, якщо воно мало (наприклад, менше 0,001) не несе достатньої інформації для правильних висновків. Адже воно розраховано, виходячи з правильності нульової гіпотези. Якщо ж нульова гіпотеза невірна, то це значення практично немає ніякого значення для інтерпретації.

3.4. Загальна схема перевірки гіпотез про центри розподілу

Типовим використанням гіпотези про середні є ситуація, коли ми маємо дві вибірки випадкової величини. Перевірка гіпотези дозволяє відповісти на питання, чи є статистично значимою різниця між середніми цих вибірок. Іноді при перевірці цієї гіпотези може виникати протиріччя між інтуїтивним уявленням (середні сильно відрізняються) і висновками з перевірки гіпотези — середні відрізняються статистично не значимо. Це зв`язано з тим, що довірчий інтервал одного із середніх повністю включає в себе довірчий інтервал іншого середнього.

Непараметричні критерії вибираються в тому випадку, коли шкали вимірювань нечислова (порядкова чи найменувань), або коли закон розподілу відмінний від нормального.

Перевірити чи є закон розподілу нормальним можна за допомогою простої нестрогої перевірки. Якщо виконується умова

,

то закон розподілу можна вважати нормальним.

Деякі зауваження до перевірок середніх

В тому випадку, коли вибірка формується не випадково, стандартні відхилення зменшуються, а різниця середніх значень збільшується.

Таблиця 5. Вибір критерію для перевірки статистичної гіпотези про міри розсіяння та положення

Можливі парадокси при перевірці гіпотез про середні

При перевірці гіпотез можливі наступні ситуації:

Щоб прийняти рішення в таких ситуаціях існують спеціальні методи перевірки рівності між собою декількох середніх.

Метод множинних порівнянь Шеффе

Досить частою є ситуація, коли необхідно порівняти між собою не два значення середніх, а більше. Порівняння їх за допомогою дисперсійного аналізу дозволяє встановити чи можемо ми вважати їх рівними, чи ні. Але в тому випадку, коли вони не рівні, необхідно визначити, які середні рівні між собою, які ні. Використовувати попарні порівняння в цьому випадку не можна, так як виникають парадокси (див. вище). Крім того, фактичний рівень значущості буде набагато більше ніж встановлений експериментатором. Наприклад, коли ми маємо 5 вибірок, то загальна кількість можливих пар порівнянь k=5!/2!(5–2)!=10, тоді ймовірність отримати хоч один значимий результат при рівні значимості в кожному Р = (1 – (1 – 0,05)¹⁰ » 0,40.

Призначення. Перевірка гіпотези про приналежність кількох середніх до однієї генеральної сукупності, або визначення груп середніх значень, що належать до однієї сукупності.

Нульова гіпотеза. H₀: , де c_i – певні константи, на яких накладається умова .

Передумови. Дані повинні бути розподілені по нормальному закону і бути незалежними.

Короткі теоретичні відомості.

Контрастом називається лінійна комбінація середніх значень вибірок. Наприклад ми маємо 5 вибірок, середні значення яких . Припустимо, що ми вважаємо, що ці вибірки належать до двох різних генеральних сукупностей, середні значення в яких  відповідно. Тоді нульова гіпотеза може бути сформульована у вигляді H₀: . При цьому в залежності від складу вибірок, із яких можуть складатися групи А і В можливі наступні варіанти цієї гіпотези.

Зрозуміло, що коефіцієнти С_i для першого випадку мають значення 1/2, 1/2, –1/3, –1/3, –1/3, а для другого 1, –1/4, –1/4, –1/4, –1/4. Якщо б ми бажали порівняти першу та четверту вибірки, то коефіцієнти С будуть мати значення 1, 0, 0, -1, 0. Таким чином, змінюючи С, можна перевірити будь-які комбінації пар вибірок Критеріальне значення розраховується по формулі

(3.13)

Де внутрігрупова дисперсія , а де , k – число вибірок, n_i – кількість елементів кожної вибірки,   – загальна кількість спостережень. Якщо розраховане значення S буде більше критичного значення F_k-1,n-k,a, то гіпотеза про рівність середніх відповідних вибірок, чи груп вибірок відкидається.

Формування груп середніх за допомогою LSD-критерію (leastsignificantdifference)

Виконується наступна послідовність дій.

1. Впорядкувати значення середніх по величині.

