Методичні вказівки до лабораторної роботи №3 на тему Якісний аналіз двовимірних лінійних динамічних систем, Дослідження системи на наявність станів рівноваги, їх типу та стійкості

1. Запишіть систему рівнянь у розгорнутому вигляді (згадайте множення матриць).

2. Надрукуйте систему у цьому пункті, відповідно до варіанту а) – в).

Класифікація стаціонарних точок. Розглянемо спочатку найпростішу систему рівнянь

де a_ij – сталі числа. Очевидно, що якщо a₁₁a₂₂, - a₁₂a₂₁ ≠0, то (3) має лише одну стаціонарну точку х_1* = х_2* = 0 і це є розв’язок (3) при нульових початкових умовах. Нетривіальний розв’язок шукаємо у вигляді

де С, D – сталі. Тоді з (3) матимемо систему лінійних однорідних рівнянь

Вона має розв’язок в випадку, коли

5. Для кожної системи складіть характеристичне рівняння, запишіть у цьому пункті і знайдіть його розв’язки λ₁ та λ₂. Запишіть їх у цьому пункті.

6. Проведіть дослідження розв’язків (коренів) λ₁ та λ₂.характеристичного рівняння. Надрукуйте у цьому пункті висновки.

Можна виділити такі випадки:

І. Корені (2)  – дійсні і різні.

Проаналізуємо наступні варіанти знаків .

1. Якщо , то

і незалежно від початкових умов ми з часом попадем в точку х₁ = х₂ = 0. Такий тип стаціонарної точки називається стійким вузлом. Траєкторії на фазовій площині поблизу стійкого вузла показано на рис. 1.

2. Якщо , то

Такий тип стаціонарної точки називається нестійким вузлом, з часом ми віддаляємося від неї. Поведінку траєкторій а фазовій площині показано на рис. 2.

Рис. 1 - Стійкий вузол

Рис. 2 - Нестійкий вузол

3. Якщо , то

Така стаціонарна точка також нестійка і називається сідлом. Поведінка траєкторій на фазовій площині показана на рис. 3.

Рис. 3 - Сідло

ІІ. Корені (2)  – комплексні

.

В залежності від знаку p можливі такі типи стаціонарних точок:

4. p ˂ 0, стаціонарна точка х₁ = х₂ = 0 називається стійким фокусом. Поведінку траєкторії на фазовій площині поблизу стійкого фокуса показна на рис.4.

5. p ˃ 0, стаціонарна точка х₁ = х₂ = 0 називається нестійким фокусом. Поведінку траєкторії на фазовій площині поблизу стійкого фокуса показна на рис.5.

Рис. 4 - Стійкий фокус

Рис. 5 - Нестійкий фокус

6. p = 0. Траєкторія – замкнута крива, еліпс, з центром в точці (0,0). Така стаціонарна точка називається центром (рис. 6).

Рис. 6 - Центр

7. Застосуйте інший метод дослідження стаціонарних точок, виконайте необхідні обчислення і заповніть таблицю.

Метод визначення стаціонарної точки. Для визначення типу стаціонарної точки системи диференціальних рівнянь (1) не обов’язково обчислювати . Введемо позначення

слід та визначник матриці А. Тоді характеристичне рівняння запишеться у вигляді

Розглянемо площину з прямокутними координатами (Tr, Δ) і позначимо на ній області, що відповідають тому чи іншому характеру особливої точки (рис. 7).

Необхідні і достатні умови стійкості стаціонарної точки мають вигляд , або, як неважко переконатися,

Tr ˂ 0, Δ ˃ 0.

На рис.7 цим умовам відповідають точки, розташовані в другій чверті. Стаціонарна точка буде фокусом, якщо виконана умова Tr² - 4Δ ˂ 0, і цій умові відповідають точки, що розташовані в середині параболи Tr² = 4Δ. Якщо Δ ˂ 0, то стаціонарна точка буде сідлом. На напівпрямій Tr = 0, Δ ˃ 0 знаходяться центри. Парабола Tr² = 4Δ – це лінія рівних коренів , і вона відділяє фокуси від вузлів. Пряма Δ = 0 відділяє вузли від сідел.

Завдання 2. Побудуйте фазовий портрет.

З повагою ІЦ "KURSOVIKS"!