Методичні вказівки до лабораторних робіт на тему Однорідні марковські ланцюги: матриця ймовірностей

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2_ПЗМЕП

Тема: «ОДНОРІДНІ МАРКОВСЬКІ ЛАНЦЮГИ: МАТРИЦЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ОДНОКРОКОВОГО ПЕРЕХОДУ ТА ЙМОВІРНІСНІ ГРАФИ, ТИПИ ЛАНЦЮГІВ»

ХІД РОБОТИ

!!!Робота виконується у зошиті для лабораторних робіт.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Для наочності стани марковських ланцюгів та ймовірності переходу системи з одного стану до іншого зручно подавати ймовірнісними графами.

Вершина графа інформує про стан, в якому може перебувати система, а ребро графа, що сполучає дві вершини, вказує на той стан, до якого може перейти система з певною ймовірністю.

Перехід системи зі стану  до стану , який може відбуватися з певною ймовірністю в момент часу t, позначається як  і називається умовною ймовірністю переходу.

Повна ймовірнісна картина всіх можливих переходів системи, яка має N станів, подається у вигляді квадратної матриці, яку називають імовірнісною матрицею переходів.

Оскільки ці випадкові події (перехід системи з фіксованого стану  до будь-якого можливого стану   утворюють повну групу. Враховуючи те, що моменти часу переходу системи  названо кроками, умовні ймовірності переходу на k-му кроці позначають і називають перехідними ймовірностями марковського ланцюга.

Ланцюг Маркова називають поглинальним, якщо серед множини станів відповідної системи існує хоча б один, набувши якого з певною ймовірністю, система перебуватиме в ньому й надалі.

Ланцюг Маркова називається ергодичним, якщо він має лише одну ергодичну множину станів системи.

Ергодичні ланцюги Маркова бувають двох типів: циклічні та регулярні.

Ланцюг Маркова називається циклічним, якщо кожного свого стану система може набувати з певною ймовірністю через певні однакові інтервали — періоди.

Ланцюг Маркова називається регулярним, якщо за певної кількості кроків n матриця  не матиме нульових елементів, тобто можливий перехід між будь-якими станами за n кроків.

Приклад 1.За заданою матрицею однокрокового переходу системи побудувати ймовірнісний граф.

Розв’язання. За заданою матрицею p з’ясовуємо, що система може перебувати з певною ймовірністю в одному з несумісних чотирьох станів  які у структурі графа будуть вершинами. 

ЗАВДАННЯ 1. За заданим імовірнісним графом побудувати матрицю ймовірностей однокрокового переходу.

ЗАВДАННЯ 2. Споживання електроенергії влітку тісно пов’я­зане з температурою повітря. Тому, плануючи на кожний день виробництво та використання електроенергії, енергокомпанія, яка забезпечує населення міста електроживленням, має брати до уваги ймовірність спекотної, помірної чи прохолодної погоди. Багаторічні спостереження показали: імовірність того, що завтра буде спекотна, помірна чи прохолодна погода, залежить лише від того, яка погода сьогодні — спекотна, помірна чи прохолодна. 

Побудувати матрицю ймовірностей однокрокового переходу та визначити тип марковського ланцюга.

ЗАВДАННЯ 3. За результатами обробки статистичної інформації про навчальний процес деякого вищого навчального закладу України дістали такі дані про його середньостатистичного студента:

• студент 1-го курсу з імовірністю 0,1 припиняє навчання через неуспішність, з імовірністю 0,25 ще на рік залишається першокурсником та з імовірністю 0,65 переходить на 2-й курс;

• студент 2-го курсу з імовірністю 0,15 відсівається через неуспішність, з імовірністю 0,3 залишається повторно студіювати 2-й курс, з імовірністю 0,55 переходить на 3-й курс;

• студент 3-го курсу відсівається з імовірністю 0,22, з імовірністю 0,31 стає другорічником, з імовірністю 0,57 переходить на 4-й курс;

• студент 4-го курсу відсівається з імовірністю 0,12, з імовірністю 0,2 стає другорічником, з імовірністю 0,68 переходить на 5-й курс;

• студент 5-го курсу відсівається з імовірністю 0,05, з імовірністю 0,15 стає другорічником, з імовірністю 0,8 захищає дипломну роботу і залишає вуз дипломованим фахівцем.

Побудуйте матрицю  імовірностей однокрокового переходу; визначити тип марковського процесу, привести матрицю до канонічного вигляду та побудувати ймовірнісний граф.

ЗАВДАННЯ 4. Статистична обробка спостережень метеослужби, здійснюваних улітку для певного міста України, дала такі результати:

• якщо певний день був теплим і безхмарним, то ймовірність, що така сама погода лишиться й наступного дня, дорівнює 0,6; імовірність того, що вона зміниться на вітряну погоду, дорівнює 0,25, а на дощову — 0,15;

• коли ж погода була вітряна, то ймовірність того, що вона такою самою і залишиться наступного дня, дорівнює 0,32, а ймовірність того, що вона зміниться на тиху сонячну погоду, дорівнює 0,46, і на дощову — 0,22;

• а якщо погода була дощова, то ймовірність того, що вона не зміниться й наступного дня, дорівнює 0,26, а ймовірність того, що зміниться на вітряну або сонячну тиху погоду, становить відповідно 0,29 і 0,45.

Побудувати матрицю ймовірностей однокрокового переходу та відповідний ймовірнісний граф, визначити тип марковського ланцюга.

ЗАВДАННЯ 5. Грошові потоки між містами  з урахуванням того, що частина грошей залишає цей регіон.

Канонізуйте матрицю ймовірностей однокрокового переходу.

Визначте матрицю І, матрицю Q, матрицю O та матрицю  R.

Перелік питань до захисту лабораторної роботи

(Відповіді – письмово у зошиті)

1. Означення марковського випадкового процесу.

2. Означення марковського випадкового процесу з дискретними станами та дискретним часом.

3. Що називають умовною ймовірністю переходу?

4. Що називають ймовірнісною матрицею переходів?

5. Що і називають перехідними ймовірностями марковського ланцюга?

6. Що називається ергодичним станом марковського процесу?

7. Який стан марковського процесу називають нестійким?

8. Що називається поглинальним станом?

9. Що називають ланцюгом Маркова?

10. Що називають однорідними ланцюгами Маркова?

11. Що називають однокроковою матрицею ймовірностей переходів?

12. Що називають поглинальним ланцюгом Маркова?

13. Що називають ергодичним ланцюгом Маркова?

14. Що називають циклічним ланцюгом Маркова?

15. Що називають регулярним ланцюгом Маркова?

16. Канонічна форма матриці p для поглинального ланцюга Маркова.

17. Матриця Q та властивості її елементів. Властивості матриці Q.

18. Матриця R та властивості її елементів. 

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!