2. Для кожної пари, починаючи з першої, виконати перевірки значимості середніх. Для цього розраховується значення LSD. При рівних розмірах вибірок використовується формула:

(3.14)

Якщо, розміри вибірок різні, то користуються формулою, по якій розраховується значення для кожної пара вибірок

,

де t_n-k,a – табличне значення критерію Стьюдента;  – внутрішньо групова дисперсія; F_1,n-k,a – табличне значення критерію Фішера; n_i –кількість спостережень в кожній виборці (якщо вони однакового розміру); n_a и n_b – кількість спостережень в вибірках, які перевіряються; k – кількість вибірок.

Якщо різниця середніх значень сусідньої пари менше значення LSD, то ці середні вважаються однаковими, а відповідні вибірки об’єднуються в однорідну групу.

Зауваження.

При сумісному використання порівнянь по Шеффе і критерию LSD можлива поява уявних протиріч. Наприклад, середні значення вибірок, що входять в різні однорідні групи, не відрізняються значимо одне від одного. Справа в тому, що в однорідній вибірці зібрані вибірки, для сукупності середніх яких приймається гіпотеза про їх рівність. сукупності середніх которых принимается гипотеза об их равенстве. То ж, що деякі з них при попарному порівнянні можуть бути рівними середнім інших вибірок цьому ніяк не протирічить.

4. Моделювання

Модель це система, що може заміщати оригінал так, щоб вивчення системи давало нову інформацію про оригінал. Модель відтворює значущі властивості оригіналу.

Моделювання це процес побудови та дослідження моделі.

Процес моделювання включає наступні етапи:

1. постановка проблеми та формалізація задачі.

2. Побудова моделі.

3. Експериментальне дослідження моделі.

4. Перенесення результатів, отриманих на моделі, на оригінал.

Модель як відображення світу. Відношення моделі і світу.

Базовий тип моделі – імітаційна (об’єктно-орієнтована).

Різні моделі одного і того ж процесу (історично і одно моментно).

Обмеженість моделей.

Зміна моделей в процесі розвитку науки (світло, сонячна система).

Опис складного об’єкту сукупністю різних моделей (світло, людина).

Ізоморфні відносно входів-виходів математичні моделі (різні). Приклад прогнозу.

Базовий тип моделі – імітаційна (об’єктно-орієнтована).

Моделі: фізичні і символічні.

Фізичні: геометричної подібності і аналогові.

Геометричної подібності: однієї ж природи, зміна розмірів. Структура і геометричні властивості оригіналу. Моделі будівель, кораблів, літаків. Басейни, аеродинамічні труби. Переваги:

1. Можливість заміщувати складні, дорогі системи, експерименти над якими проводити неможливо, або економічно невигідно.

2. Наочність отриманих результатів про структуру та функції реальної системи.

3. Достовірність результатів.

Недоліки:

1. Для кожної системи потрібну будувати нову чи перебудовувати стару.

2. Погано пристосовані для вивчення динаміки.

Обмеження їх, наприклад, міцність, бульб. + Стенди (космос, авіація, авто). Фрагменти (в кораблебудуванні).

Аналогові. За допомогою фізичних процесів, що аналогічні іншим фізичним процесам, описуються такими ж математичними співвідношеннями, напр. диф. рівняннями, але мають іншу фізичну структуру.

АВМ, логарифмічна лінійка (відрізки на шкалі аналоги цифр).

(Гідро, електро-, АОМ).

Символічні відображають структуру та функції оригіналу за допомогою символів та відношень між ними.

Символические описывают структуру и функции оригинала с помощью символов и отношений между ними, выражающих определенные зависимости, присущие оригиналу.

Математические модели (подмножество символических) уравнения, неравенства, функции, алгоритмы и пр.)

Математические модели представляют собой систему математических и логических отношений описывающих структуру и функции реальной системы. Они отличаются по своей природе от оригинала. Исследование дешевле занимает меньше времени.

Математичні моделі (рівняння, нерівності, матричне, графи, функції, алгоритми тощо)

Відповідність моделі аналогові.

Види аналогії (подібності) моделей)

1. Ізоморфізм. Взаємно-однозначна відповідність структур моделі та оригіналу. Діюча модель верстату.

2. Гомоморфізм. Кожному елементу моделі відповідає елемент оригіналу, але не навпаки. Відображаються лише основні властивості системи. Блок-схема як гомоморфна модель програми. Всякий ізоморфізм є гомоморфізм, але не навпаки.

