Методичні рекомендації до лабораторної роботи №7 на тему Дослідження моделі Еванса та застосування до розв’язання економічних задач

Методичні рекомендації до лабораторної роботи №7 на тему Дослідження моделі Еванса та застосування до розв’язання економічних задач

Мета: отримати навички застосування моделі Еванса до розв’язання задач.

Теоретичні відомості

6. МОДЕЛИ ЭВАНС А УС ТАНОВЛЕНИЯ РАВНОВЕСНОЙ ЦЕНЫ НА РЫНКЕ ОДНОГО ТОВАРА

6.1. Модель Эванса с непрерывным временем

6.1.1. Исходные положения

Изучаемая модель основана на следующих положениях:

1. Цена товара является функцией от времени

2. Предложение является функцией от цены товара в момент времени t и определяется формулой

где a и b- известные положительные числа.

3. Спрос является функцией от цены товара в момент времени t и определяется формулой

где c и d- известные положительные числа.

4. Считается, что цена товара выражается через спрос и предложение по формуле

где у - известное положительное число.

5. В момент времени t = 0 цена товара известна и равна р₀.

Требуется найти равновесную цену товара.

6.1.2. Расчетное уравнение

Основываясь на положениях, перечисленных в параграфе 6.1.1., составим расчетное уравнение модели:

 (6.1.1)

которое является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения (6.1.1) имеет вид

 (6.1.2)

где а - произвольное число. Требуется найти решение уравнения (6.1.2), удовлетворяющее начальному условию

 (6.1.3)

С этой целью подставим в формулу (6.1.2) значение t = 0:

Следовательно,

и решение задачи Коши (6.1.1). (6.1.3) имеет вид:

 (6.1.4)

Переходя в формуле (6.1.4) к пределу при , получим соотношение

 (6.1.5)

где символом  обозначена предельная равновесная цена. Исследование модели завершено.

6.2. Модель Эванса с дискретным временем

6.2.1. Исходные положения

Изучаемая модель основана на следующих положениях:

1. Товар поступает на рынок в течение k равных промежутков времени, где k - натуральное число.

2. Цена товара в течение одного промежутка времени не изменяется и обозначается символами p₁,p₂,…,p_k. в периоды времени 1,2,…,k, соответственно.

3. Предложение зависит от цены товара в предыдущем промежутке времени и вычисляется по формуле

где a и b - известные положительные числа.

и решение задачи Коши (6.1.1), (6.1.3) имеет вид:

 (6.1.4)

Переходя в формуле (6.1.4) к пределу при , получим соотношение

 (6.1.5)

где символом  обозначена предельная равновесная цена. Исследование модели завершено.

4. Спрос зависит от цены товара в текущем промежутке времени и вычисляется по формуле

где c и d - известные положительные числа.

5. В начальный момент времени цена товара известна и равна р₀. Требуется найти равновесную цену товара.

Замечание. Рассматриваемую модель называют также моделью установления равновесной цены на рынке с запаздыванием предложения.

6.2.2. Расчетные уравнения

Основываясь на равенстве спроса и предложения, составим следующее рекуррентное уравнение модели:

 (6.2.1)

Преобразуем уравнение (6.2.1) к более удобному виду:

 (6.2.2)

Введем новую переменную по формуле:

 (6.2.3)

где  - некоторое число, которое определим чуть позже, и совершим в уравнении (6.2.2) замену переменных

 (6.2.4)

В результате уравнение (6.2.2) примет следующий вид:

 (6.2.5)

Если теперь в качестве числа  выбрать число

 (6.2.6)

то уравнение (6.2.5) преобразуется к следующему виду:

 (6.2.7)

Формула (6.2.7) задаст геометрическую прогрессию с первым членом у₀ и знаменателем - b/d. Поэтому.

 (6.2.8)

откуда с помощью формул (6.2.4) и (6.2.6) получаем:

 (6.2.9)

Формула (6.2.9) определяет равновесную цену товара в течение промежутка времени с номером i=1,2,…, если известна начальная цена товара р₀.

В случае, когда , существует предел равновесных цен товара:

 (6.2.10)

который носит название предельной равновесной цены.

Исследование модели завершено.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!