3. Подібність відношень. Для моделі та оригіналу різної природи.

Моделі – закономірність розвитку будь-якої науки. Важливість моделювання як практична так і пізнання, розвитку методів, формалізації. Емпіричні (всі закони емпір.) Спрощення; осн. закономірність.

Клас. Моделей.

Статичні, динамічні.

Структурні і функціональні.

Описові та оптимізаційні.

Детерміністичні, стохастичні, з урахуванням невизначеності.

Лін-нелін, загальна структура, період/непер. Часткова структура; неоднозначність.

Пуанкаре про математику і природу.

Простота (Птоломей–Копернік; Оккама)

Можливість смислового аналізу

Особливості комп’ютерних моделей.

Обєктно-орієнтоване моделювання.

Для проведення імітаційного моделювання необхідно побудувати об’єктно-орієнтовану модель системи. При створенні моделі, виходячи із цілей та функцій системи, створюється сукупність абстракцій, що дозволяють описати функціонування системи. Абстракція виділяє суттєві характеристики деякого об’єкту, що вирізняють його від інших, і таким чином визначає його концептуальні межі з точки зору спостерігача.

Модель системи є сукупністю діаграм класів, об’єктів, взаємодій та переходів. Діаграма класів системи включає всі класи системи та відношення між ними. Діаграми станів та переходів та взаємодії і раніше широко використовувалися. Перші – це графи станів та переходів, що описують марківський ланцюг станів, а другі – технологічні діаграми.

При моделюванні ООМ використовують наступні види абстракції.

- Абстракція сутності. Об’єкт є моделлю деякої сутності з предметної області.

- Абстракція поведінки. Об’єкт складається з сукупності операцій.

Елементами абстракцій є класи. Клас фактично є класифікаційною одиницею. Класом можуть бути матеріальні предмети, процеси, інформаційні потоки та ін. Результатом роботи по класифікації та абстрагуванню повинна бути діаграма класів системи, яка описує властивості класів, їх функції та взаємодію. Цей процес відбувається послідовним уточненням і деталізацією абстракцій. Основні типи відношень – це відношення “узагальнення-спеціалізація”, “ціле-частина”. Відношення між класами (і об`єктами) можуть бути наступних типів:

- Наслідування (позначається на схемах ).

- Асоціація, або посилання (позначається ).

- Агрегація, фізична або по посиланню (позначається ).

- Використання (позначається ).

Асоціація звичайно має форму обміну інформацією. При агрегації фізичній агрегований клас чи об’єкт є фізичною частиною іншого об’єкту (наприклад, крило ЛА), а при агрегації посиланням може існувати окремо (наприклад, ракета як вид змінного озброєння тощо).

Потрібно сказати, що при достатньо довгій еволюції систем, які сильно залежать від зовнішнього середовища, результати часто наближаються до того вигляду, який може бути отриманий при оптимізації за допомогою системного підходу. Це зв’язано з тим, що з положень загальної теорії систем [?] система при еволюції змінює свою структуру таким чином, щоб найкращим чином відповідати умовам існування.

При формуванні класів використовується принцип інкапсуляції, що дозволяє не деталізувати тих особливостей класів та об`єктів, які не потрібні при аналізі їх взаємодії. В класах необхідно визначити функції. Функції є описом взаємодії даного (об`єктів даного класу) класу з іншими класами (об`єктами). Так група обслуговування проводить перевірку та підготовку до польоту певних агрегатів ЛА (відповідно до своєї спеціалізації) і повідомляє про готовність (чи наявність несправностей).

Інкапсуляція. Це процес відділення одне від одного елементів об’єкту, які визначають його поведінку і будову. Так для “клієнтів” ТЕЧ зовсім необов’язково знати її внутрішню організаційну будову.

Означає наявність в класі двох частин: інтерфейсу та реалізації. В інтерфейсі зібрано все, що стосується взаємодії об’єкту з іншими об’єктами. Реалізація описує представлення абстракції та механізми досягнення бажаної поведінки. Вона приховує від інших об’єктів деталі, що не мають відношення до взаємодії. Інкапсуляція захищає від помилок.

Модульність. Це властивість системи, яка може бути розкладена на внутрішні зв’язні, але слабко зв’язані між собою частини. В наших умовах це окремі підрозділи частини.

Модель системи є сукупністю діаграм класів, об’єктів, взаємодій та переходів. Діаграма класів системи включає всі класи системи та відношення між ними. Діаграми станів та переходів та взаємодії і раніше широко використовувалися в авіаційній науці. Перші – це графи станів та переходів, що описують марківський ланцюг стану, а другі – технологічні діаграми.

5. Оптимізація

Задача в котрій рішення зводиться до визначення мінімуму або максимуму називається оптимізаційною задачею. Визначення мінімуму виконується за цільовою функцією (критерієм оптимальності).

5.1. Однокритеріальна оптимізація

5.1.1. Загальна постановка

Нехай існує множина елементів U, яка називається множиною допустимих елементів. Задана функція J, яка відображає множину U в множину дійсних чисел така функція називається функціонал). Задача: знайти .

Задача може не мати розв’язку.

Оптимізація може бути безумовна та умовна. При постановці задачі умовної оптимізації крім цільової функції додатково задаються обмеження. Обмеження можуть бути накладені як на незалежні змінні так і на саму цільову функцію. Вид обмежень: обмеження виду нерівностей і обмеження виду рівнянь .

При розв’язанні задачі обмеження може бути враховане двома способами:

1. Обмеження включається безпосередньо в конструкцію критерію оптимальності і виконується безумовна оптимізація.

2. Виконується задача оптимізація з обмеження (лінійне або нелінійне програмування).

5.1.2. Критерії ефективності

1. Область збіжності.

2. Швидкість збіжності.

3. Похибка.

5.1.3. Оптимізація при наявності ризику

Y=F(X,Z).

Z – випадковий вектор з відомим розподілом і його параметрами.

Розв’язання виконується в один з наступних варіантів.

1. Виконується перехід до виразу Y=F(X,Z_М), де. Z_М=М(Z). В такому випадку досягається оптимальність в середньому з певною ймовірністю ризику.

2. Виконується перехід до задачі Y=М(F(X,Z)), яка розв’язується методами стохастичного програмування.

5.1.4. Оптимальність при наявності невизначеності

Y=F(X,Z).

Z – випадковий вектор з невідомим законом розподілу і його параметрами, або детермінований вектор з невідомими значеннями.

Для розв’язання використовується принцип гарантованого результату.

Виконується розв’язок модифікованої задачі . Тобто виконується мінімізація по X для найгіршого можливого результату, до якого приводить Z.

5.1.5. Проблеми оптимізації

Погана обумовленість (проблема яружності).

Пошук глобального екстремуму

5.2. Багатокритеріальна оптимізація

Lulla lex satis commodo omnibus est[7]

Liv.,Hist.,XXXIV,3

5.2.1. Методи розв’язання багатокритеріальних задач

При розв`язанні реальних задач об`єкт звичайно описується не одним, а декількома показниками його функціонування чи якості. При оптимізації вимоги до них можуть бути достатньо суперечливими, тобто покращення одного показника веде до погіршення іншого.

Існують наступні методи розв’язання багатокритеріальних задач.

1. Лінійна згортка критеріїв. 

2. Використання контрольних (нормативних) показників . Задача зводиться до пошуку максимуму F(x).

3. Редукція до одновимірної задачі шляхом приведення всіх показників крім одного до обмежень.

4. Введення метрики в просторі цільових функцій.

5. Компроміси по Парето. Побудова множини результатів, які неможливо покращити.

5.2.2. Введення метрики в просторі цільових функцій

В зв`язку з цим виникає задача визначення деякої компромісної точки, яка повинна в певній мірі відповідати всім вимогам. Це така точка, що будь-яка інша буде гірша неї за всією сукупністю характеристик (компроміс по Парето). Як правило, результати по кожному окремому показнику якості для цієї окремої точку будуть гірші, чим у випадку однокритеріальної оптимізації по цьому параметру.

Суть запропонованого підходу в тому, що кожному об`єкту ставиться у відповідність точка в багатовимірному просторі (точніше в М-вимірному, де М – кількість критеріїв якості), координатами яких є параметри, що його описують. Простір нормовано в одиничний гіперкуб таким чином, що по кожній координаті рух від 0 до 1 відповідає зміні параметру від найгіршого до найкращого значення. Точка з координатами {1, 1, 1,.....1} завжди відповідає гіпотетичному ідеальному об`єкту, який має найкращі із можливих значення по всім параметрам. Геометрична відстань від цієї вершини гіперкуба до точки, яка відповідає положенню конкретного об`єкту відповідає віддаленості його від ідеального значення і може слугувати оберненою величиною до комплексного “рейтинга” об`єкта. величину обернену рейтингу обєкта. Таким чином, ми маємо строгу, формалізовану процедуру отримання комплексного критерію, що має ясну геометричну інтерпретацію. У випадку нерівнозначимості різних параметрів при обчисленні відстаней достатньо добавити множники вагових коефіцієнтів, що відповідають значущості параметрів.

Нормування відбувається в залежності від цілі оптимізації по конкретному критерію. Для нормування вихідної змінної Y_k (у випадку, якщо ціллю оптимізації по даній змінній є знаходження мінімуму) використовується наступна формула

(4.3)

Якщо метою оптимізацією по Y_k є знаходження максимуму, то нормування відбувається по наступній формулі

(4.4)

Де Y_{k, max} – максимальне можливе значення для k-го критерію, Y_{k, min} – мінімальне можливе значення для k-го критерію, Y_ki – поточне значення k-го критерію, Y^’_ki – нормоване поточне значення. Формула (1.3) варіюється в залежності від мети оптимізації по критерію Y_k.

У тому випадку, коли метою оптимізації є попадання параметру Y_k в заданий інтервал, причому чим ближче до середини інтервалу – тим краще, то формула нормування простору приймає наступний вигляд

(4.5)

Тут (Y_A, Y_B) – інтервал, до якого має попасти значення критерію, який підлягає оптимізації.

Відстань між ідеальною та поточною точкою визначається як евклідова з доданням вагового коефіцієнту, що дозволяє урахувати нерівно значимість досягнення оптимуму окремих критеріїв для загальної мети. Вона (відстань) обчислюється за формулою

(4.6)

Тут L_i – відстань від ідеальної точки для i-го об’єкту, M – кількість критеріїв якості, j – номер поточного критерію якості, Y^’_ji – нормоване значення j-го критерію якості для i-го об’єкту, g_j – ваговий коефіцієнт, що визначає значимість j-го критерію якості, при цьому виконується умова .

Для визначення рейтингу окремих об’єктів зручно користуватися величиною, що доповнює відстань до 1, а саме:

G_i =1 – L_i (4.7)

Значення G_i тим більше, чим ближче об’єкт до ідеальної точки. Це дозволяє отримати зручний для порівняння рейтинг об’єктів: чим краще об’єкт – тим більше значення рейтингу він має.

5.2.3. Проблема визначення вагових коефіцієнтів

Задача визначення вагових коефіцієнтів при великій кількості параметрів якості є дуже складної. З одного боку неточне завдання ваги зовсім змінює розраховані рейтинги, з другого боку при великій кількості параметрів – це задача по складності порівняння з самою побудовою рейтингу. Як правило, при кількості параметрів більшій 3-4 навіть висококваліфікований спеціаліст має труднощі з цією задачею (правило 7±2). Тому в таких випадках використовується процедура формалізованого визначення вагових коефіцієнтів, яка базується на попарному порівнянні значимості параметрів. Задача попарного порівняння для будь-кого незрівнянно простіша ніж визначення всіх коефіцієнтів і, завдяки великій кількості градацій (таблиця 4.1). По результатам всіх відповідей виконується розрахунок вагових коефіцієнтів.

Таблиця 4.1 Градації порівняння критеріїв по їх значущості

Для перетворення простору необхідно для кожного критерію задати мету, виконання якої забезпечить найкраще значення даного критерію. Можливі варіанти завдання мети, які використовуються в програмному засобі ПРІАМ приведені в таблиці 4.2. Як видно, частина з них фактично є обмеженнями, чи вказівками щодо виключення критерію з розгляду (ігнорувати). Розподілу на ціль оптимізації і обмеження в програмному засобі ПРІАМ при роботі немає для забезпечення зручності користувачу.

Таблиця 4.2 Можливі цілі по кожному критерію

Ідея попарного порівняння

Оскільки в реальних задачах значимість окремих показників для оцінки якості об`єкту різна, то необхідно підготувати таблицю попарного порівняння, буде використана для розрахунку вагових коефіцієнтів (дивись таблицю 4.4). В кожній графі таблиці повинно бути записано значення порівняння двох критеріїв (наприклад, еквівалентно, важливіше тощо, як в таблиці 4.1). Головна діагональ не заповнюється (при розрахунках вважається, що там нуль). Звертаємо вашу увагу, що ця таблиця не симетрична і порівняння потрібно проводити в напрямку, вказаному стрілкою. Це означає, що в графі, де розміщена стрілка порівнюється “Критерій 2” з “Критерієм 3”, але не навпаки. Для трьох рівнів порівняння заповнення таблиці виконується наступним чином. В тому випадку, коли критерії еквівалентні – в обидві симетричні комірки заноситься по 0,5; якщо, наприклад, “Критерій 2” важливіше “Критерію 3”, то в комірку в рядку “Критерій 2” заноситься 1, в то в комірку в рядку “Критерій 3” – 0. Після заповнення всієї таблиці знаходиться сума по рядкам і загальна суми. Суми по рядкам є ненормованими ваговими коефіцієнтами. Після ділення їх всіх на загальну суму отримуємо нормовані вагові коефіцієнти, сума яких дорівнює 1.

Таблиця 4.4

Критерії	Критерії якості						Нормована
якості	Критерій 1	Критерій 2	Критерій 3	...	Критерій M	Сума	вага
Критерій 1
Критерій 2
...
Критерій M
Загальна сума

5.3. Інші методи оптимізації

5.3.1. Динамічне програмування

Динамічне програмування – це математичний метод знаходження оптимальних розв’язків багатокрокових задач.

Можливі задачі

1. Задача інвестування обмеженої суми в декілька об’єктів.

2. Календарне планування ресурсів.

3. Динамічне керування запасами.

4. Завантаження транспорту.

Зауваження.

1. Оптимальний розв’язок на якому-небудь кроці не є оптимальним в цілому.

2. Хоча природа задачі є комбінаторною, для реальних ситуацій перебір всіх варіантів практично неможливий.

Принцип оптимальності Беллмана в формулюванні Вентцель.

Яким би не був стан системи перед наступним кроком, необхідно вибирати управління на цьому кроці так, щоб виграш на даному кроці плюс виграш на наступних кроках був максимальним.

Математична постановка.

Найти  при умовах 

Варіанти.

1. Цільова функція мультиплікативна. Тобто . Розв’язок знаходиться точно так, тільки змінюється знак (сума на добуток) в рекурентній формулі.

2. Число кроків нескінченне (n=µ). Це означає оптимальність безвідносно до точки, в якій операція закінчується. Наприклад, при виробничому плануванні. При цьому необхідно, щоб функції виграшу F_i і зміни стану не залежали від номеру кроку. Для розвязку використовується апарат харківських ланцюгів. Приклад описаний в [1].

Суть підходу до розв’язання задачі.

1. Оптимізація виконується методом послідовного наближення в два етапи: спочатку від останнього кроку до першого, а потім навпаки – від першого до останнього.

2. На першому етапі при русі від наступних кроків до попередніх знаходимо умовні оптимальні керування. Тобто, на кожному кроці керування забезпечує оптимальне продовження операції.

3. Так продовжується до першого кроку. Оскільки він не має попереднього, то його розв’язок не умовний оптимальний, а оптимальне керування, яке шукається.

4. Потім на другому етапі ми починаємо з першого. Тепер замість умовних ми знаходими оптимальні керування.

Алгоритм.

1. Вибрати параметри (фазові координати), які характеризують стан S керованої системи перед кожним кроком.

2. Розчленувати операцію на кроки..

3. Визначити множину крокових управлінь x_i для кожного кроку і обмеження, які на них накладаються.

4. Визначити, який виграш проносить на i-му кроці керування x_i, якщо перед цим система була в стані S, тобто записати функцію виграшу w_i = f_i(S,x_i).

5. Визначити як зміниться стан S системи під впливом керування x_i на i-му кроці, якщо вона переходить в новий стан S`=j_i(S,x_i).

6. Записати основне рекурентне рівняння динамічного програмування, яке обчислює умовний оптимальний виграш W_i(S) (починаючи з i–го кроку до кінця) через відому функцію W_i+1(S): . Цьому виграшу відповідають умови оптимального управління x_i(S) на i-му кроці.

7. Виконати умовну оптимізацію останнього (m-го) кроку управління задаючи множину станів S, з яких можна за один крок дійти до кінцевого. Для кожного обчислюється умовний оптимальний виграш . Знаходиться x_m(S), для яких виграш досягає максимуму..

8. Виконують умовну оптимізацію (m–1), (m–2) і далі кроків. На першому кроці знаходиться оптимальний виграш W^*=W₁(S₀).

9. Виконується безумовна оптимізація. Беруть оптимальний розв’язок на 1-му кроці. Змінюється стан системи. Для знайденого стану знаходиться оптимальне управління на 2-му кроці і т.д.

Рис. 12.1.

Рис. 13.2.

Рис. 13.5.

Рис. 13.6 - Приклад описаний в [2].

5.3.2. Нелінійне програмування

Математичний апарат для пошуку екстремуму нелінійних функцій при наявності обмежень 

Оскільки допустима множина розв’язків в загальному випадку не є випуклим, і навіть у випадку випуклості множина крайніх точок не є кінечною, загального методу не існує. Існують методи розв’язку окремих класі задач.

Приклад. Кузнецов с.188.

Метод множників Лагранжа.

Використовується при знаходженні мінімуму чи максимуму для обмежень типу рівнянь та для диференційованих функцій f и g_i.

Умовний екстремум функції f знаходять з використанням функції Лагранжа 

Безусловний екстремум даної функції співпадає з умовним функції f. Це відпувається завдяки тому, що в точці екстремуму всі g_i(x₁,x₂,…x_m)=0 і, як наслідок, L=f. Таким чином для розв’язку задачі достатньо знайти безумовний екстремум функції Лагранжа. Для цього знаходять часткові похідні по невідомим і прирівнюють їх до нуля. Потім розв’язують отриману систему рівнянь.

Приклад. Зайченко 3.1. с.88.

5.3.3. Стохастичне програмування

Часто параметри залежать від випадкових величин. Наприклад, вміст цукру в буряку, урожайність тощо.

Оптимальність при наявності невизначеності Y=F(X,Z)

Z – випадковий вектор з невідомим законом розподілу і його параметрами, або детермінований вектор з невідомими значеннями.

Для розв’язання використовується принцип гарантованого результату.

Виконується розв’язок модифікованої задачі . Тобто виконується мінімізація по X для найгіршого можливого результату, до якого приводить Z.

1. Одноетапна або жорстка постановка. План виконується з урахуванням всіх можливих станів природи. Корегування плану не допускається. (Задача 5.1. Зайченко с. 204.)

2. Двохетапна задача. Можливі зміни в плані після того, як стало відомо стан природи.

(Задача Канторович с. 120.)

Література до розділу 4.

1. Зайченко Ю. П., Шумилова С. А. Исследование операций: Сборник задач. – 2-е. изд., перераб. и доп. / Ю. П. Зайченко, С. А. Шумилова. – К.: Вища школа, 1990. – 239 с.

2. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. / Е. С. Вентцель. – М.: Наука, ГРФМЛ, 1980. – 208 с.

3. Кузнецов А. В., Холод Н. И., Костелевич Л. С. Руководство к решению задач по математическому программированию. / А. В. Кузнецов, Н. И. Холод, Л. С. Костелвич. – Мн.: Вышэйш. Школа, 1978. – 256 с.

4. Канторович Л. В., Горстко А. Б. Оптимальные решения в экономике / Л. В. Канторович, А. Б. Горстко. – М.: Наука, 1972. – 231 с.

5. Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование / С. И. Зуховицкий, Л. И.Авдеева. - М.: Наука, ГРФМЛ, 1967. – 460 с.

6. Лапач.............

5.3.4. Стійке керування

Принцип зовнішнього доповнення Стаффорда Бира

“Керувати в даний момент часу необхідно так, щоб залишалася свобода вибору рішень в наступний момент часу, коли буде прийматися наступне рішення ” Д. Габор.

Рис. 15 - Схема гнучкого керування з числом степенів свободи 3

№ експерименту	X1	X2	X3	X4	Y	Y+e
1	0	0	0	0	2	2,095023
2	0	0	1	0,1	1,9	2,885674
3	0	1	0	0	2,2	2,719464
4	0	1	1	0	2,1	2,968497
5	1	0	0	1	7	7,719661
6	1	0	1	1	6,9	6,903209
7	1	1	0	1	7,2	7,927896
8	1	1	1	1	7,1	7,975255

Ім`я регресора	Максимальний коеф. Кор.. з іншим регресором	Ім`я регрессора, з яким досягнутий макс. Коеф. кореляції	Коеф. кор. з відгуком
х3	0	з усіма	0,79
х2	0,045	х8	0,45
х1	0,12	х3	0,38
х8	0,41	х2	0,23

---